全套课件 《离散数学》贾振华
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.3 等价公式
定理1.2 设A、B、C是公式，则下述等价公式成立：
（1）双重否定律 AA
（2）等幂律 A∧AA ； A∨AA
（3）交换律 A∧BB∧A ； A∨BB∨A
（4）结合律 （A∧B）∧CA∧（B∧C）
（A∨B）∨CA∨（B∨C）
（5）分配律 （A∧B）∨C（A∨C）∧（B∨C）
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1.3 命题公式、翻译与解释
• 1.3.2 命题的翻译
可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑 中的符号形式，称为命题的翻译。
命题翻译时应注意下列事项： （1）确定所给句子是否为命题。 （2）句子中联结词是否为命题联结词。 （3）要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。
12
1.3 命题公式、翻译与解释
言式； （2）如果G在所有解释下取值均为假，则称G是永假式或矛
盾式； （3）如果至少存在一种解释使公式G取值为真，则称G是
可满足式。
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.3 等价公式
定义 设A和B是两个命题公式，如果A和B在任意赋值 情况下都具有相同的真值，则称A和B是等价公式。记 为AB。 性质： 定理 设A、B、C是公式，则 （1）AA （2）若AB则BA （3）若AB且BC则AC
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.1 真值表
定义 将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表， 称为G的真值表。
构造真值表的方法如下： （1）找出公式G中的全部命题变元，并按一定的顺序排列
成P1，P2，…，Pn。 （2）列出G的2n个解释，赋值从00…0（n个）开始，按二
进制递加顺序依次写出各赋值，直到11…1为止（或从 11…1开始，按二进制递减顺序写出各赋值，直到00…0 为止），然后从低到高的顺序列出G的层次。 （3）根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出G的 真值。
• 1.3.2 命题的翻译
例：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在 家里读书或看报。 解：设P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在
家里读书；S：我在家里看报。 本例可表示为：
（PQ）∧（P（R∨S））。
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1.3 命题公式、翻译与解释
• 1.3.3 命题公式的解释
定义 设P1，P2，…，Pn是出现在命题公式G中的全部 命题变元，指定P1，P2，…，Pn的一组真值，称这
• 1.1.1 命题的概念
数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
• 1.1.2 命题的表示
命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数 字表示，如Ai，[10]，R等，例如
A1：我是一名大学生。 A1:我是一名大学生. [10]：我是一名大学生。 R：我是一名大学生。
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1.2 命题联结词
（3）（P↓P）↓（Q↓Q）﹁P↓﹁Q﹁（﹁P∨﹁Q）P∧Q。
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1.3 命题公式、翻译与解释
• 1.3.1 命题公式 • 1.3.2 命题的翻译 • 1.3.3 命题公式的解释
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1.wenku.baidu.com 命题公式、翻译与解释
• 1.3.1 命题公式 定义 命题公式，简称公式，定义为： （1）单个命题变元是公式； （2）如果P是公式，则﹁P是公式； （3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、PQ、
组真值为G的一个解释或赋值，记作I，公式G在I
下的真值记作TI（G）。
例如，G=（P∧Q）R，则I：
PQR 11 0 是G的一个解释，在这个解释下G的真值为1，即TI（G）=1。
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.1 真值表 • 1.4.2 命题公式的分类 • 1.4.3 等价公式 • 1.4.4 置换规则
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.1 真值表
• 例：G=（ P→Q ）∧Q
p Q P→Q （ P→Q ） （ P→Q ）∧Q
00
1
0
0
01
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.2 命题公式的分类
定义 设G为公式： （1）如果G在所有解释下取值均为真，则称G是永真式或重
﹁P
0
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1
0
• 1.2.3 析取联结词∨
P
Q
P∨Q
0
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1
1
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0
1
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1.2 联结词
• 1.2.4 条件联结词→
P
Q P→Q
