考研数学知识点复习“微分方程”大纲考点
6考研数学大纲知识点解析(第六章微分方程和差分方程(数学一))
满足初始条件
的特
【解析】令
，则
，原方程化为
，即
，
于是 因
，得
，故
，由
，
知，应取
.
即
，解得
，又由
，得
，故
．
（3）型如： 间变量，即
.方程的特点是不显含自变量 ．令 ，由复合函数求导的链式法，则有
，视 为中
将之代入方程，得 这是函数 关于变量 的一阶微分方程．若能求出其通解
则可再由方程
或
两边积分后求得方程的通解
【解析】 将
代入方程
（D）
．
，得
由题设可知 从而有
类似地，将
代入方程
解得
，故选（A）．
．
，得
，
【例题】（89 年，数学一/数学二/数学三）设线性无关的函数
都是二阶非齐次线性
方程 ．
的解，
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（A）
．
（B）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
（C）
． （D）
．
【答案】（D）．
【解析】根据解的性质，
均为齐次方程的解，且线性无关，因此
；
（2） 求出特征根 和 ；
（3） 根据特征根的不同情形按下表写出方程（1）的通解：
表 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
特征根情形
通解形式
相异实根 相同实根 共轭复根
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次微分方程的通解为
的通解．
，解特征根为
．
．其中
为任意常数．
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次方程的通解为
．
设非齐次方程
山东省考研数学复习资料常微分方程与动力系统重点知识点
山东省考研数学复习资料常微分方程与动力系统重点知识点山东省考研数学复习资料：常微分方程与动力系统重点知识点一、引言在山东省考研数学复习中，常微分方程与动力系统是一个重要的知识点。
本文将介绍该知识点的重点内容，帮助考生更好地理解和掌握相关知识，提高复习效果。
二、常微分方程基础1. 常微分方程的定义常微分方程是指由未知函数及其导数组成的方程，其中未知函数是一个自变量的函数。
一阶常微分方程示例：dy/dx = f(x, y)2. 常微分方程的解常微分方程的解是能够使得方程等号成立的函数。
初值问题是一种常见的求解常微分方程解的方法，即通过给定初始条件来确定特定解。
3. 常见常微分方程类型- 分离变量型：dy/dx = g(x)h(y)- 线性型：dy/dx + p(x)y = q(x)- 齐次型：dy/dx = f(y/x)- 高阶常微分方程：d^n y/dx^n = f(x)三、动力系统的概念1. 动力系统的定义动力系统是指由一组与时间有关的变量和它们之间的关系构成的系统。
常微分方程可以用来描述动力系统的演化过程。
2. 动力学的稳定性稳定性是衡量动力系统行为的重要指标。
常见的稳定性类型包括：- 渐近稳定：系统状态随时间趋近于某个确定的值。
- 指数稳定：系统状态随时间指数级趋近于某个确定的值。
- 混沌稳定：系统状态表现出复杂无序的行为。
四、重点知识点1. 相图（Phase plane）相图是描述动力系统解集合的图形表示。
通过相图可以直观地观察和分析解的行为特征。
2. 平衡点与平衡解平衡点是指在某些情况下，系统状态不再变化的特殊点。
当系统的状态与平衡点相等时，称之为平衡解。
平衡点的稳定性决定了系统的行为。
3. 线性稳定性分析通过线性化动力系统可以进行稳定性分析。
线性稳定性分析的核心是计算雅可比矩阵的特征值，通过特征值判断系统的稳定性。
4. 动力系统的分岔理论分岔理论研究了参数改变时系统解的性质的变化。
分岔的发生可以导致系统从一个稳定状态变为另一个稳定状态，甚至出现混沌行为。
考研微分方程知识点浓缩
考研微分方程知识点浓缩微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、经济学和工程学等领域。
在考研数学中，微分方程是必备的知识点之一。
本文将从常微分方程、偏微分方程和常见的解法等方面进行总结和浓缩。
一、常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是只涉及一元函数的微分方程。
常微分方程的求解涉及到初值问题和边值问题两种情况。
1.1 一阶常微分方程常见的一阶常微分方程形式包括：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和一阶齐次线性方程等。
其求解方法如下：1）可分离变量方程：将变量分离后进行积分求解。
