第二章 第九节 函数与方程

一、选择题

1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )

A ．0,2

B ．0，12

C ．0，－12

D ．2，－12

解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，

所以零点为0和－12

. 答案：C

2．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )

A ．大于0

B ．小于0

C ．等于0

D ．无法确定

解析：因f (x )在(－2,2)有一个零点，不能说明f (－2)f (2)的符号；如f (x )＝x 2，更不能判断f (－1)·f (1)的值．

答案：D

3．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x

的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)

C ．(2，e)

D ．(3,4)

解析：∵f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，

∴零点在(1,2)内．

答案：B

4．(2012·大庆实验中学模拟)根据表格中的数据，可以断定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间是： x ＋2

1 2 3 4 5 x

－1 0 1 2 3 e x

0.37 1 2.72 7.39 20.09

A ．(－1,0)

B ．(1,2)

C ．(0,1)

D ．(2,3)

解析：f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，

故f (1)f (2)<0.

∴由零点定理知一个零点所在区间是(1,2)．

答案：B

5．(2011·陕西高考)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )

A ．没有根

B ．有且仅有一个根

C ．有且仅有两个根

D ．有无穷多个根

解析：求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转

化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问

题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅

有两个根．

答案：C

二、填空题

6．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且只有一个零点，则实数m 的值为________． 解析：由题知：方程4x ＋m ·2x ＋1＝0只有一个零点．

令2x ＝t (t >0)，

∴方程t 2＋m ·t ＋1＝0只有一个正根，

∴由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧

－m 2>0，Δ＝0，

∴m ＝－2. 答案：－2

7．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值的集合是________．

解析：当m ＝1时，f (x )＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点⎝⎛⎭⎫14，0.

当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0.

∴m 的取值的集合为{－3,0,1}．

答案：{－3,0,1}

三、解答题

8．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14

. 证明：存在x 0∈⎝⎛⎭

⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .

∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，

∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.

又函数g (x )在[0，12

]上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭

⎫0，12，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0. 9．若g (x )＝x ＋e 2x

(x >0)，g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围． 解：法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，

等号成立的条件是x ＝e ，

故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，

因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．

法二：作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图：

可知若使g (x )＝m 有零点，

则只需m ≥2e.

法三：由g (x )＝m 得x 2－mx ＋e 2＝0.

此方程有大于零的根且e 2>0，

故根据根与系数的关系得m >0，

故⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧

m >0，m ≥2e 或m ≤－2e ， 故m ≥2e.

10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，

①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解，

∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0，

又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32

. ②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则

⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0<－m －12<2，

f (2)≥0

∴⎩⎪⎨⎪⎧ (m －1)2－4≥0，－3

4＋(m －1)×2＋1≥0.