大学物理答案 第二章

第二章

2.10 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的速度为0v ，证明(1) t 时刻的速度为v ＝t m

k e

v )(

0-；(2) 由0到t 的时间内经过的距离为

x ＝(k mv 0)［1-t m k

e )(-］；(3)停止运动前经过的距离为)(0k

m

v ；(4)当k m t =时速度减

至0v 的

e

1

，式中m 为质点的质量． 答: (1)∵ t

v

m kv a d d =

-= 分离变量，得

m t

k v v d d -=

即 ⎰⎰-=v v t m

t

k v v 00d d m kt

e v v -=ln ln 0

∴ t

m k e v v -=0

(2) ⎰⎰---==

=t

t

t

m k m k

e k

mv t e

v t v x 0

00)1(d d

(3)质点停止运动时速度为零，即t →∞， 故有 ⎰∞

-=

='0

0d k

mv t e

v x t

m k (4)当t=

k

m

时，其速度为 e

v e v e

v v k

m m k 0

100=

==-⋅- 即速度减至0v 的e

1.

2.13 作用在质量为10 kg 的物体上的力为i t F

)210(+=N ，式中t 的单位是s ，(1)求4s 后，

这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N ·s ，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度j

6-m ·s -1

的物体,

回答这两个问题．

解: (1)若物体原来静止，则

i t i t t F p t

10

40

1s m kg 56d )210(d -⋅⋅=+==∆⎰⎰,沿x 轴正向，

i

p I i

m

p v

11111

1s m kg 56s m 6.5--⋅⋅=∆=⋅=∆=∆ 若物体原来具有6-1

s m -⋅初速，则

⎰⎰+-=+-=-=t t

t F v m t m F v m p v m p 0

00000d )d (,

于是

⎰∆==-=∆t p t F p p p 0

102d ,

同理， 12v v ∆=∆,12I I

=

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

⎰+=+=t

t t t t I 0

210d )210(

亦即 0200102

=-+t t 解得s 10=t ，(s 20='t 舍去)

2.15 一颗子弹由枪口射出时速率为1

0s m -⋅v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，

试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

0)(=-=bt a F ,得b

a t =

(2)子弹所受的冲量

⎰-=-=t bt at t bt a I 022

1

d )(

将b

a

t =

代入，得 b

a I 22=

(3)由动量定理可求得子弹的质量

2

02bv a v I m =

=

2.22 如题2.22图所示，一物体质量为2kg ，以初速度0v ＝3m ·s -1

从斜面A 点处下滑，它与

斜面的摩擦力为8N ，到达B 点后压缩弹簧20cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．

题2.22图

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

22011sin 3722r f s kx mv mgs ⎛⎫-=

-+︒ ⎪⎝⎭

2021

sin 372

12

r mv mgs f s

k x +︒-= 式中m 52.08.4=+=s ，m 2.0=x ，再代入有关数据，解得

-11450N m k =⋅

再次运用功能原理，求木块弹回的高度h '

2o 2

1

37sin kx s mg s f r -'='-

代入有关数据，得 1.45m s '=,

则木块弹回高度

o sin 370.87m h s ''==

2.23 质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如题2.23图所示．质量为m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．

题2.23图