传热学第二篇

传热学 第二章 稳态热传导
§2-1 导热的基本定律 §2-2 导热问题数学描写---微分方程式及定解条件 §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解 §2-4 通过肋片的导热分析 §2-5 具有内热源的导热及多维导热
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§2-1 导热的基本概念和定律
一、温度场（Temperature field）
➢ 各时刻物体中各点温度分布的总称 ➢ 温度场是时间和空间的函数
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四、热流密度矢量(Heat flux)
➢ 热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量 不同方向上的热流密度的大小不同
➢ 热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度 的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度
➢ 直角坐标系中：
➢ 温度梯度和热流密度的方向都是在等温 面的法线方向。由于热流是从高温处流 向低温处，因而温度梯度和热流密度的
稳态导热：
非稳态导热：
特例：绝热边界面：
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➢ 第三类边界条件
当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知 任一时刻边界面周围流体的温度和表面传热系数
牛顿冷却定律：
tf, h
傅里叶定律：
qw
导热微分方程式的求解方法 积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
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热扩散率a a c
➢ 分子是物体的导热系数。
是与1/(c)两
个因子的结合
越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量
➢ 分母c是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。
c越小，温度上升1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的
热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。
➢ a反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力c
o x
➢ 单值性条件
➢ 几何条件：单层（或多层）；厚度
➢ 物理条件：、c、 已知；有或无内热源
➢ 时间条件：
稳态
➢ 边界条件：第一类：已知 tw 第三类：已知 h, tf
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1. 通过单层平壁的导热
导热微分方程
d (
dx
dt ) dx
qv
0
1.1 无内热源，λ为常数，第一类边界
微分方程
d 2t dx2
➢ 热流密度
q tw1 tw2 tw1 tw2 [ W m2 ]
A
r
r [m2 C W] ——单位面积上的导热热阻
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1.2 无内热源，λ不为常数，第一类边界
微分方程
d dx
dt dx
0
边界条件
x 0,
x
,
t tw1 t tw2
物理条件 （0 1 bt）
(λ0、b为常数) ➢ 求得平壁内温度分布
方向正好相反。
t+Δt t
t-Δt
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五、傅里叶定律（Fourier’s law）
➢ 导热基本定律：在导热过程中，单位时间内通过给定截面的 导热量，正比于垂直该截面方向上的温度变化率和截面面积， 而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。
q gradt [ W m2 ]
热导率（导热系数） 直角坐标系中：
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边界条件
➢ 第一类边界条件
已知任一瞬间导热体边界上温度值：
s — 边界面; tw— 边界面上的温度 稳态导热： tw = const 非稳态导热： tw = f () 例：
tw1 tw2
o
x
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➢ 第二类边界条件 已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：
qw
根据傅里叶定律：
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法 向的温度梯度值
(
y
t ) y
z
(
t z
)
qv
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二、导热微分方程式的简化
c t
(
x
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t z
)
qv
热扩散率
a c
➢ 物性参数、c和均为常数
t
2t a(x2
2t y2
2t z2 )
qv
c
➢ 物性参数为常数，无内热源
t
a(
2t x2
2t y2
2t z 2
)
➢ 物性参数为常数，稳态
➢ 对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明 条件的唯一解
➢ 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件 ➢ 完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 ➢ 单值性条件包括四项： 几何条件 物理条件
初始条件 边界条件
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单值性条件
➢ 几何条件 说明导热体的几何形状和大小 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等
2 ）热流密度矢量与热流线的关系： 在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如
图 2-2 （ b ）所示，其特点是相邻两个热流线之间所传递 的热流量处处相等，构成一热流通道。
8
9
六、导热系数（Thermal conductivity）
由傅利叶定律得到:
q / gradt W (m C)
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场 首要任务
➢ 理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 ➢ 假设：
(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有均匀分布内热源；强度为 qv [W/m3]
qv 表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量
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在导热体中取一微元体
(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断， 它们要么封闭,要么终止于物体表面上
(3) 当相邻等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏 密可直观地反映出不同区域导热热流密度的相对大小
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三、温度梯度（Temperature gradient）
➢ 温度的变化率沿不同方向一般是不同的，温度沿某 一方向上x的变化率在数学上可以用该方向上温度对 坐标的偏导数来表示，
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实际工程中的两种情形（P45）
辐射边界条件 界面连续条件
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导热微分方程的适用范围
1）适用于热流密度不很高，而作用时间长。同时傅立叶定 律也适用该条件。 2）若属极低温度（ -273 ℃ ）时的导热不适用。（温度效 应） 3）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。（时间 效应） 4） 空间尺度极小，与微观粒子的平均自由程接近，不适 用。（尺寸效应）
纯铜 398w / m C 大理石 2.7w / m C 0˚C时： 冰 2.22w / mC
水 0.551w / m C 蒸汽 0.0183w / m C
习惯上把导热系数小材料称为保温 材料。高效能的保温材料多为蜂窝 状多孔结构。
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§2-2 导热问题的数学描写 一、导热微分方程式
傅里叶定律：
dQd
[ x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t )]dxdydzd
z
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2 d 时间微元体内热源的发热量
dQv qvdxdydzd
3 d 时间微元体热力学能的增量
d c t dxdydzd
根据热力学第一定律
dQd dQv＝d
导热微分方程式导 热过程的能量方程
c t
(
x
t ) x
根据能量守恒定律，微元时间段d 内净导入微元体的净热 量dQd加上微元体内热源生成的热量dQv应等于微元体热力
学能的增加量
d 时间内微元体中：
[导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增加]
dQd dQv＝d
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1 导入与导出微元体的净热量
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入
➢ 上面公式给出了穿过一个表面的热流密度与垂直于该表面的 温度梯度之间的关系，但是有一个前提，只适用于各向同性材 料：热导率在各个方向是相同的
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温度梯度与热流密度矢量的关系
如图 2-2 （ a ）所示，表示了微元面积 dA 附近的 温度分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。 1 ）热流线
定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平 面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内 通过单位面积的热量。 导热系数表征物质导热能力大小，由实验测定。 影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、
湿度、压力、密度等 导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。
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不同物质导热机理
➢ 气体的导热系数 依靠分子无规则的热运动和相互碰撞实现热量传递
的热量：
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导
出的热量：
dQxdx qxdxdydzd
qxdx
qx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
dQx
dQxdx
qx x
dxdydzd
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➢ d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
dQx
dQxdx
qx x
dxdydzd
之间的关系.
