奇异积分与奇异积分方程的高精度算法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
奇异积分与奇异积分方程的高精度算法
奇异积分与奇异积分方程广泛地出现于数学物理、流体力学、断裂力学、电磁力学、化学、生物工程和石油工程等诸多学科和工程的数学模型中.由于这些数学模型大多是由实际问题转化而来的,要想
达到对实际问题估算的目的,计算奇异积分以及求解奇异积分方程就
成为研究数学模型的重要内容.本文主要介绍奇异积分以及奇异积分
方程的数值算法.本文主要研究了以下几个方面的内容:1.简要介绍
了边界元方法及其优点、奇异积分与奇异积分方程的研究背景和意义以及含Volterra型算子的积分方程的研究背景和意义三方面的内
容.2.研究了计算超奇异积分的数值方法.在积分算子的奇异点为被
积区间内任意一点的情况下,推导了该类超奇异积分的误差渐近展式（Euler-Maclaurin展式）以及求积公式.根据该误差渐近展式以及
求积公式的特点,推导了相应求积公式的外推公式,并给出了相应公
式的误差估计式.3.研究了混合奇异积分的数值算法.该类混合奇异
积分是指包含超奇异性和对数奇异性两种奇异类型的积分.依据超奇
异积分的Euler-Maclaurin展式关于参数的解析性质,推得该类混合
奇异积分的Euler-Maclaurin展式,还得到了对数奇异积分的误差渐
近展式.4.提出了平面定常Stokes方程的数值解方法.通过应用单层
位势理论和Stokes方程基本解的方法,将平面定常Stokes方程转化
为第一类的边界积分方程.该类积分方程是具有对数奇异性的奇异积
分方程,该类积分方程求解的数值方法分以下两种情况讨论:一种情
况是积分边界为光滑闭曲线Γ时,给出了奇异积分方程的机械求积法、
误差渐近展式以及机械求积法的Richardson外推公式,并由误差渐近展式得到机械求积法的误差估计式.另一种情况是积分边界为分片光滑闭曲线Γ=∪m=1dΓm（即曲线所围区域是多角域）时,给出了奇异积分方程的机械求积方法、多变量近似误差展式以及分裂外推公式,同时还由多变量近似误差展式得到了机械求积法的后验误差估计.机械求积法（MQM）的收敛性由Anselone的聚紧收敛理论及渐近紧理论给予了证明.5.介绍了第二类非线性的Volterra弱奇异积分方程的数值解方法.当第二类非线性的Volterra奇异积分方程满足Lipshitz条件时,应用Gronwall不等式和Laplace变换及其反演变换方法,证明了该类奇异积分方程解的存在唯一性.还给出了求解该类奇异积分方程的数值方法（修正的梯形求积法）以及其外推方法,同时还给出相应公式的误差估计式.