复变函数2-1复变函数的导数

复 变 函 数 与 积 分 变 换
0 f ( z0 ) 0
故 f ( z )在z0处连续.
4. 求导法则 1. (c ) 0 (c为复数 )
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2. [ f ( z ) g( z )] f ( z ) g( z )
3. [ f ( z ) g( z )] f ( z ) g( z ) g( z ) f ( z )
2
2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
( z z )( z z ) zz lim z 0 z z lim( z z z ) z 0 z
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当z0时, 该极限值为零. 故在点z=0处函数可导 且 f (0) 0；
当z 0时, z沿着平行于实轴的方向趋于0时,有
其中1 , 2是关于 x y 的高阶无穷小
2 2
u v u v 设a , b x y y x
则 f u i v
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a x b y 1 i ( b x a y 2 ) ( a ib )( x i y ) (1 i 2 )
必要性
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设f ( z )在D内解析，则在D内任意一点z x iy 处可导，且 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) f ( z ) lim lim z 0 z 0 z z
f ( z ) f ( z )z z (lim 0)
复 变 函 数 与 积 分 变 换
u i v lim . x 0 x i y y 0
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当z沿平行于实轴的直线趋于0时， u i v u v f ( z0 ) lim i x 0 x x x
当z沿平行于虚轴的直线趋于0时， u i v v u f ( z0 ) lim i . y 0 i y y y
解：f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点z 0满足 u v u v C R方程： 0， 0 x y y x
但u( x , y )、v ( x , y )在点(0,0)不连续，所以复变 函数f ( z )在z 0不连续, 从而不可导.
例4 验证w u( x , y ) iv ( x , y )是否满足C - R方程， 并讨论其可导性，其中 哈
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xy 2 2 u( x , y ) v ( x , y ) x y 0
x 2 y2 0 x y 0
2 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
2
所以在复平面内是解析的；
f ( z ) x 2 yi在复平面内不可导， 所以复平面内是处处 不解析的；
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f ( z ) z 仅在z 0处可导，在其他点处 都不可导，它在复平面上处处不解析 .
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例3
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讨论函数f ( z )
xy 在z 0的可微性． xy , v( x, y ) 0所以
解 由于u( x , y )
u( x ,0) u(0,0) ux (0,0) lim 0 v y (0,0) x 0 x
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若 w f ( z z 0 ) f ( z 0 ) Az o(| z |) (z 0)
称df ( z0 ) Az为函数f ( z )在z0处的微分， 或说函数在z0处可微。 若函数在点z0可微，则A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z f ( z0 )dz
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第二章
解析函数
第三讲 复变函数的导数与解析函数 学习要点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
掌握复变函数的导数与微分 掌握C-R方程与函数可导的充要条件
一、复变函数的导数与微分
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复 变 函 数 与 积 分 变 换
1. 定义 设w f ( z )在区域D上有定义，z0为D中 一点，点z0 z z D . f ( z0 z ) f ( z ) 如果极限 lim 存在， z 0 z 则说f ( z )在z0可导，此极限值称为f ( z )在
讨论函数f ( z )
xy 在z 0的可微性．
例2 解 因为u( x , y ) x , v ( x , y ) y , 所以
2
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u u v v 1, 0, 0, 2 y x y x y
u( x, y )和v( x, y )在复平面上处处可微, v u x 1 y 2 y 1 由C R方程 y 2 u v 0 x y 1 2 因此 , f ( z ) x iy 仅在直线Im(z )= 上 2 的各点可导
二、 Cauchy-Riemann方程
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复变函数的可导性不等价于它的实部和虚 部的可微性。 那么什么条件下复变函数才能可导呢？
若 w f ( z )在z0处可导，故由导数定义， f ( z0 z ) f ( z 0 ) f ( z0 ) lim z 0 z
1 u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )处可微；
复 变 函 数 与 积 分 变 换
2 在该点满足柯西—黎曼方程：