2）齐次方程：使用变量代换后，将方程转化为可分离变量方程求解。
3）线性方程：使用积分因子法求解线性方程。
4）伯努利方程：通过变量代换，将方程转化为线性方程求解。
1.2 二阶常微分方程二阶常微分方程是一阶常微分方程的推广。
常见的二阶常微分方程形式包括：线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和二阶常系数非线性齐次方程等。
其求解方法如下：1）线性常系数齐次方程：设解的形式，代入方程后解得常数。
2）线性常系数非齐次方程：通过求齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
3）二阶常系数非线性齐次方程：一般采用变量代换的方法将方程转化为线性方程求解。
二、偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是涉及多元函数的微分方程。
常见的偏微分方程包括：一维波动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程等。
2.1 一维波动方程一维波动方程是描述波的传播规律的方程。
其一般形式为：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示波函数，c为波速。
2.2 一维热传导方程一维热传导方程是描述热量传导规律的方程。
其一般形式为：∂u/∂t = α²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示温度分布，α为热扩散系数。
考研高数必背微分方程初值问题的求解方法
考研高数必背微分方程初值问题的求解方法微分方程初值问题是高等数学中的重要内容，在考研高数中也是一个必备的知识点。
解决微分方程的初值问题可以帮助我们找到函数的特定解，为后续的计算和分析提供基础。
本文将介绍几种常见的求解微分方程初值问题的方法，帮助考生掌握这一知识点。
方法一：分离变量法分离变量法是求解微分方程中常见的一种方法，适用于一阶常微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分开后，逐个求解。
下面以一个具体的例子来说明分离变量法的具体步骤。
例题：求解微分方程 dy/dx = x/y, y(0) = 1 的特解。
解答：将变量分离得到 y dy = x dx，然后对方程两边同时积分，得到∫dy/y = ∫xdx。
分别求解这两个积分，得到ln|y| = 1/2*x^2 + C1，再两边取指数得到 |y| = e^(1/2*x^2 + C1)。
利用初值条件 y(0) = 1，得到 C1 = 0，因此特解为 y = e^(1/2*x^2)。
方法二：常系数线性齐次微分方程的求解常系数线性齐次微分方程是一类特殊的微分方程，具有形如dy/dx + Py = 0 的特点。
其中，P表示常系数。
这类微分方程的初值问题可以通过特征方程来求解。
例题：求解微分方程 dy/dx + 2y = 0, y(0) = 1 的特解。
解答：首先根据方程的形式可知，这是一个常系数线性齐次微分方程。
它的特征方程为 r + 2 = 0，解得 r = -2。
由于根为实数且不相等，所以特解可以写为 y = C*e^(-2x)，其中C为待定系数。
利用初值条件y(0) = 1，得到 C = 1，因此特解为 y = e^(-2x)。
方法三：二阶线性非齐次微分方程的求解二阶线性非齐次微分方程是一类常见的微分方程，具有形如d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x) 的特点。
其中，P(x)、Q(x)和f(x)分别表示一阶导数、常数和非齐次项。
上海市考研数学复习微积分基础知识点总结
上海市考研数学复习微积分基础知识点总结微积分是数学的一个重要分支，也是高等数学的基础内容之一。
作为考研数学的一部分，微积分的基础知识点在考试中占据了很大的比重。
为了帮助考生更好地复习微积分，下面将对上海市考研数学复习微积分的基础知识点进行总结。
一、极限与连续1. 极限的基本概念和性质- 数列的极限：数列的极限定义、极限定理、夹逼定理等- 函数的极限：函数极限的定义、性质、无穷大与无穷小等2. 连续与间断- 连续函数的定义与性质- 间断点的分类与判定方法二、导数与微分1. 导数的概念和求导法则- 导数的定义、求导法则、高阶导数等- 高阶导数的应用：泰勒展开式、极值与拐点判断等2. 微分的概念及其应用- 微分的定义、微分近似、微分中值定理等- 最值问题的应用：最大值、最小值的判定与求解等三、积分与定积分1. 不定积分与定积分的定义- 不定积分的定义、基本积分表、换元法等- 定积分的定义、性质、积分中值定理等2. 积分的应用- 曲线长度与曲线面积的计算- 牛顿-莱布尼兹公式的应用四、微分方程1. 一阶微分方程- 可分离变量的微分方程- 齐次与一阶线性微分方程- 变量可分离的 Bernoulli 微分方程2. 二阶线性微分方程- 齐次和非齐次线性微分方程- 常系数线性微分方程的求解方法五、多元函数微积分1. 多元函数的极限与连续- 多元函数的极限定义、连续性判定等2. 偏导数及其应用- 偏导数的定义、求导法则、高阶偏导数等- 隐函数与参数方程的偏导数求导3. 多元函数的极值与条件极值- 多元函数的极值判断与求解- 多元函数的条件极值的求解方法以上是上海市考研数学复习微积分基础知识点的总结。
