北师大版中考数学全等三角形复习

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北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ．【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∴AC=CD ，CE=CB ，∵在△ACE 与△DCB 中，,AC DC ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ；∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF ，∵△ABC ≌△DBE ，∴BC=BE ，∵∠ACB=∠DEB =90°，∴△BCF 和△BEF 是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BE BF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ，∴CF=EF ；∵△ABC ≌△DBE ，∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（）①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．故选C．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵精品文档用心整理∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．资料来源于网络仅供免费交流使用。

中考数学复习《全等三角形》专题(卷1)

《全等三角形》中考复习一. 选择题1. 如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≅△ACD的是( )A.BD=CEB.∠BDC=∠BECC.∠ACD=∠ABED.BE=CD2. 如下图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC于点D．则下列说法中正确的是（）①AD是∠BAC的角平分线；②∠ADC=60∘；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.A.①②③④B.②③④C.①②D.①②③3. 如图，若△MNP≅△MEQ，则点Q应是图中的()A.点AB.点BC.点CD.点D4. 全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A1B1C1是全等（合同）三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形如图①，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形如图②，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合如图①，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180∘如图②，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )A. B. C. D.5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理6. 如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画射线O′A′，以O′为圆心，OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′③以C′为圆心，CD的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′④过点D′画射线O′B′根据以上操作，可以判定△OCD≅ΔO′C′D′，其判定的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.HL7. 如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD//OA交OB于点D，点I是△OCD 的内心，连结OI，BI，∠AOB=β，则∠OIB等于()A.180∘−βB.180∘−12β C.90∘+12β D.90∘+β8. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带( )A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块二. 填空题三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上________根木条．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA=OB，再分别以点A、B 为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a,−a+8)，则a=________.如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠ABC=60∘，∠EAF=60∘，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF；②∠EAB=∠CEF；③△ABE∼△EFC；④若∠BAE=15∘，则点F到BC的距离为2√3−2.正确序号________.如图，△ABC中，点A的坐标为(0, 1)，点C的坐标为(4, 3)，如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是________．三. 解答题如图，小明用五根宽度相同的木条拼成了一个五边形，已知AE//CD，∠A=12∠C，∠B=120∘.(1)∠D+∠E=________度；(2)求∠A的度数；(3)要使这个五边形木架保持现在的稳定状态，小明至少还需钉上________根相同宽度的木条．根据要求完成下列各题．(1)如图1，在∠AOB的内部有一点P．①过点P画直线PC//OA交OB于点C；②过点P画直线PD⊥OA，垂足为D．(2)如图2，AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2，试说明∠3=∠E在下面解答中填空．解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠________=90∘（________），∴AB//CD（________）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（________），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（________）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF= BD，连接BF．(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．(3)当△ABC满足________条件时，四边形AFBD是正方形？（直接写出结论，不用说明理由）一条大河两岸的A、B处分别立着高压线铁塔，如图所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法．（要求，画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案）参考答案与试题解析一. 选择题1.【答案】D【解析】欲使△ABE≅△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．2.【答案】A【解析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≅△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30∘，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60∘；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30∘，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．3.【答案】D【解析】此题暂无解析4.【答案】B【解析】认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．5.【答案】B【解析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正确的选项即可．6.【答案】A【解析】此题暂无解析7.【答案】B 【解析】此题暂无解析8.【答案】B【解析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．二. 填空题【答案】3【解析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．【答案】2【解析】此题暂无解析【答案】①②【解析】①只要证明△BAE≅△CAF即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点F到BC的距离即可判断．【答案】(4, −1)或(−1, 3)或(−1, −1)【解析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．三. 解答题【答案】180(2)五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘，由(1)可知，∠D+∠E=180∘，又∠B=120∘，∠A=12∠C.设∠A=x，则∠C=2x，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540∘,即x+120∘+2x+180∘=540∘,解得x=80∘,∴∠A=80∘.2【解析】(1)根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补即可得到180∘.先由AE//CD，根据平行线的性质得出∠E+∠D=180∘．再根据∠B=120∘，∠A=12∠C，设∠A=x∘，则∠C=2x∘．利用五边形的内角和为540∘列出方程x+120+2x+180=540，求解即可.根据五边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性即可求解．【答案】解：（1）①如图，直线PC即为所求；②如图，直线PD即为所求；（2）解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠CDF=90∘（垂直的定义），∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（内错角相等，两直线平行），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（两直线平行，同位角相等）【解析】此题暂无解析【答案】解：(1)BD=CD．理由如下：依题意得AF // BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，{∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≅△DEC(AAS)，∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；(2)当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF // BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90∘，∴四边形AFBD是矩形．AB=AC，∠BAC=90∘【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90∘，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【答案】解：在河南岸AB的垂线BF上取两点C、E，使CE=BE，再定出BF的垂线CD，使A、E、D在同一条直线上，这时测得CD的长就是AB的长．如图所示：【解析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．。

专题16 全等三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮

专题16 全等三角形的核心知识点精讲1.熟悉全等三角形常考5种模型2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。

考点1：全等三角形的概念及性质考点2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角【题型1：平移型】【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝D F，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型2：对称型】【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【题型3：旋转型】【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【题型4：一线三等角】【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC 的延长线于点E．求证：CE＝AB．1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥A D于点F．求证：AF＝BE．一．选择题（共8小题）1．下列各组图案中，不是全等形的是（）A．B．C．D．2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50°B．58°C．60°D．72°3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（）A．10B．6C．4D．25．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．填空题（共4小题）9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为．10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件就可以判断△ABC ≌△BAD．11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是．12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度数．16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（）个．A．5B．4C．3D．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CE F．其中正确的是（）A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接A F，下列结论：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠F AB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6B．8C．10D．126．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、B E相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB 交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠E DF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝°．9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是（填序号）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③A C＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是．（填序号）12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC 与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．三．解答题（共4小题）13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：AP＝AQ；（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交A D于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB ＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B 作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是．7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝B C．8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠B AD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．。

