概率试卷(一)卷及答案

《概率论与数理统计》试卷一

一、选择题（共6小题，每小题3分，共计18分） 1．设事件A 与B 互不相容，则( D ).

A ．()0P A

B = ； B ．()()()P AB P A P B =； C. ()1()P A P B =-； D ．()1P A B = .

2. 设随机变量X 的分布函数为0, 0 1(), 0121, 1

x x F x x e x -<⎧⎪⎪

=≤<⎨⎪-≥⎪⎩，则(1)P X ==（ C ）.

A ．0；

B ．12； C. 11

2

e --； D ．11e --.

3. 设随机变量X 的分布函数为1

()0.3()0.7(

)2

x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布，则EX =（ C ）.

A. 0;

B. 0.3；

C. 0.7;

D. 1 .

4．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则

22(1}P X Y +≤=（ D ）. A. 14; B. 12； C. 8π; D. 4

π.

5. 设随机变量X ,Y 独立同分布，X 的分布为F (x )，max{,}Z X Y =的分布函数 为（ B ）.

A ．()()F x F y ；

B ．2()F x ；

C.21[1()]F x --； D ．[1()][1()]F x F y --.

6. 设二维随机变量（X ，Y ）服从22(, ;, 0)N μμσσ；则2()E X Y =（ A ）.

A.22()μμσ+； B ．2()μμσ+； C. 22()σμσ+ ； D ．2()σμσ+.

二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）

1.已知111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===，则()P A B = 1

3.

2. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则2()P X EX ==11

2

e -.

3. 设随机变量X 和Y 相互独立，密度函数分别为1, 01

()0, X x f x ≤≤⎧=⎨

⎩

其它 ，

, 0()0, y

Y e y f y -⎧>=⎨

⎩其它，则Z =X +Y 的概率密度为()Z f z =1, 01

(1), 1 0, z z e z e e z --⎧-≤<⎪

-≥⎨⎪⎩

其它. 4. 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(,)b n p 的简单随机样本，2,X S 分别为样本

均值和样本方差，若22[]=E X kS np +，则k = -1 .

三、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共计24分）

1. 在150个产品中有40个次品，110个正品，从中任取20个产品，求 （1）恰好取到9个次品的概率；（2）至少取到2个次品的概率.

解：（1） 911

40110

120

150

C C p C =. （2） 2011911040110

22020150150

1C C C p C C =--.

2. 设随机变量X 的概率密度函数 2, 01

()0, x x f x <<⎧=⎨⎩

其它，

现对X 作40次独立重复观察，求事件1

{}2

X ≤出现的次数在10至15

之间的概率. （提示：用正态逼近，(1.83)0.9664Φ=）

解 记Y 表示40次独立重复观察中事件1{}2

X ≤出现的次数，由题知

~(40,)Y b p ，其中

12011

()224p P X xdx =≤==⎰

即 1~(40,)4Y b ，15

10,2

EY np DX npq ====，

(1015)(0)P Y ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫

≤≤≈-=-⎝⎭

()= 1.83(0)0.96640.50.4664.ΦΦ-=-=

3．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为0.5，若第一次 及格则第二次及格的概率也为0.5，若第一次不及格则第二次及格的概率为 0.25. 求（1）该学生两次考试中至少有一次及格的概率；

（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率. 解 （1）设12,A A 分别表示第一、二次考试及格。

121212()()()()P A A P A P A P A A ⋃=+- 220.5(0.50.50.25)0.5=++⨯-=0.625

（2）212122

2()0.52

(|)()0.50.50.253

P A A P A A P A ===+⨯。

四、（10分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从

袋中取两次球，每次取一个，以X ，Y 分别表示两次取球所得的红球、黑 球的个数，（1）求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律；

（2）求在X =1下，Y 的条件分布律.

解 （1） （X ,Y ）的联合分布律：

0 1 2111

0 4636

11 1 0

39

1 2 0 0

9

Y X

（2）在X =1下，Y 的条件分布律：

0 1

32

55

Y p 。