2019-2020年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题七数学思想方法第2讲分类讨论思想转化与化归思想课件文
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－2x 在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范 围是________.
解析 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(t，3)上总为单调 函数，则①g′(x)≥0 在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t，3) 上恒成立.由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x 在 x∈(t， 3)上恒成立，∴m＋4≥2t －3t 恒成立，则 m＋4≥－1， 即 m≥－5；由②得 m＋4≤2x－3x 在 x∈(t，3)上恒成立， 则 m＋4≤23－9，即 m≤－337.∴函数 g(x)在区间(t，3)上总不为 单调函数的 m 的取值范围为－337＜m＜－5. 答案 －337，－5
为负，则x的取值范围为________.
解析 对任意的|m|≤2，有 mx2－2x＋1－m＜0 恒成立，即|m|≤2
时，(x2－1)m－2x＋1＜0 恒成立.设 g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，则
原问题转化为 g(m)＜0 恒成立(m∈[－2，2]).所以
gg（ （－ 2）2） ＜0＜，0，即22xx22＋ －22xx－ －31＞ ＜00， . 解得 72－1＜x＜ 32＋1，
2.常见的转化与化归的方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时， 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另 一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到 解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也 是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题. (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等， 把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题. (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式 (图形)关系，通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题， 达到化归的目的. (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证 明特殊化后的问题、结论适合原问题.
[微题型 2] 特殊与一般的转化
【例 2－2】
已知 f(x)＝3x＋3
，则 3
f(－2
015)＋f(－2
014)
＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝________.
解析
f(x)＋f(1－x)＝3x＋3 3＋31－x＋3
3＝3x＋3
＋ 3
3x 3＋3x
＝33xx＋ ＋ 33＝1，∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1，
由①、②可知，这个函数的最大值为 ymax＝2m－，2mm≥，23m. ＜23，
答案 (1)－∞，－53∪[－1，＋∞) (2)ymax＝2m－，2mm≥，23m＜23，
探究提高 由数学运算要求引起的分类整合法，常见 的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负， 对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要 求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝 对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应 问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析， 进而分类求解与综合.
即实数 x 的取值范围为 72－1， 32＋1.
答案
72－1，
3＋1 2
探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可 以选取其中的参数，将其看做是“主元”，而把其 它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算 的目的.
[微题型 4] 正与反的相互转化 【例 2－4】 若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2
[微题型2] 由数学运算要求引起的分类 【例1－2】 (1)(2016·苏、锡、常、镇调研改编)不等
式|x|＋|2x＋3|≥2的解集是________. (2)已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区 间[0，1]上的最大值为________.
解析 (1)原不等式可转化为x＜－32， －x－（2x＋3）≥2，
x∈0，1a时，f′(x)＞0；当 x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0， 所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.
综上，知当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a＞0 时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值； 当 a＞0 时，f(x)在 x＝1a处取得最大值，最大值为 f1a＝ln 1a＋ a1－1a＝－ln a＋a－1.因此 f1a＞2a－2 等价于 ln a＋a－1＜0. 令 g(a)＝ln a＋a－1，则 g(a)在(0，＋∞)上单调递增， g(1)＝0.于是，当 0＜a＜1 时，g(a)＜0；当 a＞1 时，g(a)＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1).
[微题型3] 由参数变化引起的分类 【例1－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).
(1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围. 解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若 a≤0，则
f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增.若 a＞0，则当
或－ －32x＋≤（x≤20x＋，3）≥2或xx＞ ＋0（，2x＋3）≥2. 解得 x≤－53或－1≤x≤0 或 x＞0， 故原不等式的解集为－∞，－53∪[－1，＋∞).
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(2)①当 4－3m＝0，即 m＝43时，函数 y＝－2x＋43， 它在[0，1]上是减函数，所以 ymax＝f(0)＝43. ②当 4－3m≠0, 即 m≠43时，y 是二次函数.当 4－3m＞0，即 m ＜43时，二次函数 y 的图象开口向上，对称轴方程 x＝4－13m＞ 0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉 及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、 指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由 于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
解析 (1)由 2Sn＝3n＋3 得： 当 n＝1 时，2S1＝31＋3＝2a1，解得 a1＝3； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝12[(3n＋3)－(3n－1＋3)]＝3n－1， 由于 n＝1 时，a1＝3 不适合上式. ∴数列{an}的通项公式为 an＝33， n－1n，＝n1≥，2.
f(0)＝m，f(1)＝2－2m， 当 m≥2－2m，又 m＜43，即23≤m＜43时，ymax＝m. 当 m＜2－2m，又 m＜43，即 m＜23时，ymax＝2(1－m). 当 4－3m＜0，即 m＞43时，二次函数 y 的图象开口向下，又 它的对称轴方程 x＝4－13m＜0，所以函数 y 在[0，1]上是减 函数，于是 ymax＝f(0)＝m.