中考数学考点专题复习三角形与全等三角形

剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。

2024年中考数学复习+全等三角形课件

3．(2020·衡阳8分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. (1)求证：DE＝DF；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90° ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 在△BED和△CFD中，
∠BED=∠CFD ∠B=∠C
BD=CD
强调：两角一边一定能判定三角形全等
方法指 ----全等常见的判定思路：引
已知一角一边：找角的邻边找边的邻角找边的对角
已知两边：
找第三边找夹角找直角
已知两角：找夹边
找对边找第三边
方法指引
E
全等与图形的变换：
D
F
G 轴对称
直观发现全等
平移
旋转
通过图形的变换，直观发现全等；发现相等的边、相等的角.
1．(2022·衡阳6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，且BD＝CE.求证：AD＝AE.
证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C.
在△ABD和△ACE中，
AB=AC
∠B=∠C
全等五行
∴△BADB=DC≌E △ACE(SAS)．
∴AD＝AE.
2．(2021·衡阳6分)如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AB＝DE， AC∥DF，BC∥EF.求证：△ABC≌△DEF.
4．(2018·衡阳6分)如图，线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE. (1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．
（1）证明：在△ABE和△DCE中，
AE=DE
∠AEB=∠DEC
BE=CE
∴△ABE≌△DCE(SAS)．
（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴AB＝CD. ∵AB＝5，∴CD＝5.

(2021年整理)备战中考数学(北师大版)巩固复习三角形(含解析)

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2019备战中考数学(北师大版）巩固复习—三角形(含解析）一、单选题1.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长可能是( ）A。

4cmB。

5cmC。

6cmD. 11cm2。

如图．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上,且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A. 3个B. 4个C。

5个D。

6个3。

如图，已知A.D.C。

F在同一条直线上，AB=DE ， BC=EF ，要使△ABC≌△DEF , 还需要添加一个条件是（）A. BC∥EF B。

∠B=∠FC。

AD=CFD. ∠A=∠EDF4.如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点,当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（)A. PD=DQ B。

DE=ACC. AE=CQD. PQ⊥AB5。

不能确定△ABC与△DEF全等的是（）A. AC=DF,AB=DE，BC=EF，B。

AB=DE，∠A=∠D， BC=EFC。

AC= DF，∠A=∠D，∠C=∠F D. AC= DF，∠B=∠E，∠A=∠D6。

如图已知，AC=AD，BC=BD,便能知道∠ABC=∠ABD．这是根据什么理由得到的,小芳想了想，马上得出了正确的答案．你猜想小芳说的依据是( )A. SASB. SSAC. ASAD。

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2019备战中考数学（北师大版）巩固复习-三角形（含解析）一、单选题1.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长可能是( )A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 11cm2.如图．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个3.如图，已知A.D.C.F在同一条直线上，AB=DE ，BC=EF ，要使△ABC≌△DEF ，还需要添加一个条件是（）A. BC∥EFB. ∠B=∠FC. AD=CFD. ∠A=∠EDF4.如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ 时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）A. PD=DQB. DE=ACC. AE=CQD. PQ⊥AB5.不能确定△ABC与△DEF全等的是（）A. AC=DF，AB=DE，BC=EF,B. AB=DE，∠A=∠D，BC=EFC. AC= DF，∠A=∠D，∠C=∠FD. AC= DF，∠B=∠E，∠A=∠D6.如图已知，AC=AD，BC=BD，便能知道∠ABC=∠ABD．这是根据什么理由得到的，小芳想了想，马上得出了正确的答案．你猜想小芳说的依据是（）A. SASB. SSAC. ASAD. SSS7.根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A. AB=3，BC=4，AC=8B. AB=4，BC=3，∠A=30°C. ∠A=60°，∠B=45°，AB=4D. ∠C=90°，AB=68.已知:如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，若∠D=25°，则∠B的度数为( )A. 25°B. 30°C. 15°D. 30°或15°9.三角形三边长分别是6，2a﹣2，8，则a的取值范围是（）A. 1＜a＜2B. ＜a＜2C. 2＜a＜8D. 1＜a＜4二、填空题10.如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2，则S2＝________。