➢ a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力
越大，故称为热扩散率
➢ a越大，材料中温度变化越迅速，a也是材料传播温度变化能
力大小的指标，故有导温系数之称。
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§2-3 一维稳态导热 一、通过平壁的导热
➢ 假设 长度和宽度远大于厚度 ——简化为一维导热问题
➢ 导热微分方程
➢ 固体的热导率 a) 金属的热导率： 依靠自由电子的迁移和晶格的振动主要依靠前者 b) 非金属的热导率： 依靠晶格的振动传递热量；比较小
➢ 液体的导热系数 主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞 晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周 期性点阵，即所谓晶格
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不同物质的导热系数
固体 液体 气体 金属 非金属
0
o x
边界条件
x 0,
x ,
t tw1 t tw2
线性分布
➢ 求得平壁内温度分布
t
tw2 tw1
x
tw1
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➢ 导过平壁的热流量
Φ A dt A tw1 tw2 tw1 tw2 tw1 tw2 W
dx
A
R
R ( A) [ C W ] ——导热面积为A是导热热阻
➢ 物理条件 说明导热体的物理特征
如：物性参数 、c 和 的数值，是否随
温度变化；有无内热源、大小和分布； ➢ 初始条件 又称时间条件，反映导热系统的初始状态
稳态导热过程不需要时间条件—与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布
➢ 边界条件 说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相 互作用的条件 分类：第一类、第二类、第三类边界条件
➢ d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
dQy
dQydy
qy y
dxdydzd
➢ d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
dQz
dQzdz
qz z
dxdydzd
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[导入与导出净热量]
dQd
( qx x
qy y
qz z
)dxdydzd
由傅里叶定律：
qx
t x
qy
t y
qz
t z
温度梯度是用以反映温度场在空间的变 化特征的物理量
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➢系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间的温 差与其法线间的距离之比的极限为该点的温度梯度， 记为gradt
gradt Lim
t
t
n
t i
t
j
t k
n0 n n x y z
➢直角坐标系：（Cartesian coordinates）
➢ 温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
1 bt dx
b
0
dt 2 dx
1 r2
λ
t
z
λ
t z
qv
x r cos
y
r
sin
z z
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➢ 对于球坐标系
ρc t τ
1 r2
r
λr2
t r
1
r2 sin2
λ
t
1
r2 sin
λsin
t
q
v
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
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四、导热过程的单值性条件
➢ 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+热一律 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉 及具体、特定的导热过程。通用表达式。
二次曲线方程百度文库
t
b t2 2
(tw1
b 2
t2 w1
)
tw1
tw2
1
b 2
(tw1
tw2 )x
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➢ 热流密度
或
q
m
(tw1
tw2 )
m 0 1 b tw1 tw2 2
➢ 常数b的讨论
t
b t2 2
(tw1
b 2
t2 w1
)
tw1
tw2
1
b 2
(tw1
tw2 )x
d 2t dx2
b
dt 2
2t x 2
2t y 2
2t z 2
qv
0
泊松 方程
➢ 物性参数为常数，无内热源，稳态 拉普拉斯方程
2t 2t 2t 0 x2 y2 z2
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三、其他坐标下的导热微分方程
c t
(
x
t x
)
y
(
t y
)
z
(
t z
)
qv
➢ 对于圆柱坐标系
ρc t τ
1 λr t r r r
t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -时间坐标
➢ 稳态温度场 ➢ 非稳态温度场
稳态导热 非稳态导热
➢ 一维温度场： ➢ 二维温度场： ➢ 三维温度场：
➢ 一维稳态温度场：
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二、等温面与等温线
➢ 等温面：同一时刻、温度场中所有 温度相同的点连接起来所构成的面
➢ 等温线：用一个平面与各等温面相
交，在该平面上得到一个等温线簇 在二维的截面上等温面表现为等温 线。 ➢ 等温面与等温线的特点 (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交