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1
1
0
0
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1
• 1.2.5 双条件联结词
P
Q PQ
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1
1
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1.2 联结词
• 1.2.6 与非联结词↑
P
Q
P ↑Q
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（A∨B）∧C（A∧C）∨（B∧C）
（6）德·摩根律
（A∨B）A∧B
（A∧B）A∨B
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.3 等价公式
（7）吸收律 A∨（A∧B）A；A∧（A∨B）A
（8）零一律
A∨11
； A∧00
（9）同一律 A∨0A ； A∧1A
性质：
（1）P↑P﹁（P∧P）﹁P；
（2）（P↑Q）↑（P↑Q）﹁（P↑Q） P∧Q；
（3）（P↑P）↑（Q↑Q）﹁P↑﹁Q P∨Q。
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1.2 联结词
• 1.2.7 或非联结词↓
P
Q
P↓Q
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性质：
（1）P↓P﹁（P∨Q）﹁P；
（2）（P↓Q）↓（P↓Q）﹁（P↓Q） P∨Q；
PQ都是公式； （4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3)
所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号 串是公式。
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1.3 命题公式、翻译与解释
• 1.3.1 命题公式
例如，下面的符号串都是公式： （（（（﹁P）∧Q）R）∨S） （（P﹁Q）（﹁R∧S）） （﹁P∨Q）∧R
以下符号串都不是公式： （（P∨Q）（∧Q）） （∧Q）
• 1.2.1 • 1.2.2 • 1.2.3 • 1.2.4 • 1.2.5 • 1.2.6 • 1.2.7
否定联结词 合取联结词 析取联结词 条件联结词 双条件联结词 与非联结词 或非联结词
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1.2 联结词
1.2.1 否定联结词﹁P
1.2.2 合取联结词∧
P
Q
P∧ Q
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P
21世纪高职高专新概念教材
离散数学
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第1章 命题逻辑
• 1.1 命题及其表示法 • 1.2 命题联结词 • 1.3 命题公式、翻译与解释 • 1.4 真值表与等价公式 • 1.5 对偶与范式 • 1.6 公式的蕴涵 • 1.7 其它联结词与最小联结词组 • 1.8 命题逻辑推理理论 •
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1.1 命题及其表示法
1.4 真值表与等价公式
• 1.4.3 等价公式
定理1.2 设A、B、C是公式，则下述等价公式成立：
（1）双重否定律 AA
（2）等幂律 A∧AA ； A∨AA
（3）交换律 A∧BB∧A ； A∨BB∨A
（4）结合律 （A∧B）∧CA∧（B∧C）
（A∨B）∨CA∨（B∨C）
（5）分配律 （A∧B）∨C（A∨C）∧（B∨C）
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1.3 命题公式、翻译与解释
• 1.3.2 命题的翻译
可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑 中的符号形式，称为命题的翻译。
命题翻译时应注意下列事项： （1）确定所给句子是否为命题。 （2）句子中联结词是否为命题联结词。 （3）要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。
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1.3 命题公式、翻译与解释
言式； （2）如果G在所有解释下取值均为假，则称G是永假式或矛
盾式； （3）如果至少存在一种解释使公式G取值为真，则称G是
可满足式。
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.3 等价公式
定义 设A和B是两个命题公式，如果A和B在任意赋值 情况下都具有相同的真值，则称A和B是等价公式。记 为AB。 性质： 定理 设A、B、C是公式，则 （1）AA （2）若AB则BA （3）若AB且BC则AC
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.1 真值表
定义 将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表， 称为G的真值表。
构造真值表的方法如下： （1）找出公式G中的全部命题变元，并按一定的顺序排列
成P1，P2，…，Pn。 （2）列出G的2n个解释，赋值从00…0（n个）开始，按二
进制递加顺序依次写出各赋值，直到11…1为止（或从 11…1开始，按二进制递减顺序写出各赋值，直到00…0 为止），然后从低到高的顺序列出G的层次。 （3）根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出G的 真值。
• 1.3.2 命题的翻译
例：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在 家里读书或看报。 解：设P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在