中考数学总复习《全等三角形》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《全等三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是( )A. B. C. D.2.下列叙述中错误的是( )A.能够重合的图形称为全等图形B.全等图形的形状和大小都相同C.所有正方形都是全等图形D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形3.下列四个选项图中，与题图中的图案完全一致的是( )A. B. C. D.4.如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是( )A.AD＝AEB.DB＝AEC.DF＝EFD.DB＝EC5.如果两个三角形全等，那么下列结论不正确的是( )A.这两个三角形的对应边相等B.这两个三角形都是锐角三角形C.这两个三角形的面积相等D.这两个三角形的周长相等6.已知图中的两个三角形全等，则∠a度数是( )A.72°B.60°C.58°D.50°7.已知下列条件，不能作出唯一三角形的是( )A.两边及其夹角B.两角及其夹边C.三边D.两边及除夹角外的另一个角8.如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去9.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE．其中正确的是( )A.②B.①②③C.①②④D.①②③④10.如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°.下列结论：①∠1＝∠3；②BD＋DH＝AB；③2AH＝BH；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF.其中正确的结论是( )A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④二、填空题11.如图，四边形ABCD≌四边形A/B/C/D/，则∠A的大小是________.12.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x＋y＝.13.工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC.由此作法得△MOC≌△NOC的依据是．14.如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝38°，则∠AEB＝ .15.要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD ＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上(如图所示)，可以说明△EDC ≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是16.在△ABC中，AB＝8，AC＝10，则BC边上的中线AD的取值范围是 .三、解答题17.如图，线段AC与线段BD相交于点O，连结AB，BC，CD，∠A＝∠D，OA＝OD.求证：∠1＝∠2.18.如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD，BD，CD．求证：AD平分∠BAC．19.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED;(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．20.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB的延长线上一点，点E在BC 边上，且BE＝BD，连结AE，DE，CD．(1)求证：△ABE≌△CBD．(2)若∠CAE＝27°，∠ACB＝45°，求∠BDC的度数．21.如图，AD∥BC，∠D＝90°．(1)如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB＝35°，求∠PAD的度数为多少？22.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论.答案1.D.2.C3.A4.B.5.B6.D7.D.8.C9.C10.C.11.答案为：95°.12.答案为：10.13.答案为：SSS.14.答案为：128°.15.答案为：ASA.16.答案为：1＜AD ＜9.17.证明：在△AOB 和△DOC 中∵⎩⎨⎧∠A ＝∠D ，OA ＝OD ，∠AOB ＝∠DOC ，∴△AOB ≌△DOC(ASA)∴AB ＝DC ，OB ＝OC.∴OA ＋OC ＝OD ＋OB ，即AC ＝DB.在△ABC 和△DCB 中∵⎩⎨⎧AC ＝DB ，AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB(SSS)∴∠1＝∠2.18.证明：在△ABD 和△ACD 中∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SSS)∴∠BAD ＝∠CAD即AD 平分∠BAC ．19.解：(1)∵AE 和BD 相交于点O∴∠AOD ＝∠BOE.在△AOD 和△BOE 中∠A ＝∠B ，∠AOD ＝∠BOE∴∠BEO ＝∠2.又∵∠1＝∠2∴∠1＝∠BEO∴∠AEC ＝∠BED.在△AEC 和△BED 中⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED ，∴△AEC ≌△BED(ASA)；(2)∵△AEC ≌△BED∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE.在△EDC 中∵EC ＝ED ，∠1＝42°∴∠C ＝∠EDC ＝69°∴∠BDE ＝∠C ＝69°.20.证明：(1)∵∠ABC ＝90°∴∠CBD ＝90°＝∠ABC ．在△ABE 和△CBD 中∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD(SAS)．(2)∵△ABE ≌△CBD∴∠AEB ＝∠CDB ．∵∠AEB 为△AEC 的一个外角∴∠AEB ＝∠CAE ＋∠ACB ＝27°＋45°＝72° ∴∠BDC ＝72°．21.解：点P 是线段CD 的中点．证明如下：过点P 作PE ⊥AB 于E∵AD ∥BC ，PD ⊥CD 于D∴PC ⊥BC∵∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ∴PD ＝PE ，PC ＝PE∴PC ＝PD∴点P 是线段CD 的中点．(2)35°22.解：(1)证明：延长AE 交DC 的延长线于点F∵E 是BC 的中点∴CE ＝BE∵AB ∥DC∴∠BAE ＝∠F在△AEB 和△FEC 中∴△AEB≌△FEC∴AB＝FC∵AE是∠BAD的平分线∴∠BAE＝∠EAD∵AB∥CD∴∠BAE＝∠F∴∠EAD＝∠F∴AD＝DF∴AD＝DF＝DC＋CF＝DC＋AB(2)如图②，延长AE交DF的延长线于点G∵E是BC的中点∴CE＝BE∵AB∥DC∴∠BAE＝∠G在△AEB和△GEC中∴△AEB≌△GEC∴AB＝GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG∵AB∥CD∴∠BAG＝∠G∴∠FAG＝∠G∴FA＝FG∴AB＝CG＝AF＋CF第11 页共11 页。

中考数学复习讲义课件第4单元第17讲全等三角形

6．(2018·衡阳)如图，线段 AC，BD 相交于点 E，AE＝DE，BE＝CE. (2)当 AB＝5 时，求 CD 的长．
解：∵△ABE≌△DCE，∴AB＝CD． ∵AB＝5，∴CD＝5.
7．(2016·衡阳)如图，点 A，C，D，B 四点共线，且 AC＝BD，∠A＝∠B， ∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF. 证明：∵AC＝BD，∴AC＋CD＝BD＋CD，即 AD＝BC．
[分析] 过点 M 作 AD 的垂线交 AB 于点 E，根据 ASA 可证明 △BEM≌△NAM，得出 BM＝NM；
证明：过点 M 作 AD 的垂线交 AB 于点 E. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠NAB＝90°，∠BAD＝45°. ∴∠AEM＝90°－45°＝45°＝∠BAD． ∴EM＝AM，∠BEM＝135°. ∵∠NAB＝90°，∠BAD＝45°， ∴∠NAD＝135°.∴∠BEM＝∠NAD．
12．(2021·柳州)如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和 B，连接 AC 并延长到点 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到点 E，使 CE＝CB，连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A，B 的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．
[解析] 根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断 △ABC≌△DEF. ∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC．∴BC＝EF. 又∠B＝∠E， ∴当添加条件 AB＝DE 时，△ABC≌△DEF(SAS)，故选项 A 不符合题意；当添加条件∠A＝∠D 时，△ABC≌△DEF(AAS)，故选项 B 不符合题意；当添加条件 AC＝DF 时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项 C 符合题意；当添加条件 AC∥FD 时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF(ASA)，故选项 D 不符合题意．故选 C．

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形微专题2全等三角形的常见基本图形结构

∵AF＝CD,∴AF＋CF＝CD＋CF,∴AC＝DF.
＝,
在△ABC与△DEF中,ቐ∠＝∠,
＝,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB＝∠DFE,∴BC∥EF.
-9-
微专题
中心对称结构
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微专题
结构三旋转型
典例4 (2021·湖南湘西州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,CB＝
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微专题
【答案】∵AB＝AC,∴∠B＝∠C.
∵∠B＋∠BAP＝∠APD＋∠CPD,∠APD＝∠B,
∴∠BAP＝∠CPD.
∠＝∠,
在△BAP和△CPD中,ቐ∠＝∠,
＝,
∴△BAP≌△CPD(AAS),∴PC＝AB＝5,
∴BP＝BC－PC＝8－5＝3.
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微专题
一线三等角结构
微专题
微专题
全等三角形的常见基本图形结构 (必考)
结构一平移型
典例1 (2022·四川乐山)如图,B是线段AC的中点,AD∥BE,
BD∥CE.求证:△ABD≌△BCE.
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微专题
【答案】∵B为线段AC的中点,
∴AB＝BC.
∵AD∥BE,∴∠A＝∠EBC.
∵BD∥CE,∴∠C＝∠DBA.
∠＝∠,
∵∠DAB＝∠DCB＝90°,
∴∠D＋∠ABC＝∠CBE＋∠ABC＝180°,
∴∠D＝∠CBE.
∵∠DCB＝∠ACE＝90°,易得∠ACD＝∠ECB.
又∵CD＝CB,∴△ACD≌△ECB(ASA),
∴AC＝CE,AD＝BE.
∵∠ACE＝90°,∴ AC＝AE＝AB＋BE＝AB＋AD,
即AB＋AD＝ AC.
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中考数学复习：专题4-9 全等三角形在生活中的应用

