三角恒等变换公式大全(完整资料).doc

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三角函数
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）
二倍角
sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]
cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]
tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]
三倍角
sin3α=3sinα-4sin^3（α）
cos3α=4cos^3（α）-3cosα
tan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））
sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）
cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)
tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）
半角公式
sin^2（α/2）=（1-cosα）/2
cos^2（α/2）=（1+cosα）/2
tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
半角变形
sin^2（α/2）=（1-cosα）/2
sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限
=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限
cos^2（α/2）=（1+cosα）/2
cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限
=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限
tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限
=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限
恒等变形
tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)
tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)
asin x+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√
（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a
万能代换
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]
cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]
积和化差
sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]
cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]
sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）
和差化积
sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
内角公式
sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）
cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot （C/2）
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
证明方法
首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin
（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。

利用正弦和余弦的定义及周期性，可证明该公式对任意角成立。

于是有cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin （90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB
由此易得以上全部公式。