均匀设计与均匀设计表--方开泰

目录

序言 (2)

前言 (4)

第一章试验设计和均匀设计 (5)

1.1试验设计 (5)

1.2试验的因素和水平 (7)

1.3因素的主效应和因素间的交互效应 (10)

1.4全面试验和多次单因素试验 (15)

1.5正交试验法（正交设计） (18)

1.6均匀设计 (21)

1.7均匀设计表的使用 (25)

第二章回归分析简介及其在均匀设计中的应用 (28)

2.1一元线性回归模型 (28)

2.2多元线性回归模型 (33)

2.3二次型回归模型与变量筛选 (36)

2.4应用实例 (38)

2.5寻求最优工艺条件 (40)

第三章均匀设计表的构造和运用 (43)

3.1 均匀设计表的构造 (43)

3.2 均匀性准则和使用表的产生 (46)

3.4 均匀设计和正交设计的比较 (54)

第四章配方均匀设计 (59)

4.1 配方试验设计 (59)

4.2 配方均匀设计 (61)

4.3 有约束的配方均匀设计 (64)

4.4 均匀设计在系统工程中的应用 (67)

序言

在科学实验与工农业生产中，经常要做实验。如何安排实验，使实验次数尽量少，而又能达到好的试验效果呢？这是经常会碰到的问题。解决这个问题有一门专门的学问，叫做“试验设计”。试验设计得好，会事半功倍,反之就会事倍功半了。60年代，华罗庚教授在我国倡导与普及的“优选法”，即国外的斐波那契方法，与我国的数理统计学者在工业部门中普及的“正交设计”法都是试验设计方法。这些方法经普及后，已为广大技术人员与科学工作者掌握，取得一系列成就，产生了巨大的社会效益和经济效益。随着科学技术工作的深入发展，上述两种方法就显得不够了。“优选法”是单变量的最优调试法，即假定我们处理的实际问题中只有一个因素起作用，这种情况几乎是没有的。所以在使用时，只能抓“主要矛盾”，即突出一个因素，而将其他因素固定，这样来安排实验。因此“优选法”还不是一个很精确的近似方法。“正交设计”的基础是拉丁方理论与群论，可以用来安排多因素的试验，而且试验次数对各因素的各水平的所有组合数来说是大大地减少了，但对于某些工业试验与昂贵的科学实验来说，试验仍嫌太多，而无法安排。

1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰教授在几年前，曾为近似计算一个多重积分问题找过我，我向他介绍了多重数值积分的方法并取得了好结果，这就使他想到是否可能用数论方法于试验设计的问题，于是我们经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成效，我们的文章在80年代初发表后，15年来，均匀设计已在我国有较广泛的普及与使用，取得了一系列可喜的成绩。

均匀设计属于近30年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用，乌拉母（S.Ulam）与冯诺依曼(J.von Neumann)在40年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数的均匀性与独立性。

50年代末，有些数学家试图用确定性方法寻找空间中均匀散布的点集来代替蒙特卡罗方法中的随机数，已经找到的点集都是用数论方法找到的。按照外尔（H. Weyl）定义的测度来度量，它们的均匀性很好，但独立性差些，用这些点集来代替蒙特卡罗方法中的随机数，

往往会得到更精确的结果。这一方法称为伪蒙特卡罗方法或数论方法，数学家首先将这一方法成功地用于多重积分近似计算。从统计学的观点看，伪随机数就是一个均匀分布的样本。数值积分需要大样本，均匀设计则要找一些小样本。由于这个样本比正交设计所对应的样本要均匀，所以用它来安排实验会得到好的效果。当然在寻求小样本时，寻求大样本的方法是起了借鉴作用的。

均匀设计只是数论方法的一个应用，数论方法还有广泛应用的园地。例如多重插值公式的建立，某些积分与微分的近似求解，求函数整体极值，求某些多元分布的近似代表点，及用于统计推断的一些问题，如多元正态性检验及多元球性检验。

早在50年代末，外国刚开始研究为蒙特卡罗方法时，华罗庚就倡议并领导了这一方法在我国的研究，他的开拓性成果总结在我们的专著“数论在近似分析中的应用”（科学出版社，1978年；英文版：Springer-Verlag and Science Press,1981）中，这些工作是方开泰教授与我合作的工作重要的背景与参考材料之一。

我与方开泰教授合作了近20年，由于他既是一个数学家，又有长期在中国各工业部门普及应用数理统计的宝贵经验，所以他有很好的应用数学背景与洞察力。他能及时地提出有价值的研究问题及解决问题的可能途径，我们的合作既是愉快的，又是富于成效的，我们的成果总结在我们的专著”Number-Theroretic Methods in Statistics”（Chapman and Hall,1993,中文版在出版过程中）之中。

方开泰教授的这本书着重于应用及普及，但也包括了他的最新成果，书后的均匀设计表就是最近他用准确的偏差方法算出来的，比过去的结果有较大的改进，我相信本书的出版，对于在我国进一步普及与应用均匀设计将是很重要的，我愿借此机会预祝本书成功。

王元

1994年2月

前言

均匀设计是1978年王元教授和我共同提出的，10多年来，均匀设计在理论上有了不少新的发展，如各种均匀性度量的探讨，拉丁方均匀设计的提出将均匀设计用于配方设计而产生的配方均匀设计，特别地，最近我们又发现了一批奇数的均匀设计表，它们比原来的表均匀性有显著地改善，这些表和它们的均匀表都已收集在本书的附录中，由于实际的需要，利用拟水平的技术可以产生有混合水平的均匀设计表，本书也给出了不少这一类的设计表，并列出它们的均匀度，此外，本书给出了均匀设计和正交设计的比较。

本书是一本普及教材，目的是向广大科技工作者介绍均匀设计的原理，方法和应用，读者并不需要具备高深的数学和统计知识，中国数学会均匀设计学会已经研制了有关软件和教学录象带，方便使用者有效地使用均匀设计，特别是数据分析方面，该软件包含了丰富的内容，比本书的材料更为丰富，本书也可作为大学和研究生的教材和参考书。

本书共分四章，第一章介绍试验设计的重要性，正交设计和如何使用均匀设计来设计试验。第二章首先对回归分析作了简单的介绍，随后介绍均匀设计的数据分析，工艺条件的优化。第三章介绍均匀设计表的构造，使用表的构造，均匀度准则，以及正交设计和均匀设计的比较。第四章讨论配方设计，首先介绍文献中推荐的三种配方设计方法，然后给出配方均匀设计，有约束配方均匀设计，最后给出均匀设计在系统工程等方面的应用。

在编写这本讲义中，中国科学院院士王元教授给出了许多指导性意见，并为本书写了精彩的序言，没有华一王（华罗庚王元）当年开创性的工作，就不可能有均匀设计。

中国航天工业总公司三院张建舟高级工程师，东北制药总厂张承恩高级工程师，北京军事医学科学院张学中研究员给了我很多支持和帮助，中国科学院应用数学所我的学生李润泽和张金廷同志协助我整理和打印，在此表示衷心地感谢。

由于作者水平有限，加之本书是利用春节假期匆匆赶出来的，难免有错误或不恰当之处，欢迎读者批评指正。

方开泰

中国科学院应用数学研究所

香港浸会大学

1994年2月