专题09 全等三角形在生活中的应用【专题综述】学习了三角形全等的有关知识后，同学们会发现它可以解决许多生活中的实际问题，并且有利于考查同学们识别图形、动手操作的能力，更注重考查大家抽象、转化的思维能力以及运用几何知识解决实际问题的能力。

因此，同学们在学习过程中应该注意观察身边的实际问题，善于用数学的头脑去发现、分析、解决问题。

【方法解读】一、用于产品检验例1 如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的长a米，FG的长b米．如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【举一反三】如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)【来源】北师大版七年级数学下4.5 利用三角形全等测距离同步练习二、用于图形复原例2 如图是举世闻名的三星堆考古中挖掘出的一个三角形残缺玉片，工作人员想制作该玉片模型，则测量图中哪些数据，就可制成符合规格的三角形玉片模型？并说明其中的道理.【举一反三】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块【来源】2014-2015学年江苏省南苑中学八年级上学期第一次单元考试数学试卷（带解析）三、用于测量距离例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．图3【举一反三】小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【来源】北师大版七年级数学下册习题:4.5《利用三角形全等测距离》（详细答案）【强化训练】1.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（）A. SSSB. ASAC. AASD. SAS【来源】北师大版数学七年级下册第四章4.5利用全等三角形全等测距离课时练习2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离。

中考数学复习：专题4-10 全等三角形创新题

专题10 全等三角形创新题【专题综述】随着课程改革的不断深入，一大批格调清新、设计独特的开放型、探究型、操作型等创新题纷纷在各地中考试卷上闪亮登场。

近年来，有关全等三角形的创新题更令人耳目一新、目不暇接；试题以它的新颖性、思辨性摒弃模式、推陈出新，创造性地描绘了一个绚丽多姿的图形世界。

【方法解读】一、实际应用型例1 如图1，一块三角形模具的阴影部分已破损．只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带'''？请简要说明理残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具A B C由．【举一反三】如图所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，AB表示一棵塔松，A′B′表示一棵小杨树，同一时刻两棵树的影长相等，已知塔松高6米，则小杨树高______.【来源】北师大版七年级数学下册第四章三角形单元检验题二、操作探索型例2 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图2，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC 内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图2的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图3给出证明．【举一反三】在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；（2）设∠BAC= α，∠DCE= β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；α与β之②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接．．写出此时间的数量关系（不需证明）．【来源】北京市第四十四中学2017—2018学年度上期期中测试八年级数学试题三、开放探究型例3 如图4，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF．（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；A. ②③B. ①②C. ①③D. ①②③【来源】浙江杭州余杭区2016-2017学年八年级上学期期末数学试题4.已知：∠MON=α，点P是∠MON角平分线上一点，点A在射线OM上，作∠APB=180°-α，交直线ON 于点B，PC⊥ON于C.（1）如图1，若∠MON=90°时，求证：PA=PB；（2）如图2，若∠MON=60°时，写出线段OB，OA及BC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若∠MON=60°时，点B在射线ON的反向延长线上时，（2）中结论还成立吗？若不成立，直接写出线段OB，OA及BC之间的数量关系（不需要证明）.【来源】北京师大附中2017-2018学年上学期初中八年级期末考试数学试卷5.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图一，若△ABC是等边三角形，且AB=AC=2,点D在线段BC上，①求证：∠BCE+∠BAC=180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC 60°，当点D在射线．．上移动，则∠BCE和∠BAC 之间有怎样的数量关系？并说明理．．BC由.【来源】浙江省吴兴区2017-2018学年八年级上学期期终模拟数学试题6.如图，点B、D、E、C在一条直线上，△ABD≌△ACE，AB和AC，AD和AE是对应边，除△ABD≌△ACE外，图中还有其他全等三角形吗？若有，请写出来，并证明你的结论。

中考数学一轮综合复习同步讲义(第9课全等三角形)

