大学物理恒定电流的磁场

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讨论
(1)注意 dB 的方向 —— 右手法则
例：
P
dB
P
dB
Idl
P
dB 0
dB
Idl
P
dB
Idl
Idl
P'
(2) 对任意一段有限电流，其产生的磁感应强度
Bz dBz (3) 原则上可求任意电流系统产生磁场的 B
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8.4.2 安培环路定理应用举例 例 求无限长圆柱面电流的磁场分布。 解 系统具有轴对称性，圆周上各点的 B 相同 P 点的磁感应强度沿圆周的切线方向
R
P
rR
LB cos dl B Ldl B2r 0 I
B
0 I
2r
r
I
(3) 一般情况
dFmax BIdl sin BIdl 2

dFmax
900
dF BIdl sin dFmax
B Idl
dF

dF Idl B 安培力公式
说明
(1) B 是描述磁场中各点的强弱和方向的物理量 (2) 一般情况， B B ( x, y , z )
3）磁力线不相交
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2.磁通量
dN B dS
d B dS
通过面元的磁场线条数 —— 通过该面元的磁通量 对于有限曲面
B dS
对于闭合曲面
规定 磁力线穿入
SB dS
dS
B
0 0
则磁场环流为
LB dl L Bi dl
k k L Bi dl 0 I i 0 0 I i ( L内） i 1 i 1
L
I k 1
LB dl 0 Ii
磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分, 等于路径 L 包围的 电流强度的代数和的 0 倍 -----安培环路定理
1
sin d
0 I
4a
(cos 1 cos 2 )
讨论
I
B
0 I
4a
2
(cos1 cos 2 )
(1) 无限长直导线
1 0
2
1
B
P
B
0 I
2a
方向：右螺旋法则
(2) 任意形状直导线
B1 0 0 I π B2 (cos cos π) 4a 2 0 I 4a
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讨论
(1)积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系
满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0
(2)磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
LB dl —— 不代表磁场力的功，仅是磁场与电流的关系
(3)环路上各点的磁场为所有电流的贡献 (4)安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想 的一段载流导线不成立
Idl 0 Idl sin dB k 2 sin 2 4 r r
0 4 10 7 N / A 2 (真空中的磁导率)
P
r

I
Idl
垂直 Idl 与 r 组成的平面 Idl 在 P 点产生的 dB 方向： 0 0 Idl r 毕－萨定律： dB 4 r 2
B'
c
i
B dl B dl B dl B dl B dl
ab bc cd da
B a dl B c dl 2 Bab 0 abi
b
d
B 0i / 2
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dl
若环路方向反向，情况如何？
L I
0 I LB dl L 2r rd 0 I
若环路中不包围电流的情况？
d r r'
B
B1
0 I
2r1
B2
0 I
dl
2r2
I
对一对线元来说
B1 dl B2 dl
B1dl cos 1 B2dl cos 2
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0 0 Idl r B dB 4 r 2
Bx dBx
By dBy
8.2.2.毕奥-萨伐尔定律应用举例 1.载流直导线的磁场 求距离载流直导线为a 处
解 dB
一点P 的磁感应强度 B 0 Idl sin
8.5 磁场对电流的作用
8.5.1. 磁场对载流导线的作用力 载流导体产生磁场 安培力 磁场对电流有作用 大小： dF IdlB sin
dF Idl B
方向： Idl B
任意形状载流导线在外磁场中受到的安培力
F dF Idl B
I
S
IN磁 F NI1 I S 场
I2
S F 磁体
磁场
F
N
•现象：
磁体
运动电荷
电流
电流
运动电荷
•本质：
磁场的性质 (1) 对运动电荷(或电流)有力的作用;
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(2) 磁场有能量
2. 磁感应强度 描述静电场 描述恒定磁场
实验结果确定 B (1) dF 0 Idl // B
4 r2
I
Idl
r
a P
B dB
0 Idl sin
4 r2
B
根据几何关系：
a r sin l acot acot
dl acsc d
2
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B

