第3节 线性方程组解的结构

设 Ax = 0 的通解为 x = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r ．
于是 Ax = b 的通解为
h = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r +h*
例2：求线性方程组
x1 2 x1
2 x2 3 x2
x3 2x4 3 x4 5 的通解．
x1 x2 5 x3 7 x4 0
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn ,
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn ,
LL
xr br1 xr1 br 2 xr2 L br,nr xn .
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
线性方程组 的通解
x1 b11c1 L b c 1,nr nr
M
M
b11
M
b12
M
b1,nr
M
xr xr 1
br1c1
L c1
b c r ,nr nr
c1
br1 1
c1
br 2 1
L
cnr
br ,nr 0
xr 2
k11 k22
(k1，k2为任意常数)也是它的解。
解向量的定义
定义4.3.1：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果
x1 = x11， x2 = x21，...， xn = xn1
为该方程组的解，则
x11
x
x
21
M
x
n1
称为方程组的解向量．
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1, x2, ..., xr
x2
b21 xr1 L
b2,nr xn ,
LL
xr br1 xr1 L br ,nr xn .
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn ,
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn ,
LL
xr br1 xr1 br 2 xr2 L br,nr xn .
3
0
1
还能找出其 它基础解系 吗？
非齐次线性方程组的解的性质
定理4.3.3：若 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， 则 x = h1 − h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）的
解．
证明： A(h1 − h2 ) = Ah1 − Ah2 = b − b = 0 ．
§3 线性方程组解的结构
对于齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn 0
a21 x1 a22 x2 L LL
a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
记
a11
A
a21 L
a12 L a22 L LL
a1n x1
a2n L
设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为
1 0 L
0
1
L
M M
B
0 0
0 0
L L
0 0 L
M 0
M 0
L
前r列
0 b11 L 0 b21 L MM 1 br,1 L 0 0L 0 0L MM 0 0L
b1,nr
b2 , n r
M
br ,nr
0
0
M 0
mn
性质4.3.4：若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是 导出组 Ax = 0 的解，则 x = x + h 还是 Ax = b 的解． 证明： A(x + h ) = Ax + Ah = 0 + b = b ．
根据定理4.3.3 和4.3.4 可知
若 x = h* 是 Ax = b 的解， x = x 是 Ax = 0 的解，那么 x = x + h* 也是 Ax = b 的解．
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
齐次线性方 程组的通解
x1 b11c1 L b1,nrcnr
M
M
xr
br1c1
L
b c r ,nr nr
xr1 c1
M
O
b11
M
b12
M
c1
br 1
1
c1
br 1
1
解：容易看出
h*
1
是方程组的一个特解
．
0
0 其对应的齐次线性方程组为
x1 2 x1
2 x2 3 x2
x3 2x4 0 x4 0
x1 x2 5 x3 7 x4 0
3
4
根据前面的结论，导出组的基础解系为
x1
2 1
,
x2
3 0
0
1
于是，原方程组的通解为
,
x
x2
M
am1 am2 L amn
xn
则（4.6）式可写为向量方程 Ax . 0
（4.6）
在第3章中，已得到如下重要定理： n个未知量的齐次方程组AX=0有非零解的充要条件是系数
矩阵的秩R(A)<n。
等价命题：齐次方程组AX=0只有零解的充要条件是R(A)=n。
定理4.3.1 若 1,2 是齐次方程组AX=0的两个解，则
3 4 1
h
c1x1 c2x2
h*
c1
2 1
c2
3 0
1
0
0
1
0
小结：关于线性方程组
求解线性方程组（第三章，利用矩阵的初等行变换）
线性方程组的几何意义（第四章，四种等价形式） 1. 齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造． ① 基础解系是解集 S 的最大无关组． ② 解集 S 是基础解系的所有可能的线性组合． 2. 非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系.
,1
br ,2 0
L L
0 1 L
M 0
M 0L
b1,nr
b2 , n r
M
br ,nr
0
0
M 1
n−r列
前r行 后n−r行
故 R(x1, x2 , … , xn-r ) = n − r ， 即 x1, x2 , … , xn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 x1, x2 , … , xn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系．
例1：解齐次线性方程组
x1 x3 x4 3x5 0
4x1x126xx2 2x23
x3
x5
0 4 x4
3 x5
0
2x1 2x2 4x3 7 x4 4x5 0
且将பைடு நூலகம்通解用基础解系表示。
1 0 1 1 3 1 0 1 0 6
1
2
1
0
1
r
0
1
1
0
2.5
4 6 2 4 3 0 0 0 1 3
后n-r列
对应的齐次线性方程组
x1
x2
b11 xr1 L b1,nr xn 0, b21 xr1 L b2,nr xn 0,
LL
xr br1 xr1 L br,nr xn 0.
令 xr+1, …, xn 作自由变量，则
x1 b11 xr1 L b1,nr xn ,
c2
0
0
0
M
M
M M
M
xn
cnr
0 0
1
记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②）
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn ,
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn ,
如果满足
① x1，x2，...，xr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
定理4.2.3：设 m×n 矩阵A的秩 R(A) = r<n，则齐次线性方程 组Ax = 0 存在基础解系，且基础解系含n − r个解向量 ．
0
0
1
xr br1 br2
br,nr
b11
M
b12
M
b1,nr
M
x1
br 1 1
,
x
2
br
2
1
,L
,xnr
br
,n
r
0
0
0
0
M M
M
0
0
1
此即为 Ax = 0 的基础解系． 通解为
x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r
LL
xr br1 xr1 br 2 xr2 L br,nr xn .
令
xr1 1 0
xr 2 M
0
M
,
1
M
,L
0
,
0
M
x1 b11 b12
，则
x2
,
M
b21 M
,
b22 M
,L
b1,nr
,
b2,nr M
xn
2
2
4
7
4
0
0
0
0
0
即
x1 x2
= x3 6x5 x3 2.5 x5
x. 3 x5
令
x3 x5
1 0
,
0 1
，得
x1 1 6
x2
1
,
2.5
x4 0 3
合起来便得到基础解系
1
6
1
2.5
x1
1
,
x2
0
0
2
L
0 0
b1,nr
M
cnr
br ,nr 0
0
xn
cnr
M 0
M 0
M 1
记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②）
b11
b21
b12 L b22 L
M M
(x1 ,x2 ,L
,xnr
)
br 1