2017版数学大一轮复习练习2.1函数的概念及其表示法

第4课 函数的概念及其表示法

【自主学习】

(本课时对应学生用书第7~8页)

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1.(必修1P26练习4改编)下列对应中为函数的有 .(填序号) ①A=B=N *，对任意的x ∈A ，f ：x→|x -2|；

②A=R ，B={y|y>0}，对任意的x ∈A ，f ：x→2

1x ；

③A=B=R ，对任意的x ∈A ，f ：x→3x+2；

④A={(x ，y)|x ，y ∈R}，B=R ，对任意的(x ，y)∈A ，f ：(x ，y)→x+y. 【答案】③

【解析】对于①，当x=2时，集合B 中没有与之对应的元素，故①不是函数；对于②，当x=0

时，2

1x 没有意义，故②不是函数；对于④，集合A 是点集，不是数集，故④不是函数；所

以只有③满足条件，是函数.

2. (必修1P31习题6改编)直线x=1和函数y=f(x)图象的交点个数为 . 【答案】0或1

【解析】若1是函数定义域中的元素，则根据函数的定义可知交点个数为1，若1不是函数定义域中的元素，则交点个数为0.

3. (必修1P33习题13改编)若x )=x-1，则f(2)= . 【答案】3

x ，则x=4，所以f(2)=3.

4. (必修1P34习题7改编)已知函数f(x)=

31

-1

x x

x x

⎧≤

⎨

>

⎩

，，

，，

若f(x)=2，则x=

.

【答案】log32

【解析】由题意得

1

32

x

x≤

⎧

⎨

=

⎩

，

或

1

-2

x

x

>

⎧

⎨

=

⎩

，

，

解得x=log32.

5. (必修1P42练习3改编)已知a，b为实数，集合M=

1

b

a

⎧⎫

⎨⎬

⎩⎭

，

，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b=.

【答案】

【解析】由题意得a=1，b=0，所以a+b=1.

1. 函数的概念

设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫作函数y=f(x)的定义域，将所有的输出值y组成的集合叫作函数y=f(x)的值域.

2.相同函数

函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则.

当函数的定义域及对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

3. 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法.

4. 映射的概念

一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.

【要点导学】

要点导学各个击破

函数的概念

例1判断下列对应是否为函数.

(1)x→y=x2+2x+1，x∈R；

(2)x→y，这里y4=x，x∈R，y∈R；

(3)A={(x，y)|x，y∈R}，B=R，对任意(x，y)∈A，(x，y)→x+y.

【思维引导】判断标准：根据给出的定义域和对应法则，看自变量x在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应.

【解答】(1)对于任意一个实数x，y=x2+2x+1都被x唯一确定，所以当x∈R时，y=x2+2x+1是函数.

(2)考虑输入值1，即当x=1时，y=±1，这时一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以不是函数.

(3)由于集合A不是数集，所以此对应法则一定不是函数.

【精要点评】由解析式判断函数关系，从三个角度入手：(1)定义域是否为数集；(2)定义域中每个值是否使解析式都有意义；(3)由解析式算出的数是否唯一.

变式试判断以下各组中的两个函数是否为同一函数.

2

x33x；

(2)f(x)=|x|

x ，g(x)=1x 0-1x 0≥⎧⎨

<⎩，，，；

(3)f(x)=x ·x 1+，g(x)=2

x x +；

(4)f(x)=x 2-2x-1，g(t)=t 2-2t-1.

【思维引导】 对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，当且仅当它们的定义域、值域和对应法则都相同时，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.而我们一般只要先考查定义域，再考虑对应法则即可.

【解答】(1)由于f(x)=2

x =|x|，g(x)=33x =x ，故它们的值域及对应法则都不相同，所

以它们不是同一函数.

(2)由于函数f(x)=||

x x 的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，而g(x)=10-10x x ≥⎧⎨

<⎩

，，，的定义域为R ，

所以它们不是同一函数.

(3)由于函数f(x)=x ·1x +的定义域为{x|x≥0}，而g(x)=

2x x +的定义域为{x|x≤-1或x≥0}，所以它们不是同一函数.

(4)两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.

【精要点评】 (1)分析有关函数定义的问题，一定要与映射相结合，由映射中原象与象的特点解决问题.(2)判断两个或几个函数是否为同一函数，主要从定义域、对应法则和值域这三方面进行判断.有时要对函数的解析式进行化简，然后进行分析.

求函数的解析式

例2 根据下列条件求各函数的解析式.

(1)已知f 21x

⎛⎫

+ ⎪

⎝⎭=lg x ，求f(x)； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)；

(3)已知f 1x x ⎛⎫+ ⎪

⎝

⎭=x 3+31x ，求f(x). 【思维引导】 求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造