中考数学一轮分复习第09课全等三角形知识点：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧；倍长中线：截长补短：角平分线上：已知角平分线及垂足在上一点到一边距离：已知角平分线及平分线辅助线做法：共边问题：重叠角问题：已知两角，已知两边，全等三角形判定方法：角平分线画法：角平分线判定：角平分线性质：，，，，全等三角形判定：全等三角形性质：定义：全等三角形课堂练习：1.下列说法错误的有（）①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④边数相同的图形一定能互相重合．A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个2.已知△ABC 与△DEF 全等,∠A=∠D=900，∠B=370，则∠E 的度数是（）A.37°B.53°C.37°或63°D.37°或53°3.如图，已知∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需条件（）A.AB=AD,BC=DEB.BC=DE,AC=AEC.∠B=∠D,∠C=∠ED.AC=AE,AB=AD4.在△ABC 中，AC=5，中线AD=4，则边AB 的取值范围是( )A.1<AB<9B.3<AB<13C.5<AB<13D.9<AB<135.一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等,则x+y=6.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F,交DE于G,∠ACB=∠AED=1050，∠CAD=150 ,∠B=∠D=300，则∠1的度数为第6题图第7题图第8题图7.如图,AB=DB,∠ABD=∠CBE,请添加一个适当条件，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900，BC=2cm,CD⊥AB，在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm，则AE= cm．9.如图，已知AB⊥BD 于B，ED⊥BD 于D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____.10.如图,F在正方形ABCD的边BC边上,E在AB 的延长线上,FB=EB,AF 交CE 于G,则∠AGC的度数是______.11.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E 为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC 全等,这样的三角形最多可以画出_____个．12.如图，AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求证:△ABC≌△DEF．13.如图∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE，BD=CE.求证：AB=AC.14.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．15.如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF，AE=CF,BE=DF.求证：△ADE≌△CBF．16.如图,ΔABC和ΔBDE是等边三角形,D在AE 延长线上.求证:BD+DC=AD.17.如图,在△ABC中,∠ACB=900，AC=BC,D是AB上一点,AE⊥GD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F.求证：AE=EF+BF.18.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=900，BE⊥AD,垂足为E.求证：BE=DE．19.已知,在ΔABC中,∠B=2∠C,AD平分∠A交BC于D点,求证：AC=AB+BD.20.如图,等腰 Rt△OAB中,∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中,∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．21.已知在Rt△ABC中,∠C=900，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为C．求证：△DBE的周长等于AB的长．22.已知,如图,在四边形ABCD中,BC>AB，AD=DC,BD平分∠ABC.求证:∠BAD+∠BCD=180°.23.如图①,点E在正方形ABCD边BC上,BF⊥AE于F,DG⊥AE于G,可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E、F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF．应用：如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,B＞BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9,则△ABE与△CDF的面积之和为．第09课全等三角形测试题日期：月日满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.如图∠1=∠2=200，AD=AB,∠D=∠B，E 在线段BC 上，则∠AEC=（）A.200B.700C.500D.800第1题图第2题图第3题图2.某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去3.已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°4.如图,已知点A、D、C、F在同一直线上,AB=DE，BC=EF,要使△ABC≌△DEF，还要添加一个条件是（）A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF第4题图第5题图第6题图5.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC≠BD，则图中全等三角形有（）A.4对B.6对C.8对D.10对7.在下列定理中假命题是（）A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B.一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形8.如图,△ABC中,∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,若AC=10cm,则△DBE的周长等于( )A.10cm B.8cm C.6cm D.9cm第8题图第9题图9.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1 处B.2 处C.3 处D.4 处10.若两个三角形的面积相等, 则这两个三角形________全等．（选择：一定或不一定）11.已知:如图,∠B=∠DEF,AB=DE,要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“ASA”为依据,还缺条件 .（2）若以“AAS ”为依据,还缺条件 .（3）若以“SAS ”为依据,还缺条件 .12.如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=600，BC=6，把△ABC 沿直线AD 折叠,点C 落在C /处,连接BC /，那么BC /的长为．第12题图第13题图第14题图13.如图,△ABD 与△AEC 都是等边三角形,AB ≠AC,下列结论中：①BE=DC ；②∠BOD=60°；③△BOD ∽△COE.正确的序号是 14.如图,△ABD 的三边AB 、BC 、CA 的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将△ABD 分为三个三角形，则CAO BCO ABO S S S ∆∆∆:: 等于______.15.如图,AB ∥CD,O 是∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点,OE ⊥AC 于E,且OE=3,则AB 与CD 间的距离等于16.如图,AC ⊥BC,BD ⊥AD,AC 与BD 交于O,AC=BD.求证：（1）BC=AD ；（2）△OAB 是等腰三角形．17.如图,已知AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且BD=CD.求证：BE=CF ．18.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC,E 是AB 的中点,连接DE 并延长交CB 的延长线于点F,点G 在边BC 上，且∠GDF=∠ADF ．（1）求证:△ADE ≌△BFE ；（2）连接EG,判断EG 与DF 的位置关系并说明理由．。

