如何求动点的轨迹方程
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圆N : (x 3)2 y2 100内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.
7. 已知定圆N :(x 1)2 y2 9, 点M (1,0)为圆N 内一定点， P 是圆 N上的动点.MP 的垂直平分线l 和半径NP 相交于点Q, 当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程.
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
【链接高考】(2019年课标卷Ⅱ卷理数，21，12分)
2.已知点A(2,0), B(2,0)，动点M (x, y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为 1 . 2
记M 的轨迹为曲线C.
x2 y2 1 (x 2)
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线； 4 2
【链接月测】(师大附中第二次月测理数，20，12分)
依据等式的特点，选用向量的坐标运算、斜率公式、 距离公式等用坐标代入,列出方程f (x , y)=0,并化简整理
检验化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 （要注意范围的“挖”与“补”）
【链接高考】(2017年课标全国卷Ⅱ理数，20，12分)
3.设O为坐标原点,动点M在椭圆C: x2 + y2=1上,过M作x轴的垂线,
直译法求轨迹方程
定义法求轨迹方程
斜率公式
数学运算、 逻辑推理
直观想象、
向量的坐标运算 逻辑推理、
数学运算
直观想象、
三角形面积公式 逻辑推理、
数学运算
平行直线的性质、直观想象、
等腰三角形、 逻辑推理、
椭圆的定义
数学运算
知识聚焦
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种 条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f (x,y)=0的实数解建立如 下的对应关系:
如何求动点的轨迹方程
学科：数学 年级：高三
高考试题
考情分析
考向
关联考点
核心素养
2020课标Ⅰ理(文)20，12分 直译法求轨迹方程
向量的坐标运算
数学运算、 逻辑推理
2019课标Ⅱ理21，12分 2017课标Ⅱ理20，12分 2016课标Ⅲ理20，12分 2016课标Ⅰ理20，12分
直译法求轨迹方程 并说明轨迹 相关点法求轨迹方程
【链接高考】(2013年课标全国卷Ⅰ理数，20，12分)
5. 已知圆M : (x 1)2 y2 1，圆N : (x 1)2 y2 9，动圆P 与圆M外切并且与圆N内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.
【问题1】你能找出有关动点P满足的等量关系吗？ 【问题2】你能说出这个相等关系符合哪种曲线的定义吗?
x0 y0
f (x, g(x,
y) y)
代入相关点的轨迹方程
④得方程 化简、整理，得所求轨迹方程
【链接教材】选修2-1 , P49页习题2.2A组第1题
4.如果点M (x, y)在运动过程中， 总满足关系式 x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 10， 点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.
3.抛物线的定义
l dM
F1
F2
MF d l 不经过点F
F
小结
1、直译法求轨迹方程 2、相关点法（代入法）求轨迹方程 3、定义法求轨迹方程
我们一起来找茬！
如图，圆O的半径为定长r, A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时， 点Q的轨迹是什么？为什么？
2
x y 2 垂足为N,点P满足 NP 2 NM .
2
2
(1)求点P的轨迹方程;
【问题】你能找出点P与点M 的运动关系， 并写出它们坐标的有关式子吗？
相关点法（代入法）求轨迹方程的基本步骤：
①设坐标 设所求动点P(x , y),相关动点M (x0 , y0)
②找关系 ③代 换
利用条件求出两动点之间的关系
定义法 求动点的轨迹方程
根据解析几何中一些常用定义（例如：圆、椭圆、双曲线、抛物线的
定义），从定义出发直接写出轨迹方程，或从定义出发建立关系式，从
而求出轨迹方程.
1.椭圆的定义
MF1 MF1 2a 2a F1F2 0
M
F1
F2
2.双曲线的定义
M
MF1 MF1 2a 0 2a F1F2
之积是
4 9
,求点M
的轨迹方程.
【链接教材】选修2-1，P55 探究
3. 已知点A (5,0), B (5,0).直线AM , BM相交于点M ,且它们的斜率 之积是 4 ,求点M 的轨迹方程.