4a
0 I
2
8.4 安培环路定理
8.4.1.安培环路定理
以无限长载流直导线为例
I
L
B
L
2r
0 I
r
B dl B cosdl
P
L

L
2r
0 I
rd
I L
0 I
磁场的环流与环路中所包围的电流有关
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d B r r
R R cos 2 2 1/ 2 r (R x )
B 2( R x )
2
4 r
0 Idl
2
cos
B
0 IR 2
2 3/ 2
方向满足右手定则
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讨论
B
0 IR 2
2( R 2 x 2 )3 / 2
(1) x 0 载流圆线圈的圆心处
dq dl bd
dB1 4 b 2
dq
1

b
0 dq b
v
4
d
O

0
4

d
a
3
1 B1 d 0 0 4 4 0 a / (2 / ) 1 线段2： 同理 B2 0 2a 4
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8. 3 磁通量 磁场的高斯定理
8.3.1. 磁通量
1. 磁力线
(1) 规定： 1) 方向：磁力线切线方向为磁感应强度 B的方向
2) 大小：垂直 B的单位面积上穿过的磁力线条数为磁感 应强度B的大小
dN B dS
(2) 磁力线的特征: 1）无头无尾的闭合曲线 2）与电流相互套连，服从右手螺旋定则
L
rR
在系统内以轴为圆心做一圆周
B cos dl
L
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B Ldl B2r 0
B0
例 求螺绕环电流的磁场分布 解 在螺绕环内部做一个环路，可得
B cos dl B dl B 2r
L
L
0
NI
B 0 NI /( 2r )
定义：磁感应强度的方向
引入试验电荷q0 E F / q0 引入电流元模型 Idl
Idl
I
dF 0 dFmax dF 0
(2) 当 Idl B 时 dFmax Idl
dF dFmax
dFmax B Idl
定义：磁感应强度的大小
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0 I 2R B 2 R 4 R 2 0 NI 如果由N匝圆线圈组成 B I 2R
0 I
(2)一段圆弧在圆心处产生的磁场
B
(3) x R
0 I

2 R 2

4 R 2
0 IR


μ0 p m B 2π x 3
pm
0 IR 2 0 IS B 3 3 2x 2 x
dS
磁力线穿出
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8.3.2.磁场的高斯定理 磁场线都是闭合曲线
SB dS 0
磁场的高斯定理
dS1
dS2
电流产生的磁感应线既没有起始点，也没有终止点，即磁 场线即没有源头，也没有尾 — 磁场是无源场（涡旋场）
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pm ISn
（磁矩）
n
S
I
8.2.3.运动电荷的磁场
0 0 Idl r dB 4 r 2
P
Idl
r
dQ n Sdl q I nSqv dt dt 0 0 (nSqv )dl r dB 4 r2
电流元内总电荷数 dN nSdl
S
v
q
Idl + n
0 0 dN qv r dB 4 r2
一个运动电荷产生的磁场
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0 dB 0 qv r B dN 4 r 2
例 如图的导线，已知电荷线密度为，当绕O点以 转动时 求 O点的磁感应强度 解 线段1：
L
r2
0 Ir1d 0 Ir2d 2r1 2r2
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0
I
d
B2
B1
环路不包围电流，则磁场环流为零
dl2 r1
dl1
L
推广到一般情况
I1 ~ I k
—— 在环路 L 中
In I2 I1 Ii Ik
I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外
(3) 也可通过运动电荷在磁场中受力来确定
B Idl
F qv B
洛伦兹力公式
Leabharlann Baidu
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8.2 毕奥－萨伐尔定律
8.2.1.毕奥-萨伐尔定律 基本思路： I
Idl
?
dB dB
B dB
Idl 在 P点产生的 dB 大小：
0
2
线段3： dq dr
dB3 B3
4
b
0 dr r
r2

0
4r
dr
dq
1

0
a
b dr In 4r 4 a
b B4 In 4 a
0
v
4
d
b
线段4： 同理
0
O dB 3 a
2
v
b In 1 B B1 B2 B3 B4 (1 a ) 0 2
第8章 真空中恒定电流的磁场
本章内容：
8. 1 磁感应强度B 8. 2 毕奥－萨伐尔定律 8. 3 磁通量 磁场的高斯定理 8. 4 安培环路定理 8. 5 磁场对电流的作用 8. 6 带电粒子在电场和磁场中的运动
8.1 磁感应强度B
1. 磁现象 (3) 电流 电流 磁现象 (1) (2) 磁体 电流 电流 磁体 磁现象(4)
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2
P r B a
I
1
2.载流圆线圈的磁场
求轴线上一点P的磁感应强度
Idl
R 0
r
X P
dB
dB
Idl 2 4 r 4 ( R 2 x 2 )
0 Idl
0

X dB
I
根据对称性
B 0
B dBx dB cos
若螺绕环的截面很小， r
r
I
N B内 0 I 0 nI 2r
内部为均匀磁场 若在外部再做一个环路，可得
N
o
r
I
i
0
B外 0
螺绕环与无限长螺线管一样，磁场全部集中在管内部
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例 求“无限大平板” 电流的磁场 解 面对称
B
b
P
a
d
讨论 若磁场为匀强场 在匀强磁场中的闭合电流受力