(完整版)圆的基本性质复习课
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定义2：圆是到定点的距离等于定长的点 的集合
垂径定理
过圆心的直线
垂直于弦
平分弦
平分弦所对的优弧
平分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所对的劣弧
知二推三（垂径定理的推广）
※过圆心的直线垂直于这条弦，则该直线平分这条弦 并且平分弦所对的优弧和劣弧 ※过圆心的直线平分弦，则该直线垂直于这条弦，平 分弦所对的两条弧 ※过圆心的直线平分弦所对的优弧，则该直线垂直平 分这条弦，平分弦所对的劣弧 ※过圆心的直线平分弦所对的劣弧，则该直线垂直平 分这条弦，平分弦所对的优弧
圆的基本性质
(1)圆周角定理能有效地把圆心角与圆周角联系起来，即同 弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；(2)圆中任意两条半 径和弦组成的三角形都是等腰三角形．（3）在圆上，如果有直 径，则直径所对的圆周角是直角；
圆的基本性质
变式题
如图10，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D＝36°，则∠BAD 的度数是( B )
CD 是弦，AB⊥CD，垂足为 E，连接 OD，CB，AC，如果∠DOB＝60
°，EB＝2，那么 CD 的长为( D )
A. 3
B．2 3
C．3 3 D．4 3
图8
圆的基本性质
探究二 圆心角、圆周角的相关计算
例2 如图9所示，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD＝ 70°，AO∥DC，则∠B的度数为( D )
圆的基本性质 考点3 圆周角定理 1．如图5，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝140°，则∠BAC
等于( B ) A．60° B．70° C．120° D．140°
图5
圆的基本性质 2．如图21－6，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC
等于( B ) A．35° B．55° C．70° D．110°
①CE＝DE；②BE＝OE；③C︵B＝B︵D； ④A︵C＝A︵D.
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
图1
圆的基本性质
2．如图 21－2，在⊙O 中，OC⊥弦 AB 于点 C，AB＝4，OC＝1， 则 OB 的长是( B )
A. 3 B. 5 C. 15 D. 17
图2
圆的基本性质 考点2 知一得三
在 Rt△AOC 中，∵AC＝4，OC＝r－2，
又∵OA2＝AC2＋OC2， 即 r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5， ∴AE＝2r＝10. 连接 BE，∵AE 是⊙O 的直径，
圆的基本性质 ∴∠ABE＝90°. 在 Rt△ABE 中， ∵AE＝10，AB＝8， ∴BE＝ AE2－AB2＝ 102－82＝6. 在 Rt△BCE 中，∵BE＝6，BC＝4， ∴CE＝ BE2＋BC2＝ 62＋42＝2 13.故选 D.
中考预测练习
1、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部
分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.4米 B．0.5米
C．0.8米
D．1米
A FE B
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
圆的基本性质
[解析] 如图所示，连接 OC，先求出∠AOC 的度数，再利用同 弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解．
∵AO∥DC，∴∠D＝∠AOD＝70°. ∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠D＝70°， ∴∠DOC＝40°，∴∠AOC＝110°，
∴∠B＝12∠AOC＝55°.故选 D.
A．72°
B．54°
C．45°
D．36°
图10
圆的基本性质
如图11所示，⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延 长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为 ( D)
A．2 5 B．8 C．2 10 D．2 13
图11
圆的基本性质
[解析] ∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8， ∴AC＝12AB＝4. 设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r－2，
1．已知：如图 21－3，AB 是⊙O 的直径，C，D 是B︵E上的三等
分点，∠AOE＝60°，则∠COE 等于( C ) A．40° B．60° C．80° D．120°
3
圆的基本性质 2．如图 21－4，在⊙O 中，AB＝BC，且A︵B∶A︵C＝3∶4，则∠AOC
＝_1_4_4_°____．
图4
……
共计十个定理
知一得三： 等对等定理
圆心角
弧
弦
弦心距
在同圆或等圆中相互对应的
圆周角
圆周角 定义 圆周角 定理 推论1
推论2
推论3
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角
一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的 _一__半_____
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 __相__等____相等的圆周角所对的弧_相__等___
半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角__；90° 的圆周角所对的弦是__直__径__
如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是__直__角____三角形
圆的基本性质
考点聚焦
考点1 知二推三
1．如图 21－1，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，则下列
结论一定正确的有( B )
6
圆的基本性质
中考探究
探究一 利用垂径定理计算 例1 如图7所示，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2， DE＝8，则AB的长为( D ) A．2 B．4 C．6 D．8
图7
圆的基本性质
[解析] 由CE＝2，DE＝8，求出⊙O的直径和半径，进而求
出OE的长度．在Rt△OEB中，根据勾股定理求出BE的长度，然后
圆的基本性质中考复习课
大通第二完全中学
知识体系
概 念
圆
基本性质
对 称 性
知知 二一 推得 三三
圆周角与 圆心角的 关系
圆 周 角 定 理
圆的定义（运动观点）
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的封闭图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半 径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作 “圆O”
根据垂径定理求出AB的长度．
圆的基本性质
在垂径定理的运用中，涉及弦长a、弦心距d、半径r及弓形 高h，在这四个量中，知道任意两个量便可求出另外两个量．利 用垂径定理进行证明或计算，通常是在由半径、弦心距和弦的 一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知 线段的长．