9
【链接教材】选修2-1，P41 例2
4.如图，在圆x2 y2 4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,
方程 f(x , y)=0
wk.baidu.com动那点么,P这的个方轨程迹叫方做③程就曲是线 指：的方程, 动这点条曲P线的叫坐做④标(x方,程y)满的足曲的线关. 系式 f (x , y)=0
【链接高考】(2020年课标卷Ⅲ文数，6，5分)
1.在平面A, B 内是两个定点,C是动点，若AC BC 1 ，则点C 的轨迹为（ A ）
变式2 1 已知点M (2,0), N (2,0),点P 满足：直线PM 的斜率k1,
直线PN的斜率k2,且k1 k2
3 .
4
求点P(x, y)的轨迹C
的方程;
直译法求动点的轨迹方程的基本步骤：
①建系 建立适当的坐标系
②设点 设动点P的坐标为(x , y)
③列式 ④代换 ⑤验证
根据限制条件，找出或列出动点P满足的等式
如图，圆O的半径为定长r, A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时， 点Q的轨迹是什么？为什么？
检测练习
【链接教材】选修2-1，P37 A 组第三题
1.两个定点的距离为6,点M 到这两个定点的距离的平方和为26, 求点M 的轨迹方程.
变式11 已知点A (3, 0), B (3, 0),动点M 满足 MA 2 MB 2 26, 求点M 的轨迹方程.
变式1 2 已知点A (3, 0), B (3, 0),动点M 满足 MA 2 MB 2 26, 求点M 的轨迹方程.
【链接教材】选修2-1，P41 例3
2.已知点A (5,0), B (5,0).直线AM , BM相交于点M ,且它们的斜率
D为垂足.当点P在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.
【链接教材】必修2，P122 例5
5. 已知线段AB 的端点B(4,3),端点A在圆(x 1)2 y2 4上运动，
求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
【链接教材】选修2-1 , P50页习题2.2B组第2题改编
6.一动圆P 与圆M : (x 3)2 y2 4外切，同时与
7. 已知定圆N :(x 1)2 y2 9, 点M (1,0)为圆N 内一定点， P 是圆 N上的动点.MP 的垂直平分线l 和半径NP 相交于点Q, 当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程.
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
【链接高考】(2019年课标卷Ⅱ卷理数，21，12分)
2.已知点A(2,0), B(2,0)，动点M (x, y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为 1 . 2
记M 的轨迹为曲线C.
x2 y2 1 (x 2)
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线； 4 2
【链接月测】(师大附中第二次月测理数，20，12分)
依据等式的特点，选用向量的坐标运算、斜率公式、 距离公式等用坐标代入,列出方程f (x , y)=0,并化简整理
检验化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 （要注意范围的“挖”与“补”）
【链接高考】(2017年课标全国卷Ⅱ理数，20，12分)
3.设O为坐标原点,动点M在椭圆C: x2 + y2=1上,过M作x轴的垂线,
直译法求轨迹方程
定义法求轨迹方程
斜率公式
数学运算、 逻辑推理
直观想象、
向量的坐标运算 逻辑推理、
数学运算
直观想象、
三角形面积公式 逻辑推理、
数学运算
平行直线的性质、直观想象、
等腰三角形、 逻辑推理、
椭圆的定义
数学运算
知识聚焦
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种 条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f (x,y)=0的实数解建立如 下的对应关系:
如何求动点的轨迹方程
学科：数学 年级：高三
高考试题
考情分析
考向
关联考点
核心素养
2020课标Ⅰ理(文)20，12分 直译法求轨迹方程
向量的坐标运算
数学运算、 逻辑推理
2019课标Ⅱ理21，12分 2017课标Ⅱ理20，12分 2016课标Ⅲ理20，12分 2016课标Ⅰ理20，12分
直译法求轨迹方程 并说明轨迹 相关点法求轨迹方程
【链接高考】(2013年课标全国卷Ⅰ理数，20，12分)
5. 已知圆M : (x 1)2 y2 1，圆N : (x 1)2 y2 9，动圆P 与圆M外切并且与圆N内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.
