超变函数论与场论的关系

《超变函数论》与《场论》的关系

于涤尘

内容提要：本文研究《超变函数论》在物理学上的应用。人们在此可以发现，只有《超变函数论》所建立的理论，又在引入副冲量度vdb iA 后，才能解决困扰物理学的三维流函数的表达式。更重要的是，作者在这里给物理学提供了向量场的除了势函数、流函数外的一个新的函数——副冲量函数。

向量场的这三个函数恰好满足推广了的C-R 条件。这无疑会为物理学的发展提供强有力的数学工具。 此外，作者预言：电磁场的马克斯威方程组有待完善，很可能在引入副冲量度vdbiA 后，光的波动性和粒子性才能得到统一的解释。

关键词：向量场；场论；势函数；流函数；副冲量度；副冲量函数；超复势 分类号: O174

0 序言

复变函数论完美地解决了平面向量场的有关理论。但是，对空间三维向量场的研究，理论上并不完备，其主要原因是数学工具的不足。

超变函数论的诞生，可以使三维的向量场的理论达到完美！

在这里，至关重要的是副冲量度的引出。由副冲量度又引出一个函数——副冲量函数。当我们给出副冲量函数的解析表达式后，再由超变函数的推广的C-R 条件，才能解决三维流函数的解析表达式。

本文将首先回忆复变函数论与平面向量场的联系，然后分析三维向量场在理论上的缺陷。最后应用超变函数的理论来克服这些缺陷，从而使我们看到，超变函数论在实践应用上的重大意义——三维向量场的理论在超变函数论这里将达到完美的程度。

本文将引用《超变函数论探讨》（The discussion on theory of Super-variable function ）的一些结果：

1°虚单位i 与空单位j 之积有三种分解方式：

k k j ij βα+= ，12

2

=+k k βα

q q j i ij βα+=，12

2=+q q βα （a ） p p

i ij βα

+= ，122

=+p

p

β

α

2°超变函数

),,(),,(),,()(z y x jw z y x iv z y x u Q f ++=

的解析条件是：

;;;;;;u v w w v v w u u w w u v v

u x y z y z x y z y z x y z y z u v w w v v w u u w w u v v

u y

z x z x y z x z x y z x z x u v w w v v w u u w w z

x y x y z x y x y z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-=-=-

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ u v v

u x y x y

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪∂∂∂-⎪

∂∂∂∂⎩ （b ）

3°原始综合解析条件（由此才导出（b ））：

⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪

⎨

⎧============∑∑∑===0

132312

13

2312132312131

313

1

2

22n n n n n n m m m m m m L L L L L L n m l i i i i i i （c ） 4°在文献2《超变函数的四个等价命题》中我们已经证明了在区域Ω内的解析函数具有任何阶的导数。所以其实部、虚部、空部都有连续的二阶偏导数。对此，在今后的叙述中就不再赘述了。

Ⅰ.复变函数论与平面向量场的关系的回顾

1.1 通量与环量

设有平面向量场（例如速度场）j i v y x v v +=，则穿过场中曲线 AB 的通量及沿着 AB 的环量分别为

x y AB x y AB

v dy v dx

v dx v dy

N =-Γ=

+⎰

⎰

（1）

当 AB 是区域D 内简单闭曲线C 时,由场论第一公式,有

C

C

(

)(

)y x x y D y x x y D v v v dy v dx dxdy

x

y v v v dx v dy dxdy

x

y

'

'

∂∂N =

-=

+

∂∂∂∂Γ=

+=

-

∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （2） 其中D '是D 中一个子区域。

当D '收缩到平面一点(,)P x y 时，我们得出该点处的散度

y x v v d i v x

y

∂∂=+∂∂ （3）

及旋度

y x v v r o t x

y ∂∂=-∂∂v

（4）

1.2 复势（或称速度势）

当在平面某区域内，0y x v v r o t x

y

∂∂=

-

=∂∂v 时，这说明x y v dx v dy +是势函函数

(,)

x y ϕ=0

M x y M v dx v dy +⎰的全微分。因而有

x v x

ϕ∂=∂，

y v y

ϕ∂=∂ （5）

当在该区域内，0y x v v div x

y

∂∂=

+

=∂∂v 时，这说明y x v dx v dy -+是流函数

(,)x y ψ=0

M y x M v dx v dy -+⎰

的全微分。因而有

y v x

ψ∂=-∂，

x v y

ψ∂=∂ （6）

比较（5），（6）有

x y y

x ϕ

ψϕψ∂∂⎧=⎪∂∂⎪

⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （7）

于是可知，在无源无旋平面向量场中，可由0v rot =得出势函数(,)x y ϕ，又可由0v div =得出流函数(,)x y ψ且流函数和势函数是共轭调和函数。换句话说，在平面向量场中，存在有流函数和势函数，它们满足复变函数论中的C-R 条件。在这里表现出复变函数论与场论的密切联系。

当我们将速度场j i v y x v v +=用复向量x y v v iv =+表述后，由（5）、（6）式可以看出，速度

v i i

x

y

x

x

ϕϕϕψ

∂∂∂∂=

+=-∂∂∂∂ 因势函数(,)x y ϕ及流函数(,)x y ψ满足C-R 条件，所以我们可以构造一个联系着ϕ，ψ的解析函数

()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+

其导数为

()x y f z i v iv x

x

ϕψ∂∂'=

+=-∂∂

人们称这样的解析函数为复势（或称速度势）。 当记()f z '表示()f z '的共轭复数时，则

()x y f z v v iv '==+ （8） 以上的叙述可归结为一定理：

定理1：设在单连通域D 中，有向量场x y v v iv =+，则存在D 内的一个复势()f z i ϕψ=+，使

()x y f z v iv '=+

其中ϕ，ψ是向量场的势函数与流函数。

Ⅱ.空间向量场在理论上的缺陷