希望考生们能够认真复习，掌握这些基础知识，并能够灵活运用于解题中。
祝愿大家考试顺利，取得好成绩！。
上海市考研数学复习资料数学分析与常微分方程重点知识点总结
上海市考研数学复习资料数学分析与常微分方程重点知识点总结上海市考研数学复习资料：数学分析与常微分方程重点知识点总结数学分析和常微分方程是考研数学科目中的重要专业课，掌握其中的重点知识点对于考生来说至关重要。
本文将为大家总结数学分析和常微分方程的重点知识点，帮助考生进行有针对性的复习。
一、数学分析1. 极限与连续1.1 极限的定义与性质1.2 无穷小量与无穷大量1.3 函数的连续性与间断点1.4 闭区间上连续函数的性质2. 导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本导数公式及运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 函数的单调性与凹凸性3. 积分与微积分基本公式3.1 定积分的概念与性质3.2 牛顿-莱布尼茨公式3.3 不定积分与定积分的关系3.4 积分方法与换元法3.5 曲线长度与曲面面积的计算4. 无穷级数4.1 数项级数的收敛与发散4.2 正项级数收敛的判别法4.3 绝对收敛与条件收敛4.4 幂级数的收敛半径与收敛域二、常微分方程1. 常微分方程的基本概念与分类1.1 常微分方程的定义与常数变易法1.2 一阶线性微分方程1.3 可分离变量的一阶微分方程1.4 齐次方程与一阶伯努利方程2. 高阶线性常微分方程2.1 高阶线性常微分方程的概念与基本解组2.2 高阶线性方程的特解与通解2.3 非齐次线性方程与常数变易法2.4 欧拉方程与常系数线性方程3. 微分方程的应用3.1 弹簧振子与简谐运动3.2 电路问题中的微分方程模型3.3 生物学中的增长模型3.4 流体力学中的微分方程应用总结：数学分析和常微分方程是考研数学中的重点内容，掌握这些知识点对于顺利通过考试至关重要。
本文对数学分析和常微分方程的重点知识进行了总结，并没有详细展开每个知识点的内容。
因此，在复习过程中，考生需要结合教材和教学资料进行细致深入的学习。
考研数分知识点总结
考研数分知识点总结一、数列与数学归纳法1. 有限数列与无限数列2. 等差数列与等比数列3. 数列的通项公式与前n项和公式4. 数列的求和公式5. 数学归纳法的基本思想与定理证明二、极限与连续1. 极限的定义与性质2. 极限存在的判定方法3. 极限的运算法则4. 无穷大与无穷小5. 函数的极限与连续性6. 连续函数的性质与运算法则7. 间断点及其分类三、导数与微分1. 导数的定义与几何意义2. 导数的性质与运算法则3. 高阶导数4. 隐函数与参数方程的导数5. 微分的定义与运算法则6. 泰勒公式与泰勒展开式四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与性质2. 不定积分的运算法则3. 牛顿-莱布尼茨公式4. 定积分的定义与性质5. 定积分的几何应用6. 定积分的计算方法五、微分方程1. 微分方程的基本概念2. 微分方程的分类3. 微分方程的解法与初值问题4. 一阶线性微分方程5. 可分离变量的微分方程6. 齐次微分方程7. 非齐次线性微分方程六、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续性2. 偏导数与全微分3. 多元函数的微分法4. 多元函数的极值与最值5. 多元函数的泰勒公式6. 隐函数与参数方程的高阶导数7. 多元函数积分的计算方法七、级数1. 级数的概念与性质2. 级数收敛的判定方法3. 正项级数的审敛法4. 幂级数的收敛半径5. 幂级数的性质与收敛域6. 幂级数展开式与幂级数解析函数以上就是考研数学分析的基本知识点总结。
希朼对大家有所帮助。
考研复习高等数学微分方程——欧拉方程
y C1 cos 2t C2 sin 2t et
C1
cos(2 ln
x)
C2
sin(2 ln
x)
1 x
利用初始条件④得
C1 1,
C2
1 2
故所求特解为
y cos(2ln x) 1 sin(2ln x) 1
2
x
