具一阶奇异性解的奇异积分方程的直接解法

具一阶奇异性解的奇异积分方程的直接解法本文研究了一类具有一阶奇异性解的完全奇异积分方程的直接解法。全文包括以下三个部分: 引言介绍了本课题的背景和国内外的主要研究现状和方法,本问题的由来和选题的理由以及得到的主要结果。

第一章介绍了本文涉及到的知识背景和相关的基本概念:Cauchy型积分,Cauchy主值积分等,以及本文要用到的与它们有关的一些经典结果。第二章讨论了具有一阶奇异性解的完全奇异积分方程的直接解法,这是本文的关键所在。

首先我们给出关于一阶奇异性的定义及相关引理。然后我们给出一个重要的引理,它不仅是本文的基础,而且这个引理还具有独立的意义。

最后在以上工作的基础上,引进Hermite插值多项式,同时结合[7-10]的工作,在附加一定条件的情况下,对具有一阶奇异性解的完全奇异积分方程在正则型情形和边界上只具有单重零点的非正则型情形进行了直接求解,得到了其可解的充要条件和解的封闭形式。本文主要在以下几个方面有所创新: 第一,首次研究了具有一阶奇异性解的完全奇异积分方程的直接求解,并得到其可解的充要条件和解的封闭形式。

第二,引入了Hermite插值多项式,这是与[7-10]最大的不同。优点在于:利用Hermite插值多项式可以消除函数的奇异性,使得问题变得简单,在分析问题和计算时更为简捷;减少了可解条件的个数,而且使可解条件具有较为简单的形式,便于检验。

第三,给出了一个重要引理,它不但适用于完全奇异积分方程的直接求解,而且还具有独立的意义,例如可运用于插值、求积理论等。