力学#形心与静矩(试题学习)

B.1 截面的形心和静矩Centroid and static moment of section

在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力无关，称它们为截面的几何性质

截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首先应明确截面几何性质的定义，并熟练地掌握其计算方法。

1. 形心与静矩

图B.1-1

图示任一截面，选任一参考坐标系yoz，设截面形心C

的坐标为y

c

和z

c

，取微截面积dA，由合力矩定理可知，均质厚度薄板中面的形心、或该板的重心在yoz坐标系中的坐标为

，

（B.1-1）

式中:，，分别定义为截面对z 轴和y轴的静矩。由公式（B.1-1）可知，当y轴和z轴通过截

面形心时（即y

c

=z

c

=0），则S

z

=S

y

=0；反之，当静矩S

z

=0时，说

明z轴通过截面形心；而当静矩S

y

=0时，说明y轴通过截面形心。此概念在确定梁的中性轴时十分有用。

2. 组合截面的形心与静矩

图B.1-2

在工程实际中，经常遇到形状较为复杂的截面，它们由若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图B.1-2）。当确定它们的形心时，可将其分割成n个部分，形心坐标为

，

（B.1-2）

式中A

i

为分割后的各面积，y

i

和z

i

为A

i

的形心在参考系中的坐标。

式中；，称为组合截面的静矩。

B.2 极惯性矩Polar momet of inertia

1. 定义

图B.2-1

任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微面积dA，定义截面对原点O的极惯性矩为

（B.2-1）

极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm4），它恒为正。