初中数学竞赛讲座——数论部分9(费马小定理)

第9讲费尔马小定理
一、基础知识：
法国数学家费尔马在1640年提出了一个有关整数幂余数的定理，在解决许多关于某
个整数幂除以某个整数的余数问题时非常方便有用，在介绍这个定理之前，我们先来看一
些具体的同余式，请同学们注意观察，发现这些同余式符合什么规律．
3≡１（mod 2），5≡１（mod 2），7≡１（mod 2）…
22≡１（mod 3），42≡１（mod 3），52≡１（mod 3）…
24≡１（mod 5），34≡１（mod 5），44≡１（mod 5）…
26≡（23）2≡１（mod 7），36≡（33）2≡１（mod 7），46≡（43）2≡１（mod 7）…
这些同余式都符合同一个规律，这个规律就是费尔马小定理．
费尔马小定理：如果p是质数，（a，p）=1，那么a p－1≡１（mod p）
与费马小定理相关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内
容为：当且仅当2p-1≡1(m od p)，p是一个质数。

假如p是一个质数的话，则2p-1≡1(m od p)成立（这是费马小定理的一个特殊情
况）是对的。

但反过来，假如2p-1≡1(m od p)成立那么p是一个质数是不成立的（比
如341符合上述条件但不是一个质数）。

如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为
“伪质数”。

对于中国猜测稍作改动，即得到判断一个数是否为质数的一个方法：
如果对于任意满足 1 < b< p的b下式都成立：b p-1≡1(m od p)，则p必定是一个质数。

实际上，没有必要测试所有的小于p的自然数，只要测试所有的小于p的质数就可以了。

这个算法的缺点是它非常慢，运算率高；但是它很适合在计算机上面运行程序
进行验算一个数是否是质数。

（一）准备知识：
引理1．若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时，有a≡b(mod m)
证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(m od m)可得a≡b(mod m)
引理2．若m为整数且m>1,a1,a2,a3,a4,…a m为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。

证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然是这些整数中的
1个对模m同余。

取r1=0,r2=1,r3=2,r4=3,…r i=i-1,1<i≤m。

令(1)：a 1≡r 1(mod m),a 2≡r 2(mod m), …a m ≡r m (mod m)(顺序可以不同
),因为只有在这种情况下才能保证集合
{a 1,a 2,a 3,a 4,…a m }中的任意2个数不同余，否则必然有2个数同余。

由式(1)自然得到集合{a 1,a 2,a 3,a 4,…a m }对m 构成完全剩余系。

引理3．设m 是一个整数，且m>1，b 是一个整数且(m,b)=1。

如果a 1,a 2,a 3,a 4,…
a m 是模m 的一个完全剩余系，则
ba 1,ba 2,ba 3,ba 4,…ba m 也构成模m 的一个完全剩余系。

证明：若存在
2个整数ba i 和ba j 同余即ba i ≡ba j (mod m)，根据引理
1则有a i ≡a j (mod m)。

根据完全剩余系的定义可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba i 和ba j 同余。

由引理
2可知ba 1,ba 2,ba 3,ba 4,…ba m 构成模m 的一个完全剩余系。

引理4．如果a,b,c,d 是四个整数，且a ≡b(mod m),c ≡d(mod m),则有ac ≡bd(mod m)
证明：由题设得
ac ≡bc(mod m),bc ≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac ≡bc(m od m)
（二）证明过程：
构造素数p 的完全剩余系P={1,2,3,4…（p-1)}，因为(a,p)=1，由引理3可得A ={a,
2a,3a,4a,…（p-1)a}也是p 的一个完全剩余系。

令W=1*2*3*4…*(p-1)，显然W ≡W(mo
d p)。

令Y=a*2a*3a*4a*…（p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…（p-1)a}是p 的完全剩余系，
由引理2以及引理
4可得a*2a*3a*…（p-1)a ≡1*2*3*…（p-1)(mod p)即W*a p -1≡W(mod p)。

易知(W,p)=1，由引理1可知a
p-1≡1(m od p ）二、典型例题：例1 设n 为正整数.证明：
373n n 的充要条件是1373n n . 证明若3
37n n ，则
7|n ，
于是，由Fermat 小定理，知),
7(mod 16n 从而，由
337n n ，知
33)3(7n n n ，故
.1373n n 反过来，若
,1373n n 则
7|n ，并且
337(31)n n n ，即6373n n n ，。