解析几何中的对称问题及其应用

解析几何中的对称问题及其应用
关键词：对称点、对称直线
解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。

对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。

这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需要对对称问题进行适当的归纳、总结。

使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。

一、点关于点的对称：
理论基础：点A ()y x ,关于P ()b a ,对称点坐标)2,2(/
y b x a A --,即P 是/
,A B 的中点，
特别是中点的应用比较广泛，中点也就是对称的另一种说法而已。

例 1 已知平行四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为135153(
,),(,),4444
A B -- 1119
(,),(,)44
C D m n -，求,m n 的值。

方法一：利用斜率相等，
方法二：利用对角线互相平分， 方法三：利用向量相等。

答案：2935,44
m n =
=
练习 1 已知矩形ABCD 的两个顶点(1,3),(2,4)A B --,且它的对角线的交点在x 轴上，求,C D 的坐标。

方法一：设对角线中点，利用邻边垂直；
方法二：设对角线中点，利用对角线相等且互相平分； 方法三：
答案：(9,3),(8,4)C D ----
二、直线（曲线）关于点的对称：
理论基础：就本质而言，直线关于点的对称即点关于点的对称，结合几何特性，直线关于点的对称直线与已知直线平行（对称点不在直线上），应用几何特性就可以降低解题运算量，提高解题效率。

结论：直线0Ax By C ++=关于点(,)M a b 的对称直线为(2)(2)0A a x B b y C -+-+= 圆关于点的对称：首先圆是关于自己圆心自对称的图形。

其次圆关于点的对称图形仍然为圆，且半径不变，所以圆关于点的对称即为点关于点的对称。

推论：曲线()0,=y x f ,关于P ()b a ,的对称曲线()02,2=--y b x a f
例2、⑴求直线043:=--y x l 关于P ()1,2-的对称直线 。

方法一：取两点，求对称点，求方程。

方法二：因为所求直线与已知直线平行，可设平行直线，然后取一点对称后代入。

方法三：根据平行设方程，再利用距离相等求参数。

方法四：推论法
在所求直线上任取点M (),x y ，则M 点关于直线L 的对称点为()4,2x y --- 则所求直线为3(4)(2)40x y -----=⇒3100x y --= 答案：3100x y --=
⑵求圆022
2
=-+x y x 关于P ()1,2-的对称曲线 。

解法一：求圆心()1,0关于P ()1,2-的对称点为()3,2-， 则所求曲线为2
2
(3)(2)1x y -++=。

解法二：推论法：在所求曲线上点M (),x y ，则M 点关于直线L 的对称点为
()4,2x y ---，则所求曲线为22(4)(2)2(4)0x y x -+----=
22(3)(2)1x y ⇒-++=
⑶求抛物线x y 42
=关于P ()1,2-的对称曲线 。

推论法：在所求曲线上点M (),x y ，则M 点关于直线L 的对称点为()4,2x y --- 则所求曲线为2
2
(2)4(4)(2)4(4)y x y x --=-⇒+=--
三、点关于直线的对称：
1、点A ()y x ,关于直线a x =对称点坐标),2(/
y x a A -
推论：曲线()0,=y x f ,关于a x =的对称曲线()0,2=-y x a f 。

练习：⑴求直线043:=--y x l 关于2=x 的对称直线 。

⑵求圆022
2
=-+x y x 关于2=x 的对称曲线 。

⑶求抛物线x y 42
=关于2=x 的对称曲线 。

2、点A ()y x ,关于直线b y =对称点坐标)2,(/
y b x A -
推论：曲线()0,=y x f ,关于b y =的对称曲线()02,=-y b x f 。

练习：⑴求直线043:=--y x l 关于1-=y 的对称直线 。

⑵求圆022
2
=-+x y x 关于1-=y 的对称曲线 。

⑶求抛物线x y 42
=关于1-=y 的对称曲线 。

3、点A ()y x ,关于直线b x y +=对称点坐标),(/
b x b y A +-
推论：曲线()0,=y x f ,关于直线b x y +=的对称曲线()0,=+-b x b y f 。

