河南省2019年中考数学专题复习专题：二次函数综合题训练(含答案)

二次函数综合题

类型一 新定义问题

(2019·河南)如图，直线y ＝－23x ＋c 与x 轴交于点A(3，0)，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－43x 2

＋

bx ＋c 经过点A ，B.

(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；

(2)M(m ，0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N. ①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；

②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．

例1题图

备

用图

【分析】 (1)把A 点坐标代入直线解析式可求得c ，则可求得B 点坐标，由点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)①由M 点坐标可表示点P ，N 的坐标，从而可表示出MA ，MP ，PN ，PB 的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m 的值；

②用m 可表示出点M ，P ，N 的坐标，由题意可知有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，可分别得到关于m 的方程，即可求得m 的值． 【自主解答】

解：(1)∵y＝－2

3x ＋c 过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，

∴0＝－2＋c ，解得c ＝2，

∴B(0，2)．∵抛物线y ＝－43

x 2

＋bx ＋c 经过点A ，B ，

⎩⎪⎨⎪⎧－12＋3b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪

⎨

⎪⎧b ＝10

3，c ＝2，

∴抛物线的解析式为y ＝－43x 2＋10

3x ＋2.

(2)①由(1)可知直线的解析式为y ＝－2

3

x ＋2，

∵M(m，0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N.∴P(m，－2

3m

＋2)，N(m ，－43m 2＋103m ＋2)，∴PM＝－23m ＋2，AM ＝3－m ，PN ＝－43m 2＋103m ＋2－(－23m ＋2)＝－43m 2

＋4m ，

∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN＝∠APM， ∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°. 当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN， ∴N 点的纵坐标为2，

∴－43m 2＋10

3m ＋2＝2，解得m ＝0(舍去)或m ＝2.5，

∴M(2.5，0)；

当∠NBP＝90°时，过点N 作NC⊥y 轴于点C ，

例1题解图

则∠NBC＋∠BNC＝90°，NC ＝m ，BC ＝－43m 2＋103m ＋2－2＝－43m 2＋103m ，

∵∠NBP＝90°， ∴∠NBC＋∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BNC， ∴Rt△NCB～Rt△BOA， ∴

NC OB ＝CB

OA

， ∴m 2＝－43m 2＋103m 3，解得m ＝0(舍去)或m ＝11

8. ∴M(11

8

，0)；

综上可知，当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为(2.5，0)或(11

8

，0)；

②由①可知M(m ，0)，P(m ，－23m ＋2)，N(m ，－43m 2＋10

3m ＋2)，

∵M，P ，N 三点为“共谐点”，

∴当P 为线段MN 的中点时，则有2(－23m ＋2)＝－43m 2＋103m ＋2，解得m ＝3(三点重合，舍去)或m ＝1

2；

当M 为线段PN 的中点时，则有－23m ＋2＋(－43m 2＋10

3m ＋2)＝0，解得m ＝3(舍去)或m ＝－1；

当N 为线段PM 的中点时，则有－23m ＋2＝2(－43m 2＋103m ＋2)，解得m ＝3(舍去)或m ＝－1

4.

综上可知，当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时，m 的值为12或－1或－1

4

.

1．(2019·河南)如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF⊥BC 于点F ，点D ，E 的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD ，PE ，DE. (1)请直接写出抛物线的解析式；

(2)小明探究点P 的位置发现：当P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．

第1题图

备用图

2．(2019·崇仁一中二模)如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1，L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．

(1)抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；

(2)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；

(3)在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m＞0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D.若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．

图①

图②