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思考: 如何解下述微分方程
微分方程-第十节 欧拉方程
第十二章
欧拉方程
xn y(n) p1xn1y(n1) pn1x y pn y f (x) ( pk为常数) 令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
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欧拉方程的算子解法:
xn y(n) p1xn1y(n1) pn1x y pn y f (x)
转化为常系数线性方程:
Dn y b1Dn1y bn y f (et )
即
dn y d tn
b1
dn1 y d t n1
bn y
f
(et )
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例1.
解:
则原方程化为
亦即
①
特征方程
其根
则①对应的齐次方程的通解为
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记
D
d, dt
Dk
dk dtk
(k
2, 3, ),则由上述计算可知:
xy Dy
x2 y D2 y D y D(D 1) y
用归纳法可证 xk y(k) D(D 1)(D k 1) y
常微分方程考研知识点总结
常微分方程考研知识点总结一、常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。
1.2 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程只含有未知函数及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是使得方程成立的函数。
解分为通解和特解。
通解是对所有满足方程的解函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。
1.4 常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。
初值问题的解是满足给定初值条件的特解。
二、常微分方程的解法2.1 可分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两边积分的方式求解。
2.2 线性微分方程线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。
线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。
2.3 全微分方程全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某个区域内的函数。
对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。
2.4 变换形式对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式进行求解。
2.5 积分因子法对于线性微分方程，可以通过寻找合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，进而进行求解。
2.6 叠加原理对于非齐次线性微分方程，可以通过将其通解与特解相加得到其通解。
三、常微分方程的应用3.1 物理问题常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
考研数学一大纲微分方程
考研数学一大纲微分方程微分方程是数学领域中的一个重要分支，它研究的是描述变化过程中的关系的方程。
在考研数学一大纲中，微分方程是一个必考的内容，掌握微分方程的解法和应用是考生取得好成绩的关键。
本文将介绍微分方程的基本概念、常见解法和应用，并提供一些解题技巧和实例，帮助考生更好地备考数学一。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数和其导数之间关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，x 是自变量，y 是因变量，f 是一个给定的函数。
方程中的导数 dy/dx 描述了函数 y 的变化率。
微分方程的解是使得方程对于所有 x 成立的函数 y。
微分方程根据方程中的变量个数和导数阶数的不同可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只含有一元函数的导数，而偏微分方程中含有多元函数的偏导数。