家里读书；S：我在家里看报。 本例可表示为：
（PQ）∧（P（R∨S））。
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1.3 命题公式、翻译与解释
• 1.3.3 命题公式的解释
定义 设P1，P2，…，Pn是出现在命题公式G中的全部 命题变元，指定P1，P2，…，Pn的一组真值，称这
• 1.1.1 命题的概念
数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
• 1.1.2 命题的表示
命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数 字表示，如Ai，[10]，R等，例如
A1：我是一名大学生。 A1:我是一名大学生. [10]：我是一名大学生。 R：我是一名大学生。
3
1.2 命题联结词
（3）（P↓P）↓（Q↓Q）﹁P↓﹁Q﹁（﹁P∨﹁Q）P∧Q。
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1.3 命题公式、翻译与解释
• 1.3.1 命题公式 • 1.3.2 命题的翻译 • 1.3.3 命题公式的解释
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1.wenku.baidu.com 命题公式、翻译与解释
• 1.3.1 命题公式 定义 命题公式，简称公式，定义为： （1）单个命题变元是公式； （2）如果P是公式，则﹁P是公式； （3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、PQ、
组真值为G的一个解释或赋值，记作I，公式G在I
下的真值记作TI（G）。
例如，G=（P∧Q）R，则I：
PQR 11 0 是G的一个解释，在这个解释下G的真值为1，即TI（G）=1。
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.1 真值表 • 1.4.2 命题公式的分类 • 1.4.3 等价公式 • 1.4.4 置换规则
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.1 真值表
• 例：G=（ P→Q ）∧Q
p Q P→Q （ P→Q ） （ P→Q ）∧Q
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.2 命题公式的分类
定义 设G为公式： （1）如果G在所有解释下取值均为真，则称G是永真式或重
﹁P
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• 1.2.3 析取联结词∨
P
Q
P∨Q
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1.2 联结词
• 1.2.4 条件联结词→
P
Q P→Q
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• 1.2.5 双条件联结词
P
Q PQ
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1.2 联结词
• 1.2.6 与非联结词↑
P
Q
P ↑Q
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（A∨B）∧C（A∧C）∨（B∧C）
（6）德·摩根律
（A∨B）A∧B
（A∧B）A∨B
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1.4 真值表与等价公式
• 1.4.3 等价公式
（7）吸收律 A∨（A∧B）A；A∧（A∨B）A
（8）零一律
A∨11
； A∧00
（9）同一律 A∨0A ； A∧1A
性质：
（1）P↑P﹁（P∧P）﹁P；
（2）（P↑Q）↑（P↑Q）﹁（P↑Q） P∧Q；
（3）（P↑P）↑（Q↑Q）﹁P↑﹁Q P∨Q。
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1.2 联结词
• 1.2.7 或非联结词↓
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性质：
（1）P↓P﹁（P∨Q）﹁P；
（2）（P↓Q）↓（P↓Q）﹁（P↓Q） P∨Q；
PQ都是公式； （4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3)
所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号 串是公式。
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1.3 命题公式、翻译与解释
• 1.3.1 命题公式
例如，下面的符号串都是公式： （（（（﹁P）∧Q）R）∨S） （（P﹁Q）（﹁R∧S）） （﹁P∨Q）∧R
以下符号串都不是公式： （（P∨Q）（∧Q）） （∧Q）
• 1.2.1 • 1.2.2 • 1.2.3 • 1.2.4 • 1.2.5 • 1.2.6 • 1.2.7
否定联结词 合取联结词 析取联结词 条件联结词 双条件联结词 与非联结词 或非联结词
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1.2 联结词
1.2.1 否定联结词﹁P
1.2.2 合取联结词∧
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21世纪高职高专新概念教材
离散数学
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第1章 命题逻辑
• 1.1 命题及其表示法 • 1.2 命题联结词 • 1.3 命题公式、翻译与解释 • 1.4 真值表与等价公式 • 1.5 对偶与范式 • 1.6 公式的蕴涵 • 1.7 其它联结词与最小联结词组 • 1.8 命题逻辑推理理论 •
2
1.1 命题及其表示法