正弦曲线和余弦曲线

{x | x (2k 1) , k Z}
函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。
例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.
(1)sin( )与sin( );
18
10
(2)cos( 23 )与cos( 17 ).
5
4
解：（1）Q 0, 且正弦函数 y sin x 在区间
2 10 18
[ , 0] 上是增函数，所以
2 sin( ) sin( )
10
18
例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.
(1)sin( )与sin( );
18
10
(2)cos( 23 )与cos( 17 ).
5
4
解（：2）cos( 23 ) cos 23 cos 3
5
5
5
cos(17 ) cos 17 cos
正弦曲线：y sin x x R y
1
ห้องสมุดไป่ตู้
-1
x
最高点：( 2k ,1) k Z
2
最低点：( 2k , 1) k Z
2
单调性：
在区间[
2k ,
2k ], k Z 上是增函数
2
2
在区间 [ 2k , 3 2k ], k Z 上是减函数
2
2
余弦曲线：y cos x x R y
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是 使函数y cos x, x R 取得最大值的x的集合
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
4
4
4
Q 0 3 , 且函数 y cos x, x [0, ]是减函数
45
cos cos 3
4
5
即 cos(17 ) cos( 23 )
4
5
例3.求函数
y
sin(
1 2
x
3
),
x
[2
,
2
]
的单调递增区间。
思考：
求函数
y sin( 1 x),
32
的单调递增区间。
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
同理，使函数y 3sin 2x, x R取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
1
-1
x
最高点： (2k ,1) k Z
最低点：( 2k , 1) k Z
单调性：
在区间[ 2k , 2k ], k Z 上是增函数
在区间 [2k , 2k ], k Z 上是减函数
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.