北师大版全等三角形(教师版)

全等三角形

一、知识回顾

1、概念理解：

两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形，而两个三角形全等的判定是几何证明的有力工具。

2、三角形全等的判定公理及推论有：

（1）“边角边”简称“SAS”

（2）“角边角”简称“ASA”

（3）“边边边”简称“SSS”

（4）“角角边”简称“AAS”

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3、全等三角形的性质：

全等三角形的对应角相等、对应边相等。

注意：

1）性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

二、例题分析：

例1，如图△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，说出对应角和另一组对应边。

例2，如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，写出两个全等三角形的对应角

与对应边，并问图中是否存在其它的全等三角形。

三、归纳总结：

1、找全等三角形的对应边，对应角的方法是：

（1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。

（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。

（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。

（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。

2、利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素是寻找两个三角形全等的重要途径之一。

如图（一）中的AD，图（二）中的BC

都是相应三角形的公共元素。图（三）中如有BF=CE，利用公有的线段FC就可推出BC=EF。图（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。

3、三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点

只有掌握好全等三角形的各种判定方法，才能灵活地运用它们学好今后的知识。证明三角形全等有五种方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL为了判定两个三角形全等，了解和熟悉下面的基本思路很有必要。

①有两组对应角相等时；找

②有两组对应边相等时；找

③有一边，一邻角相等时；找

④有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS）

说明：由以上思路可知两个三角形的六个元素中、若只有一对对应元素相等，或有两对对应元素相等，则它们不一定全等。因此要得出两个三角形全等必须要有三对对应元素相等才有可能成立。若两个三角形中三对角对应相等，它们只是形状相同，而大小不一定相等，所以这两个三角形不一定全等。如下图（一）因此要判定三角形全等的三对对应元素中，至少有一对是边。还要注意一个三角形中的两边及其中一边所对的角对应相等，这两个三角形不一定全等。如图（二）中，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B但△ABC 和△ABD明显的不全等。

注：全等三角形判定没有（AAA）和（SSA）

例3，如图，AD=AE，D、E在BC上，BD=CE，

∠1=∠2，求证：△ABD≌△ACE

说明：全等三角形的论证，是研究图形性质的重要工具，是进一步学习平面几何知识的基础。因为研究图形的性质时，往往要从研究图形中的线段相等关系或角的相等关系入手，发现和论证全等三角形正是研究这些关系的基本方法；另一方面，论证全等三角形又是训练推理论证的起始，是培养逻辑推理能力的关键的一环。

三角形全等证明的基本模式是：

题设△1≌△2

具体的可以分为四步基本格式。

（1）证明三角形全等需要有三个条件，三个条件中如有需要预先证明的，应预先证出。

（2）写出在哪两个三角形中证明全等。

（3）按顺序列出三个条件，用大括号合在一起，并写出推理的根据。

（4）写出结论。

例4，已知如图，AC与BD相交于O,OA=OC，OB=OD，求证：∠OAB=∠OCD。

例5，已知如图，AB=AC，∠1=∠2AD⊥CD，AE⊥BE，求证：AD=AE

例6，已知如图，AB=DC，AD=BC，O是DB的中点，过O点的直线分别与DA和BC 的延长线交于E、F，求证：∠E=∠F。

例7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．

四、同步测试

选择题：A组：

1．在ΔABC和ΔDEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，增加下面的条件后，还不

能判定ΔABC≌ΔDEF的是（）

A、BC=EF

B、AC=DF

C、∠A=∠D

D、∠C=∠F

2．下列四组线段，能组成三角形的是（）

A、2、2、5

B、3、7、10

C、3、5、9

D、4、5、7

3．能判定两个等腰三角形全等的是（）

A、底角与顶角对应相等

B、底角与底边对应相等

C、两腰对应相等

D、底对应相等

4．如图，O是AC、BD的中点，如果每一对全等三角形为一组，那么，图中全

等三角形的组数为（）

A、1

B、2

C、3

D、

4

5．如图，BF⊥AC，CE⊥AB，且∠ABC=∠ACB，则可判定ΔBEC≌ΔCFB，其依据是（）A、ASA公理或AAS B、SSS公理

C、SAS公理

D、三个角相等。

选择题：B组：

1.在△ABC中，AB=AC，高BF、CE、AD交于一点O，如图,全等三角形的对

数是（）。