二、常见微分方程的解法1. 可分离变量微分方程可分离变量微分方程的形式一般为：dy/dx = g(x)h(y)可通过变量分离的方法将方程分解为 dx/g(x) = dy/h(y)，然后对两边同时积分得到解。
2. 齐次微分方程齐次微分方程的形式一般为：dy/dx = F(x, y) / G(x, y)其中 F 和 G 是关于 x 和 y 的函数。
齐次微分方程可以通过变量替换的方法将其转化为可分离变量的方程，进而求解。
3. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的形式一般为：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 是关于 x 的函数。
可以用积分因子法求解一阶线性微分方程，并得到通解。
4. 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程的形式一般为：d²y/dx² + ay' + by = 0其中 a 和 b 是常数。
可以通过特征方程法求解二阶常系数线性齐次微分方程，并得到通解。
三、微分方程的应用微分方程在自然科学、工程技术和经济管理等领域中有着广泛的应用。
考研数学常考知识点整理
考研数学常考知识点整理一、代数部分1.1 数学基础知识1.1.1 函数与方程1.1.1.1 基本函数与其性质1.1.1.2 方程与不等式1.1.2 数列与数列极限1.1.2.1 等差数列与等比数列1.1.2.2 数列极限的定义与性质1.1.3 概率与统计1.1.3.1 随机事件与概率计算1.1.3.2 排列组合与基本统计知识二、微积分部分2.1 极限与连续2.1.1 极限的定义与性质2.1.2 连续的概念与判定2.2 导数与微分2.2.1 导数的定义与性质2.2.2 微分的概念与计算2.3 积分2.3.1 不定积分与定积分的概念2.3.2 基本积分公式与常见积分方法2.3.3 几何应用与物理应用三、线性代数部分3.1 矩阵与行列式3.1.1 矩阵的基本运算与性质3.1.2 行列式的定义与计算3.2 向量空间与线性变换3.2.1 向量空间与子空间的概念3.2.2 线性变换的定义与性质四、概率论与数理统计部分4.1 随机变量与概率分布4.1.1 随机变量的定义与常见概率分布 4.1.2 期望与方差的计算4.2 参数估计与假设检验4.2.1 参数估计的方法与性质4.2.2 假设检验的基本原理与步骤五、常微分方程部分5.1 一阶常微分方程5.1.1 可分离变量与线性方程5.1.2 齐次方程与一阶线性方程 5.2 高阶常微分方程5.2.1 二阶常系数线性齐次方程5.2.2 二阶非齐次线性方程六、离散数学部分6.1 图论与树6.1.1 图的基本概念与性质6.1.2 树的定义与常见性质6.2 排列组合与离散概率6.2.1 排列与组合的基本计算6.2.2 离散概率的计算与应用以上是考研数学常考知识点的整理，希望对你的学习有所帮助。
记得多做练习题，夯实基础，理解概念及性质，注重对解题方法的掌握与应用。
加油！。
考研数学：微分方程考点和常考题型分析
考研数学：微分方程考点和常考题型分析在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。
数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。
数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。
由高数所占比例易知，高数是考研数学的重头戏，因此一直流传着“得高数者得数学。
”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块，老师继续梳理分析最后一个模块微分方程，希望对学员有所帮助。
1、考试内容(1)常微分方程的基本概念;(2)变量可分离的微分方程;(3)齐次微分方程;(4)一阶线性微分方程;(5)伯努利(Bernoulli)方程和全微分方程;(6)可用简单的变量代换求解的某些微分方程;(7)可降阶的高阶微分方程;(8)线性微分方程解的性质及解的结构定理;(9)二阶常系数齐次线性微分方程;(10)高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;(11)简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;(12)欧拉(Euler)方程;(13)微分方程的简单应用(其中5、7、12只要求数一考生掌握，数二、数三考生不要求掌握)。