(2)当 a>0 时，1－a<1，1＋a>1，这时 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由 f(1－a)＝f(1＋a)得 2－a
＝－1－3a，解得 a＝－32，不合题意，舍去；当 a<0 时，
1－a>1，1＋a<1，这时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
热点一 分类讨论思想的应用 [微题型 1] 由性质、定理、公式的限制引起的分类 【例 1－1】 (1)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn
＝3n＋3，求数列{an}的通项 an＝________. (2)(2016·苏北四市调研)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝ 2－x＋x－a， 2ax，<x1≥，1.若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为 ________.
探究提高 否定性命题，常要利用正反的相互转化， 先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地， 题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很 少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至 多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.
1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的 思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确 定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否 完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对 象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨 论. 常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集∅讨论. (2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a＞1和 0＜a＜1的讨论；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a＝0和a≠0的 讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解 决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转 化方法的一个重要途径. (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决. (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结 果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正 难则反的原则.
∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)
＝2 016.
答案 2 016
探究提高 一般问题特殊化，使问题处理变得直 接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整 体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处 理问题的效果.
[微题型3] 常量与变量的转化
【例2－3】 对任意的|m|≤2，函数f(x)＝mx2－2x＋1－m恒
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.由 f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a
＝2＋3a，解得 a＝－34.综上可知，a 的值为－34.
答案
3，n＝1， (1)3n－1，n≥2
(2)－34
探究提高 由性质、定理、公式的限制引起的分 类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质 是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情 况下使用，如等比数列的前n项和公式、函数的 单调性等.
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想
高考定位 分类讨论思想，转化与化归思想近几年高 考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数 列解答题中，难度较大.
1.中学数学中可能引起分类讨论的因素 (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、 不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中 除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算 中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等 式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域， 等比数列{an}的前n项和公式等.
探究提高 由参数的变化引起的分类整合法 经常用于某些含有参数的问题，如含参数的 方程、不等式，由于参数的取值不同会导致 所得结果不同，或对于不同的参数值要运用 不同的求解或证明方法.
热点二 转化与化归思想
[微题型1] 换元法 【例2－1】 已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2
＝1，则a的最大值是________. 解析 令 b＝x，c＝y，则 x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2.
此时直线 x＋y＝－a 与圆 x2＋y2＝1－a2 有交点，
则圆心到直线的距离
d＝
|a| ≤ 2
1－a2，解得 a2≤23，
所以
a
的最大值为
6 3.
答案
6 3
探究提高 换元法是一种变量代换，也是一种特殊的 转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变 数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或 简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂 为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.
解析 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(t，3)上总为单调 函数，则①g′(x)≥0 在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t，3) 上恒成立.由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x 在 x∈(t， 3)上恒成立，∴m＋4≥2t －3t 恒成立，则 m＋4≥－1， 即 m≥－5；由②得 m＋4≤2x－3x 在 x∈(t，3)上恒成立， 则 m＋4≤23－9，即 m≤－337.∴函数 g(x)在区间(t，3)上总不为 单调函数的 m 的取值范围为－337＜m＜－5. 答案 －337，－5
为负，则x的取值范围为________.
解析 对任意的|m|≤2，有 mx2－2x＋1－m＜0 恒成立，即|m|≤2
时，(x2－1)m－2x＋1＜0 恒成立.设 g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，则
原问题转化为 g(m)＜0 恒成立(m∈[－2，2]).所以
gg（ （－ 2）2） ＜0＜，0，即22xx22＋ －22xx－ －31＞ ＜00， . 解得 72－1＜x＜ 32＋1，
2.常见的转化与化归的方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时， 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另 一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到 解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也 是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题. (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等， 把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题. (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式 (图形)关系，通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题， 达到化归的目的. (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证 明特殊化后的问题、结论适合原问题.
[微题型 2] 特殊与一般的转化
【例 2－2】
已知 f(x)＝3x＋3
，则 3
f(－2
015)＋f(－2
014)
＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝________.
解析
f(x)＋f(1－x)＝3x＋3 3＋31－x＋3
3＝3x＋3
＋ 3
3x 3＋3x
＝33xx＋ ＋ 33＝1，∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1，
由①、②可知，这个函数的最大值为 ymax＝2m－，2mm≥，23m. ＜23，
答案 (1)－∞，－53∪[－1，＋∞) (2)ymax＝2m－，2mm≥，23m＜23，
探究提高 由数学运算要求引起的分类整合法，常见 的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负， 对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要 求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝 对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应 问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析， 进而分类求解与综合.
即实数 x 的取值范围为 72－1， 32＋1.
答案
72－1，
3＋1 2
探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可 以选取其中的参数，将其看做是“主元”，而把其 它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算 的目的.
[微题型 4] 正与反的相互转化 【例 2－4】 若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2
[微题型2] 由数学运算要求引起的分类 【例1－2】 (1)(2016·苏、锡、常、镇调研改编)不等
式|x|＋|2x＋3|≥2的解集是________. (2)已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区 间[0，1]上的最大值为________.
