(完整版)指数函数与对数函数知识点总结

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指数函数与对数函数知识点总结

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次

方根，其中n >1，且n ∈N *

．当n 是奇数时，

a a n

n =，当n 是偶数时，

⎩⎨

⎧<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n

n 2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m )1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

3．实数指数幂的运算性质

（1）r a ·s

r r a a += ),,0(R s r a ∈>；

（2）rs

s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；

（3）s

r r a

a a

b =)(

),,0(R s r a ∈>．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． a>1 0

定义域

值域

在R 上单调递在R 上单调递函数图象都过定点

函数图象都过定点

二、对数函数（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，

记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○

2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化

幂值真数

b a ＝ N ⇔log a N ＝ b

底数

（二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○

1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N

M

a log M a log －N a log ； ○

3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；

0>b ）

．利用换底公式推导下面的结论

（1）b m

n

b a n a m log log =；

（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○

1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5

log 5x y = 都不是对数函

数，而只能称其为对数型函数．

○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． a>1 0

定义域

定义域值域为值域为在R 上递在R 上递函数图象都过定点

函数图象都过定点

1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5

1a = （2）3

2

a

-

=

2、用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）3

4

y x = （2）)0(2>=m m

m

3、求下列各式的值

（1）2

325= （2）3

2

254- ⎛⎫

⎪

⎝⎭

=

4、解下列方程

（1）13

1

8

x

-

= （2）151243

=-x 指数函数

1、函数)1,0(1

2≠>=-a a a

y x 的图象必过定点。

2、如果指数函数x

a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是（）A 、2a C 、21<

3、下列关系中，正确的是（）

A 、51

31)21()21(> B 、2.01.022> C 、2

.01.022--> D 、115311()()22

x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为，最小值为。函数x

x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为，最小值为。

6、函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的图象与x

y -⎪⎭

⎫

⎝⎛=31的图象关于对称。

7、已知函数)1,0(≠>=a a a y x

在[]2,1上的最大值比最小值多2，求a 的