2、考试要求(1)了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;(2)掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法;(3)会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程;(4)会用降阶法解下列形式的微分方程;(5)理解线性微分方程解的性质及解的结构;(6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程;(7)会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;(8)会解欧拉方程;(9)会用微分方程解决一些简单的应用问题.3、常考题型(1)变量可分离、齐次微分方程、一阶线性齐次与非齐次微分方程的求解;(2)可降阶的高阶微分方程的求解(数一、数二要求掌握，数三不要求掌握);(3)全微分方程和欧拉方程的求解(数一要求掌握，数二、数三不要求掌握);(4)线性微分方程解得结构;(5)微分方程相关的综合问题。
考研数学二必背公式及知识点
考研数学二必背公式及知识点考研数学二对于很多考生来说是具有一定挑战性的科目，其中掌握必背的公式和知识点是取得好成绩的关键。
下面就为大家详细梳理一下考研数学二中那些必须牢记的公式和重要知识点。
一、函数、极限、连续1、函数的性质奇偶性：若 f(x) ＝ f(x)，则函数 f(x) 为偶函数；若 f(x) ＝ f(x)，则函数 f(x) 为奇函数。
周期性：若存在非零常数 T，使得对于任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝f(x)，则函数 f(x) 为周期函数，T 为其周期。
2、极限的计算四则运算法则：若 lim f(x) ＝ A，lim g(x) ＝ B，则 lim f(x) ± g(x)＝ A ± B；lim f(x) × g(x) ＝ A × B；lim f(x) ／ g(x) ＝ A ／ B （B ≠ 0）。
两个重要极限：lim （1 ＋ 1/x)＾x ＝ e （x → ∞）；lim sin x ／ x＝ 1 （x → 0）。
3、连续的定义函数 f(x) 在点 x₀处连续，当且仅当 lim f(x) ＝ f(x₀) （x → x₀）。
二、一元函数微分学1、导数的定义函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处的导数 f'（x₀) ＝ lim f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx （Δx → 0）。
2、基本导数公式（x^n)＇＝ nx^（n 1)（sin x)＇＝ cos x（cos x)＇＝ sin x（e^x)＇＝ e^x（ln x)＇＝ 1 ／ x3、导数的四则运算f(x) ± g(x)＇＝ f'（x) ± g'（x)f(x) × g(x)＇＝ f'（x)g(x) ＋ f(x)g'（x)f(x) ／ g(x)＇＝ f'（x)g(x) f(x)g'（x) ／ g(x)²（g(x) ≠ 0）4、复合函数求导法则若 y ＝ f(u)，u ＝ g(x)，则 dy/dx ＝ dy/du × du/dx5、微分的定义dy ＝ f'（x)dx6、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理罗尔定理：若函数 f(x) 满足在闭区间 a, b 上连续，在开区间（a, b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，则在（a, b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝0。
考研数学(二)考试大纲解析(常微分方程)【圣才出品】
第 5 章 常微分方程
一、微分方程
表 5-1 微分方程
微分方程
概念 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之问的关系的方程，称为微分方程．
阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．
设函数 y (x) 在区间 I 上有 n 阶连续导数，如果在区间 I 上，有
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如果一个一阶微分方程能写成
g y dy f x dx
的形式，则原方程称为可分离变量的微分方程．
2．解法
设 y x 是方程 g y dy f x dx 的解，代入得
三、一阶线性微分方程 1．一阶线性微分方程
dy P(x) y Q(x) dx
2．齐次线性方程 （1）表达式
（2）通解
dy P(x) y 0 dx
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y CeP(x)dx (C eC1 ) (C1为常数)