2023年九年级中考数学复习讲义三角形及其全等

2023年中考数学复习讲义三角形及其全等第一部分：知识点精准记忆一、三角形的基础知识1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2.三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4.三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．二、全等三角形1.三角形全等的判定定理：（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）；（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．2.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．三、线段垂直平分线与角平分线1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．第二部分：考点典例剖析考点一：三角形的三边关系【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是________．（写出一个即可）【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．考点二：三角形的内角和外角【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【例2-2】（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【例2-3】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，，连结CD ，BE ．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．考点三：三角形中的重要线段【例3-1】（2022•大庆）下列说法不正确的是( )A ．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B ．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C ．有两个角互余的三角形是直角三角形D ．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形ABC 40A ∠=︒BD BC CE ==80ABC ∠=︒BDC ∠ABE ∠BEC ∠BDC∠【例3-2】（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（）A ．点B ．点C ．点D ．点【例3-3】如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心考点四：垂直平分线与角平分线的性质【例4-1】（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定【例4-2】在△ABC 中，∠BAC =115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为 A B C D E F G ABC∆D E FGA ．50°B ．40°C ．30°D ．25°【例4-3】如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考点五：全等三角形的性质与判定【例5-1】2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F ，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例5-2】（2021·陕西中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．【例5-3】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，，，ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒,BD CE AF BD CE =BF CF ⊥AF CAD ∠45AFE ∠=︒//BD AC BD BC =E BC BE AC =D ABC ∠=∠//AB CD A D ∠=∠，证明：．【例5-4】（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上．若CE ＝BD ，则线段AE 和线段AD 的数量关系是．（拓展延伸）在△ABC 中，∠BAC ＝（90°＜＜180°），AB ＝AC ＝m ，点D 在边AC 上．（1）若点E 在边AB 上，且CE ＝BD ，如图（2）所示，则线段AE 与线段AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E 在BA 的延长线上，且CE ＝BD ．试探究线段AE 与线段AD 的数量关系（用含有a 、m 的式子表示），并说明理由．【例5-5】（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．考点六：三角形全等综合【例6-1】（2022·北京）在ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC = BE CF =AE DF=αα（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；（2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【例6-2】（2022·山东泰安·中考真题）正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE DP ⊥于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE EF =，连接AF BF 、，BAF ∠的平分线交DF 于G ，连接GC ．(1)求证：AEG △是等腰直角三角形；(2)求证：2AG CG DG +=；(3)若2AB =，P 为AB 的中点，求BF 的长．第三部分：中考真题一．选择题1．（2022•鄂尔多斯）如图，15AOE ∠=︒，OE 平分AOB ∠，//DE OB 交OA 于点D ，EC OB ⊥，垂足为C ．若2EC =，则OD 的长为( )A ．2B ．23C ．4D ．43+2．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A 的同岸选取点C ，测得30AC =，45A ∠=︒，90C ∠=︒，如图，据此可求得A ，B 之间的距离为( )A ．203B ．60C ．302D ．303．（2022•湘西州）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作//CG AB ，交HM 的延长线于点G ，若8AC =，6AB =，则四边形ACGH 周长的最小值是( )A ．24B ．22C ．20D ．184．（2022•西宁）若长度是4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是( )A ．2B ．5C ．10D ．117．（2022•西宁）如图，60MON ∠=︒，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点P ，画射线OP ；连接AB ，AP ，BP ，过点P 作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ．则以下结论错误的是( )A ．AOB ∆是等边三角形B ．PE PF =C ．PAE PBF ∆≅∆D ．四边形OAPB 是菱形5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是()A．5-B．4C．7D．86．（2022•大连）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒．分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若3AB=，则CD的长是()A．6B．3C．1.5D．1 7．（2022•青海）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE BC=，连接DE，F为DE中点，连接BF．若16AC=，12BC=，则BF的长为( )A．5B．4C．6D．88.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，2OA=，1OB=，3OC=，则AOB∆与BOC∆的面积之和为()A 3B3C33D39．（2022•长沙）如图，在ABC∆中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若22AB=AM的长为()A．4B．2C3D2 10．（2022•海南）如图，直线//m n，ABC∆是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是()A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒11．（2022•黑龙江）如图，ABC∆中，AB AC=，AD平分BAC∠与BC相交于点D，点E 是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若ABC∆的面积是24， 1.5PD=，则PE的长是()A ．90ADC ∠=︒B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =12．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是( )A ．三角形B ．平行四边形C ．长方形D ．正方形13．（2022•贺州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．34︒B ．44︒C ．124︒D ．134︒14.（2022•永州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，点D 为边AC 的中点，2BD =，则BC 的长为( )A 3B ．23C ．2D ．415．（2022•荆州）如图，直线12//l l ，AB AC =，40BAC ∠=︒，则12∠+∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒16．（2022•宜昌）如图，在ABC ∆中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD ∆的周长为( )A ．25B ．22C ．19D ．1817．（2022•岳阳）如图，已知//l AB ，CD l ⊥于点D ，若40C ∠=︒，则1∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒18．（2022•台湾）如图，ABC ∆中，D 点在AB 上，E 点在BC 上，DE 为AB 的中垂线．若B C ∠=∠，且90EAC ∠>︒，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？( )A ．12∠=∠，13∠<∠B ．12∠=∠，13∠>∠C ．12∠≠∠，13∠<∠D ．12∠≠∠，13∠>∠19．（2022•宜宾）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是( )A ．5B ．10C ．15D ．2020.（2022•广元）如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为( )A ．2.5B ．2C ．3.5D ．321.（2022•宜宾）如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC ∆内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则23CE =+．其中含所有正确结论的选项是( )A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④22.（2022•杭州）如图，CD AB ⊥于点D ，已知ABC ∠是钝角，则( )A ．线段CD 是ABC ∆的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC ∆的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC ∆的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC ∆的AC 边上的高线二．填空题1.（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____．3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC 中，AC ＝4，∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC 边的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接CD ，则AB 的长为_________________．4题4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．5.（2020·湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为_____．6．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且3AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是__________．7.如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．三．解答题1.（2022铜仁）如图，点C 在BD 上，,,,⊥⊥⊥=AB BD ED BD AC CE AB CD ．求证：ABC CDE △≌△．2.（2022福建）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．3.（2022广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．4.（2022大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若AE AC =，求证：AB DB =．5.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．6.（2022梧州）如图，在ABCD 中，E ，G ，H ，F 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且,BE DH AF CG ．求证：EF HG =．7.（2022遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．（1）求证：ADE CDG ≌；（2）若2AE BE ==，求BF 的长8.（2022贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．（1）求证：ABE FMN ≌△△；（2）若8AB =，6AE =，求ON 的长．9.（2022安徽）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ．连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．（1）如图1，若∥DE BC ，求证：四边形BCDE 是菱形；（2）如图2，连接AC ，设BD ，AC 相交于点F ，DE 垂直平分线段AC ．（ⅰ）求∠CED 的大小；（ⅱ）若AF ＝AE ，求证：BE ＝CF ．10.（2022玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB AC = ②DB DC = ③BAD CAD ∠=∠若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？解决方案：探究ABD △与ACD △全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，ABD △与ACD △全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求ABD ACD △≌△的概率．11.（2022北部湾）已知MON α∠=，点A ，B 分别在射线,OM ON 上运动，6AB =．（1）如图①，若90α=︒，取AB 中点D ，点A ，B 运动时，点D 也随之运动，点A ，B ，D 的对应点分别为,,A B D '''，连接,OD OD '．判断OD 与OD '有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图②，若60α=︒，以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC ，求点O 与点C 的最大距离：（3）如图③，若45α=︒，当点A ，B 运动到什么位置时，AOB 的面积最大?请说明理由，并求出AOB 面积的最大值．。