圆的基本性质
变式题 [2013·南昌模拟] 如图 21－8，AB 是⊙O 的直径，
垂径定理
过圆心的直线
垂直于弦
平分弦
平分弦所对的优弧
平分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所对的劣弧
知二推三（垂径定理的推广）
※过圆心的直线垂直于这条弦，则该直线平分这条弦 并且平分弦所对的优弧和劣弧 ※过圆心的直线平分弦，则该直线垂直于这条弦，平 分弦所对的两条弧 ※过圆心的直线平分弦所对的优弧，则该直线垂直平 分这条弦，平分弦所对的劣弧 ※过圆心的直线平分弦所对的劣弧，则该直线垂直平 分这条弦，平分弦所对的优弧
圆的基本性质
(1)圆周角定理能有效地把圆心角与圆周角联系起来，即同 弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；(2)圆中任意两条半 径和弦组成的三角形都是等腰三角形．（3）在圆上，如果有直 径，则直径所对的圆周角是直角；
圆的基本性质
变式题
如图10，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D＝36°，则∠BAD 的度数是( B )
CD 是弦，AB⊥CD，垂足为 E，连接 OD，CB，AC，如果∠DOB＝60
°，EB＝2，那么 CD 的长为( D )
A. 3
B．2 3
C．3 3 D．4 3
图8
圆的基本性质
探究二 圆心角、圆周角的相关计算
例2 如图9所示，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD＝ 70°，AO∥DC，则∠B的度数为( D )
圆的基本性质 考点3 圆周角定理 1．如图5，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝140°，则∠BAC
等于( B ) A．60° B．70° C．120° D．140°
图5
圆的基本性质 2．如图21－6，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC
等于( B ) A．35° B．55° C．70° D．110°
①CE＝DE；②BE＝OE；③C︵B＝B︵D； ④A︵C＝A︵D.
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
图1
圆的基本性质
2．如图 21－2，在⊙O 中，OC⊥弦 AB 于点 C，AB＝4，OC＝1， 则 OB 的长是( B )
A. 3 B. 5 C. 15 D. 17
图2
圆的基本性质 考点2 知一得三
在 Rt△AOC 中，∵AC＝4，OC＝r－2，
又∵OA2＝AC2＋OC2， 即 r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5， ∴AE＝2r＝10. 连接 BE，∵AE 是⊙O 的直径，
圆的基本性质 ∴∠ABE＝90°. 在 Rt△ABE 中， ∵AE＝10，AB＝8， ∴BE＝ AE2－AB2＝ 102－82＝6. 在 Rt△BCE 中，∵BE＝6，BC＝4， ∴CE＝ BE2＋BC2＝ 62＋42＝2 13.故选 D.
中考预测练习
1、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部
分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.4米 B．0.5米
C．0.8米
D．1米
A FE B
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
圆的基本性质
[解析] 如图所示，连接 OC，先求出∠AOC 的度数，再利用同 弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解．
∵AO∥DC，∴∠D＝∠AOD＝70°. ∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠D＝70°， ∴∠DOC＝40°，∴∠AOC＝110°，
∴∠B＝12∠AOC＝55°.故选 D.
A．72°
B．54°
C．45°
D．36°
图10
圆的基本性质
如图11所示，⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延 长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为 ( D)
A．2 5 B．8 C．2 10 D．2 13
图11
圆的基本性质
[解析] ∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8， ∴AC＝12AB＝4. 设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r－2，
1．已知：如图 21－3，AB 是⊙O 的直径，C，D 是B︵E上的三等
分点，∠AOE＝60°，则∠COE 等于( C ) A．40° B．60° C．80° D．120°
3
圆的基本性质 2．如图 21－4，在⊙O 中，AB＝BC，且A︵B∶A︵C＝3∶4，则∠AOC
＝_1_4_4_°____．
图4
……
共计十个定理
知一得三： 等对等定理
圆心角
弧
弦
弦心距
在同圆或等圆中相互对应的
圆周角
圆周角 定义 圆周角 定理 推论1
推论2
推论3
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角
一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的 _一__半_____
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 __相__等____相等的圆周角所对的弧_相__等___
半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角__；90° 的圆周角所对的弦是__直__径__
如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是__直__角____三角形
圆的基本性质
考点聚焦
考点1 知二推三
1．如图 21－1，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，则下列
结论一定正确的有( B )
6
圆的基本性质
中考探究
探究一 利用垂径定理计算 例1 如图7所示，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2， DE＝8，则AB的长为( D ) A．2 B．4 C．6 D．8
图7
圆的基本性质
[解析] 由CE＝2，DE＝8，求出⊙O的直径和半径，进而求
出OE的长度．在Rt△OEB中，根据勾股定理求出BE的长度，然后
圆的基本性质中考复习课
大通第二完全中学
知识体系
概 念
圆
基本性质
对 称 性
知知 二一 推得 三三
圆周角与 圆心角的 关系
圆 周 角 定 理
圆的定义（运动观点）
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的封闭图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半 径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作 “圆O”
根据垂径定理求出AB的长度．
圆的基本性质
在垂径定理的运用中，涉及弦长a、弦心距d、半径r及弓形 高h，在这四个量中，知道任意两个量便可求出另外两个量．利 用垂径定理进行证明或计算，通常是在由半径、弦心距和弦的 一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知 线段的长．
圆的基本性质
变式题 [2013·南昌模拟] 如图 21－8，AB 是⊙O 的直径，