F[x, (x), (x), , (n)(x)] 0
解
则函数 y (x) 就称为微分方程
F(x, y, y, , y(n)) 0
在区间 I 上的解．
通解
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相
同，则这样的解称为微分方程的通解．
设微分方程中的未知函数为 y (x) ，则：
方程
y f ( y, y)
令 y p
得
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
考研必看考研数学基础知识点梳理(高数篇)
考研数学基础知识点梳理(高数篇) 第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)。
考研数学十二章知识点归纳
考研数学十二章知识点归纳考研数学是许多学生在准备研究生入学考试时的重点科目。
以下是对考研数学十二章知识点的归纳总结：第一章：极限与连续- 极限的定义和性质- 无穷小量的阶- 连续性的定义和性质- 闭区间上连续函数的性质第二章：导数与微分- 导数的定义和几何意义- 基本导数公式- 高阶导数- 隐函数和参数方程求导- 微分的定义和应用第三章：中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理- 泰勒公式- 导数在几何上的应用：曲线的切线、法线和弧长- 导数在物理上的应用：速度、加速度等第四章：不定积分- 不定积分的定义和性质- 基本积分公式- 换元积分法和分部积分法- 有理函数的积分第五章：定积分- 定积分的定义和性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 定积分的计算方法- 定积分在几何和物理上的应用第六章：多元函数微分法- 偏导数和全微分- 多元函数的极值问题- 条件极值和拉格朗日乘数法第七章：重积分- 二重积分和三重积分的定义- 积分区域和积分顺序- 重积分的计算方法：直角坐标系、极坐标系和球坐标系第八章：曲线积分与曲面积分- 第一类和第二类曲线积分- 格林公式和斯托克斯定理- 高斯公式和奥斯特罗格拉德斯基定理第九章：无穷级数- 常数项级数的收敛性- 幂级数和泰勒级数- 函数的幂级数展开- 傅里叶级数和傅里叶变换第十章：常微分方程- 一阶微分方程的解法：分离变量法、变量替换法、常数变易法- 高阶微分方程的降阶- 线性微分方程的解法：特征方程法、常系数线性微分方程第十一章：偏微分方程- 偏微分方程的基本概念- 一阶偏微分方程的解法- 热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程第十二章：线性代数- 向量空间和线性变换- 矩阵的运算和性质- 行列式和逆矩阵- 特征值和特征向量- 二次型和正定矩阵结束语：考研数学的知识点广泛，需要同学们系统地学习和大量的练习。
希望以上的归纳能够帮助大家更好地复习和掌握考研数学的主要内容。
考研数学二专业知识点总结
考研数学二专业知识点总结
一、线性代数
1.1 线性方程组及其解的表示
1.2 行列式及其应用
1.3 矩阵及其运算
1.4 线性空间
1.5 线性变换
1.6 特征值和特征向量
1.7 对称矩阵的对角化
1.8 正交矩阵的特征值与特征向量
二、概率与统计
2.1 随机变量及其分布
2.2 多元随机变量及其分布
2.3 随机变量的数字特征
2.4 多元随机变量的数字特征
2.5 大数定律与中心极限定理
2.6 统计推断
2.7 回归分析
2.8 方差分析
三、常微分方程
3.1 一阶常微分方程
3.2 高阶常微分方程
3.3 线性常系数微分方程
3.4 非齐次线性常系数微分方程及其应用
3.5 矩阵微分方程
3.6 非线性微分方程
3.7 特殊常微分方程
3.8 线性化与稳定性
四、偏微分方程
4.1 扩散方程
4.2 波动方程
4.3 热传导方程
4.4 边值问题
4.5 分离变量法
4.6 特征线法
4.7 变分法
4.8 黎曼问题
以上是数学二专业的知识点总结，这些知识点都是考研数学二专业的重要内容，希望同学们在备战考研数学二专业的时候，能够仔细复习这些知识点，掌握这些知识，提高数学二专业的成绩。
4考研数学大纲知识点解析(第四章多元函数的微分学-数一
满足 ．
．则
【解析】由题设
可知，当
时，有
且
，从而有
由二元函数全微分的定义， 有
在点
处可微，且
． ，
． ，故
【全微分存在的必要条件和充分条件】 【极限，连续，偏导数，可微分之间的关系】 一元函数：
二元函数：
【例题】（02 年，数学一）考虑二元函数
的下面 条性质：
①
在点
处连续． ②
在点
处的两个偏导数连续，
确．
选项（C），（D）取 不存在，故排除（C），（D）．
，显然
在点
处可微，但
【综合题】设
在
点处（ ）.