(北师大版)七年级数学下册：第四章三角形4.2图形的全等备课素材

置疑导入归纳导入复习导入悬念激趣观察实物、图片．请同学们观察下面这些图片有何特征？教学中要充分让学生列举生活中的例子，并试着用一个名词概括这些例子．请大家想一想在你周围有没有全等的图形？请看我手里的照片，同一底片，相同的两张是全等的，不同的两张是不全等的．同一人的两只手掌以及老师的手掌和学生手掌．图4－2－1说明：利用生活中的全等形图片导入新课，让学生初步感知全等形的特点，这样不仅可以调动学生的积极性，也能让学生感受数学无处不在．建议：让学生通过观察，对全等图形有一个感性认识．听故事，赏图片(多媒体出示一组图片)图4－2－2【师】艺术家M.C.埃舍尔把自己称为一个“图形艺术家”．他专门从事于木板画，在1956年举办的一次画展得到了许多数学家的赞赏，在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化．你知道他的画里蕴含着什么奥秘吗？让我们一起去探索吧！说明：利用名人的故事引入，激起学生学习新课的兴趣．学生通过观看图片，会发现其中有很多一样的图形．然后出示下一组图片，顺利进入全等图形的认识阶段．建议：通过小故事和具有视觉冲击力的图片，可迅速吸引学生的注意力和调动学生的学习欲望，然后利用学生发现的秘密引出探究学习的内容．94页随堂练习第2题图4－2－3如图4－2－3，△ABC≌△AEC，∠B＝30°，∠ACB＝85°，求出△AEC各内角的度数．【模型建立】全等三角形的对应边相等，对应角相等．【变式变形】1．如图4－2－4，△ABD≌△CDB，且AB，CD是对应边．下面四个结论中不正确的是(C)图4－2－4A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A＋∠ABD＝∠C＋∠CBDD．AD∥BC，且AD＝BC由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等．因为AD和BC是对应边，因此AD＝BC，又∠ADB 与∠CBD为对应角，即∠ADB＝∠CBD，可得AD∥BC.只有结论C不正确，答案为C.本题的解题关键是要知道两个全等的三角形中，对应顶点在对应的位置上，易错点是容易找错对应角∠ABD与∠CBD.2．如图4－2－5，△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于(C)A．6 B．5 C．4 D．无法确定4－2－54－2－6.如图4－2－6，已知△EAD≌△ABC，点A和点B是对应点，点C和点D是对应点，那么在图中，与CD＋BC相等的线段是__AC__．4．如图4－2－7，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度数．4－2－74－2－85．如图4－2－8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的．若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求∠α的度数．6．如图4－2－9，已知△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角，在△EFG中，FG是最长边，在△NMH 中，MH是最长边．EF＝2.1 cm，EH＝1.1 cm.HN＝3.3 cm.图4－2－9(1)写出其他对应边和对应角；(2)求线段NM和线段HG的长度．全等图形的判断要熟练掌握全等图形的判别方法，能够完全重合的两个图形是全等图形．即形状和大小完全一样的两个图形．例如图4－2－10所示的图形是交通队新做的路牌，并未投入使用．图4－2－10完全一样的图形叠在一起，应该能够完全重合，这些图形中，哪些是完全一样的？请你分别从图中找出这样的图形，填在横线上__B与G，D与H，E与I__．设计全等图形根据全等图形的概念设计全等图形．例把一个正方形各边中点连接起来，就能把一个正方形分成四个全等的小正方形，如图4－2－11①.你还能把一个正方形分成四个全等的其他图形吗？请在图②，图③和图④中给出另外三种不同的方案．图4－2－11解：答案不唯一，如图4－2－12所示．图4－2－12全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的周长相等，面积相等．例如图4－2－13，已知△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，AD＝9 cm，BC＝5 cm，则AB的长为__2__ cm.图4－2－13P95习题4.51．下面图形中有哪些是全等图形？解：(1)(8)，(2)(12)，(4)(9)，(5)(11)．2．如图，△AOD≌△BOC，写出其中相等的角．解：∠A＝∠B，∠D＝∠C，∠AOD＝∠BOC.3．如图，△ABC≌△A′B′C′，∠C＝25°，BC＝6 cm，AC＝4 cm，你能得出△A′B′C′中哪些角的大小、哪些边的长度？解：∠C′＝25°，B′C′＝6 cm，A′C′＝4 cm.4．如图，一栅栏顶部由全等三角形组成，其中AC＝0.2 m，BC＝2AC，求BD的长．解：BC＝2AC＝0.4(m)，BD＝7BC＝2.8(m)．5．一个风筝如图所示，请在风筝图中找出3对全等三角形，并指出它们的对应边和对应角(可以在图中标注字母)．解：略．6．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．解：答案不唯一，如下图所示．专题一图形全等的辨别即全等图形的性质 1．下列说法中，错误的是（）①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形是全等形，那么它们的形状和大小一定都相同；③两个正方形一定是全等形；④边数相同的图形一定能互相重合．A ．①③④B ．①②③C ．①③D ．①④ 2．下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）1．若长为l 的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为（）A ．61≤x ＜41 B ．81≤x ＜41C ．61＜x ＜41 D ．81＜x ＜41 专题二与全等图形相关的操作探究题4．沿着图中的虚线，把下面的图形划分为两个全等图形(至少找出两种方法).5．将一个等边三角形分成全等的三部分，请设计出不同的方案.【知识要点】1．全等图形的概念：能够完全重合的两个图形称为全等图形．如：用同一个底片冲洗的同尺寸的照片． 2．全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同．3．全等三角形的相关概念：全等三角形是两个能够完全重台的三角形，或者是两个形状和大小完全相同的三角形，其中能够重舍的顶点，叫做对应顶点；能够重合的边，叫做对应边；能够重合的角叫做对应角，全等用符号“≌”表示，如△ABC 和△DEF 全等，我们把它记作“△ABC ≌△DEF ”，在这两个三角形中，对应顶点是A 和D ，B 和E ，C 和F ;对应边是AB 和DE ，AC 和DF ，BC 和EF ;对应角是∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F . 4．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【温馨提示】1．全等的图形必须是能够完全重合的图形，具备其他条件不能说明它们是全等图形，如：全等图形的面积相等，我们不能说面积相等的图形是全等图形．2．全等图形的形状和大小都相同，同时全等图形的其他元素同样相同，例如：全等图形的周长相等；全等图形的面积相等；全等图形中的对应线段和对应角也相等．3．我们在表示三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，此时我们只要看到表示式就可以知道对应顶点、对应边和对应角了．【方法技巧】1．判断两个图形是否全等，要判断形状和大小是否同时相同，两者缺一不可，只有大小和形状都相同的两个图形才是全等图形．2．在全等的两个三角形中：对应边所对的角一定是对应角；全等三角形的两条对应边所夹的角是对应角；对应角所对的边一定是对应边；最大的边（或者角）是对应边（或者角），最小的边（或者角）是对应边（或者角）；公共边一定是对应边(或者对顶角一定是对应角)．3．因为全等三角形能够完全重合，所以对应边上的中线、高线和对应角的角平分线也相等． 4．全等三角形的周长相等、面积相等，很多情况下，全等三角形的性质可以用来证明线段或角相等． 1．A 【解析】①错误，不是三角形的图形也能全等；②正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同； ③错误，边长不同的正方形不全等； ④错误，两个边长不等的正方形不全等．综上可得①③④错误．故选A ．2．A 【解析】A 选项两图形能够重合，为全等形，正确； B 选项的大小不同，不重合，故错误； C 选项的大小也不一样，不重合，错误； D 选项形状不一样，不重合，错误．故选A ．3．A 【解析】∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等，∴x +y+z =21．∵y +z ＞x ， ∴可得x ＜41．又因为x 为最长边不小于周长的31， ∴x ≥61.综上可得61≤x ＜41．故选A ． 4．5．略应用小孩思想----澄清全等问题从前，法国有个聪明的孩子，人人都赞美他，称他为神童.一次，国王在后花园里散步，忽然指着水池问身边的大臣：“池中有几桶水？”大臣们都被这古怪的问题问住了，你看看我，我看看你，答不上来，国王很扫兴，说：“给你们三天的时间，谁能回答谁就有赏.”三天过去了，大臣们还是答不上来.这时，有位大臣奏道：“城东有个孩子，人称神童，要不叫他来试一试.”国王想，全城都称赞这个孩子，这次就考考他.于是，国王下令宣小孩进宫.孩子听了国王的问题，眼睛眨巴了两下，随口答道：“如果桶和池一样大，就是一桶水；如果桶比池小一半，就是两桶水；如果桶是水池的三分之一，就是三桶水；如果……”没等小孩子说完，国王便连连赞道：“答的好，答得妙！真是聪明过人，胜过我的大臣.”大臣们听了都很惭愧.细品上述故事，小孩的确答得妙，妙在一个众人认为不易回答的问题，小孩能分情况考虑巧妙的答出，他这种思考问题的方法，实质是数学分类的思想方法.数学中需要用分类的方法解答的题很多.现在用此方法解答三角形全等中容易出错的一个问题.在全等三角形中常有这样一题：判断“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是否正确？同学们的答案差异很大.其实,若用小孩的分类的思想讨论,答案是很明显的.浙江省绍兴市2006年中考就有这样一题：我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等?(1)阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C l，∠C=∠C l．求证：△ABC≌△A1B1C1．(请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1 D1⊥C1 A1于D1.则∠BDC=∠B1D1C1=900，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论．解：（1）又∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°．∴△ADB≌△A1D1B1，∴∠A=∠A1，又∵∠C=∠C1，BC=B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1．（2）若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形时，•AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1，则△ABC≌△A1B1C1（当△ABC为锐角三角形、△A1B1C1为钝角三角形时，虽然满足了上述条件但它们不全等）．阅读上述的故事和例题,这个全等中容易混淆的问题,一定很清楚了吧!。