【问题1】你能找出有关动点P满足的等量关系吗？ 【问题2】你能说出这个相等关系符合哪种曲线的定义吗?
x0 y0
f (x, g(x,
y) y)
代入相关点的轨迹方程
④得方程 化简、整理，得所求轨迹方程
【链接教材】选修2-1 , P49页习题2.2A组第1题
4.如果点M (x, y)在运动过程中， 总满足关系式 x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 10， 点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.
3.抛物线的定义
l dM
F1
F2
MF d l 不经过点F
F
小结
1、直译法求轨迹方程 2、相关点法（代入法）求轨迹方程 3、定义法求轨迹方程
我们一起来找茬！
如图，圆O的半径为定长r, A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时， 点Q的轨迹是什么？为什么？
2
x y 2 垂足为N,点P满足 NP 2 NM .
2
2
(1)求点P的轨迹方程;
【问题】你能找出点P与点M 的运动关系， 并写出它们坐标的有关式子吗？
相关点法（代入法）求轨迹方程的基本步骤：
①设坐标 设所求动点P(x , y),相关动点M (x0 , y0)
②找关系 ③代 换
利用条件求出两动点之间的关系
定义法 求动点的轨迹方程
根据解析几何中一些常用定义（例如：圆、椭圆、双曲线、抛物线的
定义），从定义出发直接写出轨迹方程，或从定义出发建立关系式，从
而求出轨迹方程.
1.椭圆的定义
MF1 MF1 2a 2a F1F2 0
M
F1
F2
2.双曲线的定义
M
MF1 MF1 2a 0 2a F1F2
之积是
4 9
,求点M
的轨迹方程.
【链接教材】选修2-1，P55 探究
3. 已知点A (5,0), B (5,0).直线AM , BM相交于点M ,且它们的斜率 之积是 4 ,求点M 的轨迹方程.
9
【链接教材】选修2-1，P41 例2
4.如图，在圆x2 y2 4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,
方程 f(x , y)=0
wk.baidu.com动那点么,P这的个方轨程迹叫方做③程就曲是线 指：的方程, 动这点条曲P线的叫坐做④标(x方,程y)满的足曲的线关. 系式 f (x , y)=0
【链接高考】(2020年课标卷Ⅲ文数，6，5分)
1.在平面A, B 内是两个定点,C是动点，若AC BC 1 ，则点C 的轨迹为（ A ）
变式2 1 已知点M (2,0), N (2,0),点P 满足：直线PM 的斜率k1,
直线PN的斜率k2,且k1 k2
3 .
4
求点P(x, y)的轨迹C
的方程;
直译法求动点的轨迹方程的基本步骤：
①建系 建立适当的坐标系
②设点 设动点P的坐标为(x , y)
③列式 ④代换 ⑤验证
根据限制条件，找出或列出动点P满足的等式
如图，圆O的半径为定长r, A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时， 点Q的轨迹是什么？为什么？
检测练习
【链接教材】选修2-1，P37 A 组第三题
1.两个定点的距离为6,点M 到这两个定点的距离的平方和为26, 求点M 的轨迹方程.
变式11 已知点A (3, 0), B (3, 0),动点M 满足 MA 2 MB 2 26, 求点M 的轨迹方程.
变式1 2 已知点A (3, 0), B (3, 0),动点M 满足 MA 2 MB 2 26, 求点M 的轨迹方程.
【链接教材】选修2-1，P41 例3
2.已知点A (5,0), B (5,0).直线AM , BM相交于点M ,且它们的斜率
D为垂足.当点P在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.
【链接教材】必修2，P122 例5
5. 已知线段AB 的端点B(4,3),端点A在圆(x 1)2 y2 4上运动，
求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
【链接教材】选修2-1 , P50页习题2.2B组第2题改编
6.一动圆P 与圆M : (x 3)2 y2 4外切，同时与