习题解答

第十一章 微分方程

习题11－1

1．说出下列各微分方程的阶数：

（1）2

0dy dy x y dx dx ⎛⎫

+-= ⎪⎝⎭

； （2）220d Q dQ Q L R

dt dt C -+=； （3）220xy y x y '''''++= ； （4）()d (76)0x y y x y dx ++-=；

（5）2sin y y y x '''++= ； （6）2d sin .d ρ

ρθθ

+= 解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解： （1）22 , 5;xy y y x '==

（2）0 , 3sin 4cos ;y y y x x ''+==-

（3）221

, ;y x y y x

''=+=

（4）21221 , sin cos .2

x x d y y e y C x C x e dx +==++

解：（1）∵ 10 y x '=，代入方程得 21025x x x ⋅=⋅

∴25y x =是方程的解．

（2）∵ 3cos 4sin ,3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+，代入方程，得

∴ 3sin 4cos y x x =-是方程的解．

（3）∵ 2312,y y x x '''=-=，代入方程，得 2

32

21x x x

≠+ ∴1

y x

=

是方程的解． （4）∵ 21212211

cos sin ,sin cos 22x x dy d y C x C x e C x C x e dx dx =-+=--+，代入方程， 得 121sin cos 2x C x C x e ⎛

⎫--++ ⎪⎝

⎭121sin cos 2x x C x C x e e ⎛⎫++= ⎪⎝⎭

∴121

sin cos 2

x y C x C x e =++是方程的解．

3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：

（1）()2222 , ;x y y x y x xy y C '-=--+= （2）()220 , ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==

解：（1）在二元方程22 x xy y C -+=的两边同时对x 求导，得 移项后即得 ()22 x y y x y '-=-

故二元方程22x xy y C -+=所确定的函数是所给微分方程的解．

（2）在 ln()y xy =两边对x 求导，得11 ()y y y xy xy x y '''=

+=+， 即 y

y xy x

'=- ()()

()

()

()

2322

2

3

122 y xy x y y xy xy y y

xy xy xy

y xy x xy x xy x ''--+-'--+-+-''=

=

=

---，

代入微分方程，得

故 ln()y xy =所确定的函数是所给微分方程的解．

4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： （1）2220 , |1;x x xy y C y =-+==

（2）()1200 , |0 , |1;x x x y C C x e y y =='=+== （3）1200cos sin , | 1 , |.t t x C t C t x x ωωω=='=+== 解：（1）∵ 0 |1x y ==

∴222 =0011C -+=

即 221x xy y -+=

（2）()122 x

y C C x C e '=++，由00 |0 , |1x x y y =='==，得 112

01C C C =⎧⎨+=⎩

∴12 =0 , =1C C ， x y xe =

（3）12sin cos x C t C t ωωωω'=-+，由00| 1 , |t t x x ω=='==，得 12

1

C C ωω=⎧⎨=⎩

∴12 =1 , =1C C ， cos sin x t t ωω=+

5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

（1）曲线在点(,)x y 处切线的斜率等于该点横坐标的平方；

（2）曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分. 解：（1）设曲线的方程为()y y x =，则曲线上点(,)x y 处切线的斜率为y '，由条件知2y x '=，此即为所求曲线的微分方程.

（2）设曲线的方程为()y y x =，则曲线上点(,)P x y 处法线的斜率为1

y -'

，由条件知线段PQ 中点的横坐标为0，所以Q 的坐标为(,0)x -，则有

即所求曲线的微分方程为 20yy x '+=．

习题

11－2

1．求下列微分方程的通解：

（1）ln 0;xy y y '-= （2）23550;x x y '+-=

（3'= （4）2();y xy a y y '''-=+ （5）cos sin d sin cos d 0;x y x x y y += （6）2d (4)d 0.y x x x y +-= 解：（1）原方程可写为ln 0dy

x

y y dx

-=，分离变量，得

d 1,ln y dx y y x = 两端积分，得 11

ln dy dx y y x

=⎰

⎰ 即 ln ln ln ln ln y x C Cx =+=，亦即ln y Cx = ，故通解为Cx y e = （2）原方程可写为

235dy x x dx =+，两端分离变量并积分，得 23

()5dy x x dx =+⎰⎰，

故通解为2311

25

y x x C =++ .

（3）原方程可写为dy

dx =,两端分离变量并积分，得

=，故通解为arcsin arcsin y x C =+.

（4）原方程可写为21dy ay dx x a

=--,两端分离变量并积分，得211a

dy dx y x a =--⎰⎰

，