三角函数与解三角形专题训练

三角求值与解三角形专项训练

1 三角公式运用

【通俗原理】

1．三角函数的定义：设(,)P x y ，记xOP α∠=∈R ，||r OP == 则sin ,cos ,tan (0)y x y x r r x

ααα=

==≠. 2．基本公式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==. 3．诱导公式：

4．两角和差公式：sin( cos(sin sin α tan tan tan(1tan tan αβαβ

±. 5．二倍角公式：sin2cos αα，

22cos2sin 2cos 1ααα-=-tan 2αα

. 6．辅助角公式：①22sin cos sin()a b a b θθθϕ+=++，

其中ϕ由tan b a

ϕ=及点(,)a b 所在象限确定.

②sin cos cos sin )a b a b θθθθθϕ'''+=+=

-， 其中ϕ'由tan b a ϕ''=

'及点(,)a b ''所在象限确定.

【典型例题】

1．已知α∈R ，证明：sin()cos 2

ααπ-

=-.

2．若(0,)2απ∈，tan 2α=，求sin cos αα+的值.

3．已知sin()1αβ+=，1sin()2αβ-=，求tan tan αβ的值.

4．求cos15tan15+的值.

5．证明：3cos34cos

3cos ααα=-.

【跟踪练习】

1．已知3sin()35απ-

=，求cos()6απ+的值.

2．若1sin 22

β=

，求tan β的值.

三角求值与解三角形专项训练

2. 解三角形

1．三角形边角关系：在ABC △中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，①A B C ++=π；

②若a b c ≤≤，则a b c +>；③等边对等角，大边对大角.

2．正弦定理：

2sin sin sin a b c R A B C

===(R 是ABC △外接圆的半径). 变形：2sin a R A =，2sin ,2sin b R B c R C ==. 3．余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩

.变形：222

cos 2b c a A bc +-=，其他同理可得. 4．三角形面积公式：111sin sin sin 222

ABC S ab C bc A ac B =

==△. 5．与三角形有关的三角方程：①sin2sin2A B =⇒A B =或22A B =π-；

②cos2cos2A B =⇒A B =.

6．与三角形有关的不等式：①sin sin cos cos a b A B A B >⇔>⇔<. 7．解三角形的三种题型：①知三个条件(知三个角除外)，求其他(角、边、面积、周长等)； ②知两个条件，求某个特定元素或范围；

③知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.

【典型例题】

1．在ABC △中，若cos cos a A b B =，试判断ABC △的形状.

2．在ABC △中，证明：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<.

3．在ABC △中，1a =，6A π=

，3b =C 的大小.

4．在ABC △中，2C A =，2c a =

，求角A 的大小.

5．在ABC △sin 3cos c C

A =，求角A 的大小.

6．在ABC △中，c =3

C π=. (I)求ABC △面积的最大值；

(II)求ABC △周长的取值范围.

【跟踪练习】

1．在B C A ∆中，(sin sin )()(sin sin )a A B c b C B -=-+，求角C .

2．在B C A ∆中，222a c b ac +=-．

(I)求B ∠的大小；

(II)求C A cos cos +的最大值．

3．在B C A ∆中，222+-=b c a ，23

B π=，=b . (I)求B

C 边上的中线A

D 的长；

(II)求BAC ∠的角平分线AE 的长.

参考答案

5.1 三角公式

【典型例题】

1．证明：如图，在单位圆中，记xOP α∠=， =2

xOQ απ∠-，有(,),(,)P x y Q y x -， 则sin()2x απ-=-，而cos x α=-， ∴sin()cos 2

ααπ-=-. 2．解法一：∵(0,)2

απ∈，tan 2α=，有sin 2cos αα=， 代入22sin cos 1αα+=得21cos 5

α=

，则cos 5α=

，sin 5α=，

∴sin cos αα+=. 解法二：∵(0,)2

απ∈，tan 2α=，

∴2(sin cos )12sin cos αααα+=+ 222sin cos 1sin cos αααα=+=+22tan 91tan 15

αα+=+， 又sin cos 0αα+>

，有sin cos 5αα+=

. 3．解：由sin()1αβ+=，1sin()2

αβ-=， 得sin cos cos sin 11sin cos cos sin 2

αβαβαβαβ+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，则31sin cos ,cos sin 44αβαβ==，