解析 (1)原不等式可转化为x＜－32， －x－（2x＋3）≥2，
x∈0，1a时，f′(x)＞0；当 x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0， 所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.
综上，知当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a＞0 时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值； 当 a＞0 时，f(x)在 x＝1a处取得最大值，最大值为 f1a＝ln 1a＋ a1－1a＝－ln a＋a－1.因此 f1a＞2a－2 等价于 ln a＋a－1＜0. 令 g(a)＝ln a＋a－1，则 g(a)在(0，＋∞)上单调递增， g(1)＝0.于是，当 0＜a＜1 时，g(a)＜0；当 a＞1 时，g(a)＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1).
[微题型3] 由参数变化引起的分类 【例1－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).
(1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围. 解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若 a≤0，则
f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增.若 a＞0，则当
或－ －32x＋≤（x≤20x＋，3）≥2或xx＞ ＋0（，2x＋3）≥2. 解得 x≤－53或－1≤x≤0 或 x＞0， 故原不等式的解集为－∞，－53∪[－1，＋∞).
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(2)①当 4－3m＝0，即 m＝43时，函数 y＝－2x＋43， 它在[0，1]上是减函数，所以 ymax＝f(0)＝43. ②当 4－3m≠0, 即 m≠43时，y 是二次函数.当 4－3m＞0，即 m ＜43时，二次函数 y 的图象开口向上，对称轴方程 x＝4－13m＞ 0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉 及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、 指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由 于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
解析 (1)由 2Sn＝3n＋3 得： 当 n＝1 时，2S1＝31＋3＝2a1，解得 a1＝3； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝12[(3n＋3)－(3n－1＋3)]＝3n－1， 由于 n＝1 时，a1＝3 不适合上式. ∴数列{an}的通项公式为 an＝33， n－1n，＝n1≥，2.
f(0)＝m，f(1)＝2－2m， 当 m≥2－2m，又 m＜43，即23≤m＜43时，ymax＝m. 当 m＜2－2m，又 m＜43，即 m＜23时，ymax＝2(1－m). 当 4－3m＜0，即 m＞43时，二次函数 y 的图象开口向下，又 它的对称轴方程 x＝4－13m＜0，所以函数 y 在[0，1]上是减 函数，于是 ymax＝f(0)＝m.
(2)当 a>0 时，1－a<1，1＋a>1，这时 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由 f(1－a)＝f(1＋a)得 2－a
＝－1－3a，解得 a＝－32，不合题意，舍去；当 a<0 时，
1－a>1，1＋a<1，这时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
热点一 分类讨论思想的应用 [微题型 1] 由性质、定理、公式的限制引起的分类 【例 1－1】 (1)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn
＝3n＋3，求数列{an}的通项 an＝________. (2)(2016·苏北四市调研)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝ 2－x＋x－a， 2ax，<x1≥，1.若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为 ________.
探究提高 否定性命题，常要利用正反的相互转化， 先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地， 题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很 少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至 多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.
1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的 思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确 定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否 完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对 象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨 论. 常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集∅讨论. (2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a＞1和 0＜a＜1的讨论；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a＝0和a≠0的 讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解 决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转 化方法的一个重要途径. (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决. (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结 果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正 难则反的原则.
∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)
＝2 016.
答案 2 016
探究提高 一般问题特殊化，使问题处理变得直 接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整 体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处 理问题的效果.
[微题型3] 常量与变量的转化
【例2－3】 对任意的|m|≤2，函数f(x)＝mx2－2x＋1－m恒
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.由 f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a
＝2＋3a，解得 a＝－34.综上可知，a 的值为－34.
答案
3，n＝1， (1)3n－1，n≥2
(2)－34
探究提高 由性质、定理、公式的限制引起的分 类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质 是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情 况下使用，如等比数列的前n项和公式、函数的 单调性等.
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想
高考定位 分类讨论思想，转化与化归思想近几年高 考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数 列解答题中，难度较大.
1.中学数学中可能引起分类讨论的因素 (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、 不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中 除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算 中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等 式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域， 等比数列{an}的前n项和公式等.
探究提高 由参数的变化引起的分类整合法 经常用于某些含有参数的问题，如含参数的 方程、不等式，由于参数的取值不同会导致 所得结果不同，或对于不同的参数值要运用 不同的求解或证明方法.
热点二 转化与化归思想
[微题型1] 换元法 【例2－1】 已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2
＝1，则a的最大值是________. 解析 令 b＝x，c＝y，则 x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2.
此时直线 x＋y＝－a 与圆 x2＋y2＝1－a2 有交点，
则圆心到直线的距离
d＝
|a| ≤ 2
1－a2，解得 a2≤23，
所以
a
的最大值为
6 3.
答案
6 3
探究提高 换元法是一种变量代换，也是一种特殊的 转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变 数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或 简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂 为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.