u v u v , x y y x
证明：充分性
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复 变 函 数 与 积 分 变 换
设u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )处可微，且C R 方程成立 u u x y 1 , 则在点( x , y)处有 u x v v v v x y 2 x v
三、解析函数
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1. 定义：如果函数f ( z )在z0及z0的邻域内处处 可导，则称f ( z )在z0解析 .
如果f ( z )在区域D内每一点解析，称f ( z )在D 内解析，或称f ( z )是D内的一个解析函数 .
如果f ( z )在z0不解析，则称z0为f ( z )的奇点.
z0的导数.
dw 记作：f ( z0 ) dz
'
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
注意：定义中z 0 即z z0 z z0的方式
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是任意的.
问题：复变函数的导数与实变元函数的导
数有什么不同？
区域D内可导：如果f ( z )在区域D内处处可导， 则说f ( z )在D内可导 .
复 变 函 数 与 积 分 变 换
u(0, y ) u(0,0) u y (0,0) lim 0 v x (0,0) y 0 y
满足C-R方程； 但是由于
x y f ( z ) f (0) z x i y
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而 lim
x y x i y
z 0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
令f ( z ) u iv, f ( z ) a bi ,
有f ( z ) u i v (a ib )z z ( a ib )( x i y ) o(| z |)
u ax by o(| z |)；
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f ( z ) a ib 所以 z 1 i 2 这里， x i y
于是，有
( lim 0)
z 0
f ( z ) u v v u lim a ib i i z 0 z x x y y
比较以上两式即得
u v v u , x y x y
复 变 函 数 与 积 分 变 换
CauchyRiemann方程
定理：复变函数在一点可导的充要条件
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设f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )定义在区域D内， 则f ( z )在D内一点可导的充要条件是：
复 变 函 数 与 积 分 变 换
注意 f ( z )在一点处可导 f ( z )在该点处解析.

f ( z )在区域 内可导 f ( z )在区域内解析.
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例5 分别讨论函数的f ( z ) z , f ( z ) x 2 yi， 1 2 f ( z ) z ，f ( z ) 的解析性 z 2 解： 因为f ( z ) z 在复平面内处处可导，
z lim( z z z ) z z z 0 z
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z沿着平行于虚轴的方向趋于0时,有
z lim( z z z ) z z z 0 z
所以f ( z ) z 在z 0的点处处不可导 .
2
2. 复变函数的微分
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v bx ay o(| z |)；
于是可得u( x , y), v( x , y)在z点可微,且
u v u v a , b x y y x
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C-R方程
例2
例3
讨论函数f ( z ) x iy 2的可导性.
f (z) f ( z ) g ( z ) g ( z ) f ( z ) 4. [ ] ( g ( z ) 0) 2 g( z ) g (z)
复 变 函 数 与 积 分 变 换
5. { f [ g( z )]} f ( w) g( z ) 其中w g( z )
1 6. f ( z ) w f ( z ), z ( w )是两个 ( w ) 互为反函数的单值函数 .
x 0 y k x
lim
k x x x (1 ki )
x 0

k 1 ki
随着k值不同，极限值也不同，故极限不存在 所以f ( z )在z 0处不可微.
复 变 函 数 与 积 分 变 换
为什么满足C-R方程，函数还 不可微（导）？ 因为C-R方程只是必要条件 常用u( x , y ), v ( x , y )是否有连续的偏导数 来代替是否可微
复 变 函 数 与 积 分 变 换
与一元函数一样，复变函数的可导和微分是 等价的。
3. 可导与连续的关系
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若f ( z )在z0处可导，则f ( z )在z0处必定连续； 反之不成立。
证：因为
f ( z ) f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z0 ) lim( z z0 ) z z0 z z0 z z0 f ( z ) f ( z0 ) lim( z z0 ) lim z z0 z z0 z z0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例1 讨论下列函数的可导性.
1) f ( z ) x 2 yi
2) f ( z ) | z |
2
2. f ( z ) | z |2
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解 由导数的定义,有
z 0
lim
f ( z z ) f z z
z z z lim z 0 z