(课标专用)天津市高考数学二轮复习题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题

（课标专用）天津市高考数学二轮复习题型练8大题专项（六）函数

与导数综合问题

题型练第62页

1.设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;

(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.

解:(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x,

所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e x+[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x=[ax2-(2a+1)x+2]e x(x∈R).

f'(1)=(1-a)e.

由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.

此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.

(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.

若a>,则当x∈时,f'(x)<0;

当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.

所以f(x)在x=2处取得极小值.

若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0,

所以f'(x)>0.

所以2不是f(x)的极小值点.

综上可知,a的取值范围是.

2.已知f(x)=ax-ln(-x),x∈[-e,0),其中e是自然对数的底数,a∈R.

(1)当a=-1时,证明:f(x)+.

(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.

(1)证明由题意可知,所证不等式为f(x)>,x∈[-e,0).

因为f'(x)=-1-=-,

所以当-e≤x<-1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减;

当-10,此时f(x)单调递增.

所以f(x)在区间[-e,0)内有唯一极小值f(-1)=1,

即f(x)在区间[-e,0)内的最小值为1;

令h(x)=,x∈[-e,0),

则h'(x)=,

当-e≤x<0时,h'(x)≤0,故h(x)在区间[-e,0)内单调递减,

所以h(x)max=h(-e)==1=f(x)min.

所以当a=-1时,f(x)+.

(2)解假设存在实数a,使f(x)=ax-ln(-x)的最小值为3,f'(x)=a-,x∈[-e,0).

①若a≥-,由于x∈[-e,0),则f'(x)=a-≥0,

所以函数f(x)=ax-ln(-x)在区间[-e,0)内是增函数,

所以f(x)min=f(-e)=-a e-1=3,

解得a=-<-,与a≥-矛盾,舍去.

②若a<-,则当-e≤x<时,f'(x)=a-<0,

此时f(x)=ax-ln(-x)是减函数,

当0,

此时f(x)=ax-ln(-x)是增函数,

所以f(x)min=f=1-ln=3,解得a=-e2.

综上①②知,存在实数a=-e2,使f(x)的最小值为3.

3.已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)试讨论f(x)的单调性;

(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪,求c的值.

解:(1)f'(x)=3x2+2ax,

令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-.

当a=0时,因为f'(x)=3x2>0(x≠0),

所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;

当a>0时,x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0,x∈时,f'(x)<0,

所以函数f(x)在区间,(0,+∞)内单调递增,在区间内单调递减;

当a<0时,x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0,x∈时,f'(x)<0,

所以函数f(x)在区间(-∞,0),内单调递增,在区间内单调递减.

(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f a3+b,

则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f=b<0,从而

又b=c-a,所以当a>0时,a3-a+c>0或当a<0时,a3-a+c<0.

设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪

,

则在(-∞,-3)内g(a)<0,且在内g(a)>0均恒成立,从而g(-3)=c-1≤0,且

g=c-1≥0,因此c=1.

此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],

因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,

解得a∈(-∞,-3)∪.

综上c=1.

4.(2019全国Ⅱ,理20)已知函数f(x)=ln x-.

(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;

(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=e x的切线. (1)解f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).

因为f'(x)=>0,所以f(x)在区间(0,1),(1,+∞)内单调递增.

因为f(e)=1-<0,f(e2)=2->0,

所以f(x)在区间(1,+∞)内有唯一零点x1,即f(x1)=0.

又0<<1,f=-ln x1+=-f(x1)=0,

故f(x)在区间(0,1)内有唯一零点.

综上,f(x)有且仅有两个零点.

(2)证明因为,故点B-ln x0,在曲线y=e x上.

由题设知f(x0)=0,即ln x0=,

故直线AB的斜率k=.

曲线y=e x在点B-ln x0,处切线的斜率是,曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是,所以曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=e x的切线.

5.(2019山东烟台一模)已知函数f(x)=e x-2ax+3a2e-x(a∈R),其中e=2.718 28…为自然对数的底数.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当x∈(0,+∞)时,e x(x-a)+3a2e-x-x2-a2+10>f(x)恒成立,求a的取值范围.