练习：⑴求直线043:=--y x l 关于2+=x y 的对称直线 。

⑵求圆022
2
=-+x y x 关于2+=x y 的对称曲线 。

⑶求抛物线x y 42
=关于2+=x y 的对称曲线 。

4、点A ()y x ,关于直线b x y +-=对称点坐标),(/
x b y b A --
推论：曲线()0,=y x f ,关于直线b x y +-=的对称曲线()0,=--x b y b f 。

练习：⑴求直线043:=--y x l 关于2+-=x y 的对称直线 。

⑵求圆022
2
=-+x y x 关于2+-=x y 的对称曲线 。

⑶求抛物线x y 42
=关于2+-=x y 的对称曲线 。

理论基础：点11(,)A x y 关于直线:0l Ax By C ++=的对称点为22(,)B x y ，则A ，B 的中点在直线l 上，且AB 与l 垂直。

根据两个关系，建立方程组进行求解。

121221210221x x y y A B c y y A x x B ⎧++⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎪⎨
-⎛⎫⎪-=- ⎪⎪-⎝⎭
⎩g 例 3 求点(2,1)A 关于直线2100x y +-=的对称点。

例 4 已知(3,1)A -、B(5,2)-点P 在直线0x y +=上，若使PA PB +取最小值，则P 点的坐标为？
方法一：求对称点，求直线方程，求交点； 方法二：求对称点，设交点，利用斜率；
方法三：求对称点，设交点，利用向量三点共线。

答案：(6,3) 1313(
,)55
- 结论：特殊的对称轴求对称点的方法：对于对称轴为x 轴、y 轴、y x b =±+的对称问题，我们可以利用更简单的方法直接写出对称点，不必再利用方程组的思想去求
解。

例 在x 轴上有一点A ，直线y x =上有一点B ，定点(2,1)C ，若ABC ∆的周长最小，求,A B 两点的坐标。

答案555(,0),(,)344
A B
练习 已知光线通过点(2,3)A ，经直线10x y ++=反射，其反射光线通过点
(1,1)B ，求入射光线和反射光线所在的方程。

答案：反射光线：4510x y -+=，入射光线：5420x y -+= 直线关于直线的对称：
理论基础：直线关于直线对称，及点关于直线对称，
解决方法一：取两点，分别求对称，得到方程；
方法二：求交点（交点存在）再求一个点的对称点即可 例 求直线20x y --=关于直线33y x =+对称的直线方程。

答案：7220x y ++=
例 直线2310x y ++=关于直线10x y --=的对称直线方程为。

答案：320x y +=
小试身手：
1、下列方程所表示的曲线关于直线x ＋y ＝0不对称的是 ( )
A ．2
2
33x xy y -+= B ．2
2
33x xy y +-=
C ．3
33x y -= D ．33
3x y -=-
2、（2009宁夏海南卷文）已知圆1C ：2
(1)x ++2
(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线
10x y --=对称，则圆2C 的方程为
（A ）2
(2)x ++2
(2)y -=1 （B ）2
(2)x -+2
(2)y +=1
（C ）2
(2)x ++2
(2)y +=1 （D ）2
(2)x -+2
(2)y -=1 3、圆2
2
20x y x y +-+=关于直线10x y -+=对称的圆的方程。

4.已知ABC ∆的一个顶点为(1,3)A ,直线12:210,:10.l x y l y -+=-=若1l ，2l 分别是边,AB AC 上的中线，求变BC 所在的直线方程。

5.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4),(6,0),(5,2)A B C --，求A ∠的平分线AT 所在直线的方程和角平分线AT 的长。

6.过点(0,1)P 的直线l 交直线1:3100l x y -+=于点A ，交直线2:280l x y +-=于点B ，若点P 平分线段AB ，试求直线l 的方程。

答案：3、2
2
4350x y x y ++-+=；4．BC 的直线方程：410x y --=
5. AT 直线的方程：7170x y --=，72(,)33T -
||AT = 6. 直线l 的方程：440x y +-=
通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：
由此可见，熟练地记忆和掌握各种对称点和对称曲线的求法，将会对我们解决对称问题带来很大的方便。