2019高考数学二轮复习专题六数列第2讲数列的综合问题学案

第2讲 数列的综合问题

[考情考向分析] 江苏高考中，数列大题常在压轴的代数论证中考数列的综合应用．近几年江苏高考中数列解答题总是同等差、等比数列相关，进一步考查其子数列或派生数列的性质等，所以解题过程中既有等差、等比数列性质的挖掘，又有等差、等比数列的判断论证，综合性极强．

热点一 数列中的探索性问题

例1 (2018·无锡期末)已知数列{}an 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1an ＝1an ，n ∈N *，S n 是数列{}an 的前n 项和．

(1)求数列{}an 的通项公式；

(2)若a p,30，S q 成等差数列，a p,18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值；

(3)是否存在k ∈N *

，使得akak ＋1＋16为数列{}an 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若

不存在，请说明理由．

解 (1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1an ＝1an ，n ∈N *

，

所以当n ＝1时，1－1a1＝1

a1

，a 1＝2，

当n ≥2时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1an ＝1an 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a2…⎝ ⎛⎭⎪

⎫1－1an －1＝1an －1， 两式相除可得，1－1an ＝an －1

an

，即a n －a n －1＝1(n ≥2)．

所以数列{}an 是首项为2，公差为1的等差数列． 所以a n ＝n ＋1(n ∈N *

)．

(2)因为a p ,30，S q 成等差数列，a p ,18，S q 成等比数列，

所以⎩⎪⎨

⎪⎧

ap ＋Sq ＝60，apSq ＝182，于是⎩⎪⎨

⎪⎧

ap ＝6，

Sq ＝54

或⎩⎪⎨⎪⎧

ap ＝54，

Sq ＝6.

当⎩

⎪⎨

⎪⎧

ap ＝6，Sq ＝54时，错误!解得错误!

当⎩⎪⎨⎪

⎧

ap ＝54，Sq ＝6

时，错误!无正整数解，

所以p ＝5，q ＝9.

(3)假设存在满足条件的正整数k ，使得akak ＋1＋16＝a m (m ∈N *

)， 则错误!＝m ＋1，

平方并化简得，(2m ＋2)2

－(2k ＋3)2

＝63， 则(2m ＋2k ＋5)(2m －2k －1)＝63，

所以⎩⎪⎨

⎪⎧

2m ＋2k ＋5＝63，2m －2k －1＝1或⎩

⎪⎨

⎪⎧

2m ＋2k ＋5＝21，

2m －2k －1＝3，

或⎩⎪⎨⎪⎧

2m ＋2k ＋5＝9，2m －2k －1＝7，

解得m ＝15，k ＝14，或m ＝5，k ＝3，或m ＝3，k ＝－1(舍去)， 综上所述，k ＝3或14.

思维升华 数列中的探索性问题是江苏高考的一个热点，试题一般是探求数列中项的存在性问题，此类试题的解法一般具有以下特点：假设提出的问题存在，结合数论中不定方程、奇偶性的基本性质进行求解．

跟踪演练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝a ，且a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意正整数n 都成立，数列{a n }的前

n 项和为S n .

(1)是否存在实数k ，使数列{a n }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m ，a m ＋1，a m ＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，说明理由； (2)若k ＝－1

2

，求S n .

解 (1)设数列{a n }是等比数列，则它的公比q ＝a2

a1

＝a ，

所以a m ＝a

m －1

，a m ＋1＝a m ，a m ＋2＝a

m ＋1

.

①若a m ＋1为等差中项，则2a m ＋1＝a m ＋a m ＋2， 即2a m

＝a

m －1

＋a

m ＋1

，解得a ＝1，不合题意；

②若a m 为等差中项，则2a m ＝a m ＋1＋a m ＋2， 即2a

m －1

＝a m ＋a

m ＋1

，

化简得a 2

＋a －2＝0， 解得a ＝－2或1(舍)．

当a ＝－2时，k ＝am ＋1am ＋am ＋2＝am am －1＋am ＋1＝a 1＋a2＝－2

5；

③若a m ＋2为等差中项，则2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ， 即2a

m ＋1

＝a m ＋a

m －1

，化简得2a 2

－a －1＝0，

解得a ＝－1

2

或1(舍)．

当a ＝－12时，k ＝am ＋1am ＋am ＋2＝am am －1＋am ＋1＝a 1＋a2＝－2

5.

综上可得满足要求的实数k 有且仅有一个，即k ＝－2

5.

(2)若k ＝－12，则a n ＋1＝－1

2(a n ＋a n ＋2)，

于是a n ＋2＋a n ＋1＝－(a n ＋1＋a n )，

所以a n ＋3＋a n ＋2＝－(a n ＋2＋a n ＋1)＝a n ＋1＋a n . 当n 是偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝n 2(a 1＋a 2)＝n

2

(a ＋1)； 当n 是奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1＋a n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝a 1＋n －12(a 2＋a 3)＝a 1＋n －12[－(a 1＋a 2)]

＝1－n －1

2(a ＋1)．

当n ＝1时也适合上式． 综上可得S n ＝错误! 热点二 数列中的证明问题

例2 (2018·江苏黄桥中学等三校联考)已知数列{}an 满足a 1＝1，前n 项和为S n ，且an ＋1－an anan ＋1＝

2

4Sn －1