中考数学复习吃透全等三角形的秘诀

中考数学复习吃透全等三角形的秘诀全等三角形那个知识尽管是初中学习的，然而高中的几何包括立体几何差不多上经常要用的，假如不熟悉，专门多高中几何题差不多没法做。

全等三角形尽管简单，然而死记硬背的话也专门容易混淆。

比如我们经常用一些缩写来背它：边边边、角角边、边边角等等。

如此记短时刻内看起来专门快，时刻长了就专门容易记混——全然不明白它什么意思，在考场上也专门容易出错。

那么如何样经历才能记得牢，到考场上又能灵活运用呢？第一，两个三角形全等，说明什么？说明它们的所有边和所有对应的角都相等。

比如，假如△abc≌△ABC，那么线段ab=AB,bc=BC,ac=AC,∠a =∠A,∠b=∠B,∠c=∠C。

图1那个叫全等三角形的性质。

确实是说，假如明白两个三角形全等，能够推出什么。

我们高中时期在证明几何题的时候，经常要用它来证明一些线段相等或者角相等。

还有一个确实是全等三角形的判定，确实是说如何才能证明两个三角形全等？它们的关系是如此的：用判定定理证明两个三角形全等，再用性质定理推出对应的边和角相等。

如何判定呢？证明的过程我就不讲了。

要紧是经历的时候，不要边边边角角角如此记，而应该找规律。

对应边对应角总共有多少呢？三个边三个角，总共六个要素，至少要三个要素对应相等才能判定全等。

那么这三个要素对应相等包括哪些组合呢？专门简单：三条边对应相等，三个角对应相等，两个角和一条边对应相等，两条边和一个角对应相等。

对吧？我们记下来。

图2我们来一个一个往下看。

三条边对应相等，能不能判定两个三角形全等？能够。

三角形专门稳固，只要三条边确定了，它是可不能变形的。

因此三条边对应相等的两个三角形确信全等。

好，我们在它旁边打个钩。

接下来，三个角相等，能不能判定两个三角形全等？不能。

三个角都相等只能判定这两个三角形形状相似，然而边的长短可能不一样，可能一个大一个小。

我们在它旁边打个叉。

接下来，两个角一个边呢？能够。

三角形内角和总是等于180度，已知两个三角形有两个对应角相等了，剩下那个确信也相等。

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全等三角形
一：知识梳理
1.全等三角形的判定方法
（1）三边：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
（2）两边一角（此角为两边夹角）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角
边”或“SAS”．
（3）两角一边：①两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
②两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA”
（4）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL”．
2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，且对应角平分线、
中线、高、中位线、周长、面积都相等．
二：基础巩固：
1如图，在△ABC中，AD⊥BC于 D，再添加一个条件_ _ __，就可确
定△ABD≌△ACD。

2.已知△ABC≌△DEF,，△DEF的周长32，DE=9，EF=12，则AC=
3.如图，若△ABC≌△DEF，∠E等于（）
A．30° B．50° C．60° D、100°
4.在下列各组几何图形中，一定全等的是（）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形；B．两个等边三角形
C．腰长相等的两个等腰直角三角形
D．各有一个角是40°腰长都是5cm的两个等腰三角形
5.两个直角三角形全等的条件是（）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
6.如图，已知 AB=CD，AE⊥ BD于 E，CF⊥ BD于 F， AE=CF，则图中全等三角形有
（）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图
形是（）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
8.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？
并任选其中一对给予证明．
9.如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB
上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．
10．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．
求证：△ADE≌△BEC．
11．如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求
证：△ADE≌△CBF．
12．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都
在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC= _________ ，BC= _________ ．
（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶
点的三角形与△ABC全等，并加以证明．
三、拓展提高
1．如图，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F
处，若∠B=55°，则∠BDF等于（）
A． 55°B．60°C．70°D． 90°
2.下列说法中不正确的是（）
A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
C．有一边对应相等的两个等边三角形全等
D．面积相等的两个直角三角形全等
3．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）
A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个
4.如图，AC和BD相交于点O，AB=DC，∠A＝∠D，
（1）请写出符合条件的五个结论（对顶角除外，且不添加辅助线）
（2）从你写出的五个结论中任选一个说明你的理由．
5.如图，AB=AE，∠ABC＝∠AED，BC=ED，点F是CD的中点
（1）求证：AF⊥CD；
（2）在你连结BE后，还能得出什么新的结论？
请写出三个．（不要求证明）
6．如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为
_________ ．并加以证明．
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点
M作ME∥BC交AB于点E．
求证：△ABC≌△MED．
8．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，
它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图中找出3对全等三角形，并对其中
一对全等三角形给出证明．
9．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD
相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测
量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证
明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，
CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你
在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明
理由．。