食饵—捕食者模型

《数学模型》课程

食饵一捕食者模型

3.讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。

自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。二者共同组成食饵一捕食者系统。

一食饵一捕食者

选用食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）为研究对象,设x（t）/ X i（t）为食饵（食用鱼）在时刻t的数量，y（t）/ X2（t）为捕食者（鲨鱼）在时刻t的数量，r i为食饵（食用鱼）的相对增长率，J为捕食者（鲨鱼）的相对增长率；N i为大海中能容纳的食饵（食用鱼）的最大容量，N2为大海中能容纳的捕食者（鲨鱼）的最大容量，i 为单位数量捕食者（相对于N2）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者（相对于NJ消耗的供养甲实物量的i倍；2为单位数量食饵（相对于N i ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者（相对于N2）消耗的供养食饵实物量的2倍；d为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率

二模型假设

1•假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存;

2•假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长;

三模型建立

食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为

r i，即x rx，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数

量成正比，于是x(t)满足方程

x (t) x(r ay) rx axy (1)

比例系数a反映捕食者掠取食饵的能力。

由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d，即y dy，

而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是y(t)满足

y (t) y( d bx) dy bxy (2)

比例系数b反映食饵对捕食者的供养能力。

方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。结果如下。

不考虑自身阻滞作用：数值解

令x(0)=x0,y(0)=0,设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 使用Matlab 求解

求解如下

1) 先建立M文件

fun cti on xdot=shier(t,x)

r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;

xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x (2)];

2) 在命令窗口输入如下命令：

ts=0:0.1:15;

>> x0=[25,2];

>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],

>> ts=0:0.1:15;

x0=[25,2];

[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],

ans =

省略

>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),

>>>> pause

>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid.

A

X 1

g x

1

N 1

1 X 2

)

N 2 )

「2(

A 1%

N 2

2

X 1 2X 2) N 1 N 2 )

(可以猜测，x(t),y(t)是周期函数，与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值

解近似定出周期为10.7，x 的最大最小值分别为99.3，2.0，y 的最大，最小值分 别为28.4和2.0,容易算出x(t),y(t)再一个周期的平均值为25，10.)

考虑阻滞作用 前面我们没有考虑种群自身的阻滞作用，接下来我们考虑种群自身的阻滞作

x

1 X 2

2N

1 N 2

四平衡点进行理论分析

下面对(3)( 4)进行平衡点稳定性分析: 由微分方程⑶、⑷

令 f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0 得到如下平衡点：

P 1(N 1,0), Eg

对P 2而言要求2>0。

按照判断平衡点稳定性的方法计算:

用，在上面(1)，( 2)两式中加入 Logistic 项，即建立以下数学模型:

x 1(t)

r 1x 11

x

1

X

2

1N 2

x 2(t) f(X 1,X 2)「們 1

x

1

X

2 1N 2 g(x 「X 2) 「2%2

X

1 X

2 2N 1 N 2

9) , P 3(0,0)

因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时 (X 1, X 2

0)才有意义，所以,

根据p 等于主对角线元素之和的相反数，而q 为其行列式的值，我们得到下 表:

五模型分析与检验

1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：

1）对 P i （

N 1,0

）而言，有 p = r i D （ 2 1），q =盹（2 1），故当 2 <1 时,

平衡点P 1（N 1,0）是稳定的。

意义：如果R （N 1,0）稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存

2

>1时，平衡点卩2（ —是稳定的

1 1

2 1 1 2

意义：如果R （ —稳定，则两物种恒稳发展，会互相依

1 1

2 1

1 2

存生长下去。

3）对卩3（0,0

）而言，由于p 口 「2 , q 屮2，又有题知口>0「2>0,故q<0,

即R （N 1,0）是不稳定的

六用MATLAB 求解验证

下面将进行MATLAB^件求解此微分方程组中的x/t ）、X 2（t ）的图形及相轨线

2)对 P 2』1

(1

1) N 2( 2 1

,1 °)而言，

1 2 1 1 2

「1（1 1 )

「2( 2

A a (1

1

1)( 2 1)

，故当