（A）不连续． （B）偏导函数不存在． （C）不可微． （D）可微．
【解析】（1）
，
在
点连续.
（2）
同理
（3）
从而
不存在.
在
点不可微. 故选（C）．
【综合题】设
则在
（A）偏导不存在． （B）偏导函数连续． （C）可微． （D）不可微．
第四章 多元函数的微分学 【多元函数的概念】 【二元函数的定义】
类似的可以定义三元函数 【二元函数的几何意义】 二元函数
. 一般表示空间直角坐标系下的一个空间曲面.
【二元函数极限的概念】
【注】二元函数极限存在，是指 以所有路径趋于
时，对应的函数值趋于相同
的一个常数.如果 沿着两条不同路径趋于
时，对应的函数值趋于不同的值，
设
有连续的一阶偏导数，又函数
及
分别由下列两式确定
：
求．
和
，
【解析】
由
两边对 求导，得
即
．
考研大纲数学I一阶线性微分方程题型分析考研
在考研数学中，高等数学中的微分方程是一个重要考点，每年必考。
从历年的考研真题题型分析来看，微分方程部分的考题题型主要包括8类，它们分别是：一阶线性微分方程，二阶常系数线性微分方程，三阶常系数齐次线性微分方程，微分方程逆问题(已知通解求原方程)，齐次方程，可分离变量的方程，可降阶的高阶方程，综合题型(与其它考点结合，如极值，拐点，定积分应用，物理应用等)，另外，仅对数一的几种题型包括：欧拉方程、伯努利方程、全微分方程。
为了帮助各位考生掌握好微分方程各种题型的解题方法，将分别对它们进行分析和探讨，下面我们来分析一下一阶线性微分方程的各类题的解题方法，供大家参考。
一阶线性微分方程包括的几种题型：
典型例题：
上面就是考研数学中微分方程部分的一阶线性微分方程的几种题型的求解方法介绍，供考生们参考借鉴。
在以后的时间里，还会陆续向考生们介绍微分方程中的其它题型及求解方法，希望各位考生留意查看。
最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩。
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考研数学知识点复习：“微分方程”大纲
考点
在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。
数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。
数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。
由高数所占比例易知，高数是考研[微博]数学的重头戏，因此一直流传着“得高数者得数学。
”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块，老师继续梳理分析最后一个模块微分方程，希望对学员有所帮助。
1、考试内容
(1)常微分方程的基本概念；(2)变量可分离的微分方程；
(3)齐次微分方程；(4)一阶线性微分方程；(5)伯努利(Bernoulli)方程和全微分方程；(6)可用简单的变量代换求解的某些微分方程；(7)可降阶的高阶微分方程；(8)线性微
分方程解的性质及解的结构定理；(9)二阶常系数齐次线性微分方程；(10)高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；
(11)简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；(12)欧拉(Euler)方程；(13)微分方程的简单应用(其中5、7、12只要求数一考生掌握，数二、数三考生不要求掌握)。
2、考试要求
(1)了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；(2)掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；(3)会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；(4)会用降阶法解下列形式的微分方程；(5)理解线性微分方程解的性质及解的结构；(6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；(7)会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；(8)会解欧拉方程；(9)会用微分方程解决一些简单的应用问题。
3、常考题型
(1)变量可分离、齐次微分方程、一阶线性齐次与非齐次微分方程的求解；(2)可降阶的高阶微分方程的求解(数一、数二要求掌握，数三不要求掌握)；(3)全微分方程和欧拉方程的求解(数一要求掌握，数二、数三不要求掌握)；(4)线性微分方程解得结构；(5)微分方程相关的综合问题。
以上是老师针对微分方程这一模块，围绕大纲考点、常考题型进行的梳理分析，希望考生对这部分内容要熟练掌握。