电磁感应习题课
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0 I 0 l0 l ln (l 2 sin t v cos t） 2 lo0
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
4、均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内， 方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯 形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。 设 磁 场 以 dB/dt=1T/s 的 匀 速 率 增 加 ， 已 知 =/3 ， oa=ob=6cm,求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
ab
(v B ) dl
b
2）感生电动势： i
B E 涡 dl dS t
a
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
3) 自感与互感
dI L L L dt I dI 2 12 M b.互感电动势： 12 M dt I1
L
I r0
o
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
解：
(v B ) dl
a o
r0 L cos
r0
0 I l dl 2x
dx dl cos
其中：x r0 l cos
r0 L cos
r0
0 I x r0 dx ( ) 2x cos cos
l 0 l 0 I 0 cos t l0 l d 0 I 0 sin t （t ) vt ln v ln dt 2 lo0 2 lo0
0 I 0 l0 l ln (vt sin t v cos t） 2 lo0
l2 d、计算 t= 时刻的电动势 v
a I2 I1 I O v r1 r2 c
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
r1 r2 4 Rr ( 3 )ar0 r1 r2 9
3vB I 4 R ( 3 )r0 9
bc
I 1 r1 I 2 r2 I1 : I 2 1 : 2
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
7、有一弯成 角的金属架CoD放在磁场中，磁感强度的方向垂直 于金属架CoD所在平面(方向如图所示）．一导体杆MN垂直于oD 边，并在金属架上以恒定速度v 向右滑动，速度与MN垂直．设t =0 时，x = 0．求下列两情形，框架内t 时刻的感应电动势i。 (1) 磁场分布均匀，且不随时间改变． (2) 非均匀的时变磁场． （K,为常数）
L2 ' I
1
2
3
4
1
2
3
4
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 9、一个半径为a的小圆环，绕着过一条直径的固定轴线 作匀速转动，角速度为。另有一个半径为b的大圆环 (b>>a) ，固定不动，其中通有。不变的电流I。小环与大 环有共同的圆心。t=0时二环共面。小圆环的电阻为R， 自感可以不计。试求:大圆环中的感生电动势。
b
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 解:
i Blv cos
Blv Ii cos R R
i
F Ii Bl cos Blv cos Bl cos R
Bl v cos dv mg sin Bl cos m R dt
dv dt B 2 l 2v cos2 g sin mR
电动势的方向从a
b
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 2、半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为B的均匀 磁场中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗 细的金属直线放在金属环上，当直导线以v在圆环上向 右运动到离环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处 产生的磁感应强度。（设金属单位长度的电阻为r0） b c v
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
A g sin
c B 2l 2 cos2 /(mR)
d t d v /( A cv )
dt
0 0
t
v
dv 1 d( A cv ) A cv c A cv 0
1 A cv t ln c A
v
A (1 e ct ) mgR sin (1 e ct ) v c B 2l 2 cos 2
0 I1 2 0 I1 B1 3 2R 3a 0 I 2 1 0 I 2 B2 3 2R 6a
二者大小相等，方 向相反，互相抵消
3 0 I 2a
0 I B0 (cos 1 cos 2 ) 4r
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
3、如图所示，长直导线中电流为I，矩形线圈abcd与长 直导线共面，且ab//dc，dc边固定，ab边沿da及cb以速 度v无摩擦地匀速平动。t=0时，ab边与cd边重合。设线 圈自感忽略不计。（1）如I=I0，求ab中的感应电动势。 （2）如I=I0cost，求ab边运动到图示位置线圈中的总 感应电动势。
d m dt
dI L dt
M
21
L I
12 21 I2 I1
m
1 BH 2
Wm
m
dV
Wm
S EH
V D jD t
1 LI 2 2
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
四、典型例题：
1、求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方 向的定轴转动时的感应电动势。已知杆相对于均匀磁场 B的方位角为，杆的角速度为 ，转向如图所示。
0 I (t ) （t ) vtdx l0 2x 0 I (t ) l0 l vt ln 2 lo0
l0 l
v a I d b l2 c l
0 I 0 cos t l0 l （t ) vt ln 2 lo0
o
l0
x
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 c、计算 t 时刻的电动势
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 5．磁场的能量及能量密度： a.能量密度:
m
1 BH 2
1 m dV BH dV 2 V V
B dS 0
s
b.磁场能量： W m 6.麦克斯韦方程组：
D ds q 0
s
E dl t B dS L s
B Kx cos t
M
B
C v
o N D x
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 解：（1）由法拉第电磁感应定律： 1 B xy y tg x x vt 2
1 d 1 2 B tg 2 x d x /d t B tg v 2 t i d /d t ( B tg x ) 2 dt 2
a
O
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
解：由 (v B ) dl 得
b a
bc
(v B ) dl
c b
3vBa
方向：c b
b
利用几何关系
r
3ar0
4 r1 ar0 3 2 r2 ar0 3
c
B b o a R d
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
解：
d dt
B ds Bs abmn
s abmn
dB 3.68mV dt
c
电动势的方向为逆时针
B b m o a n R d
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
5、一无限长竖直导线上通有稳定电流I，电流方向向上。 导线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端o在 该平面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为 ，o点 到导线的垂直距离为r0 (r0>L)。试求金属棒转到与水平面 成角时，棒内感应电动势的大小和方向。
1
2
3
4
1
2
3
4
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 解：2.3连接, 1 2 12 21 L1 I L2 I MI MI L1 ' I L1 ' L1 L2 2 M (1)
1.4连接, 1 2 12 21 L1 I L2 I MI MI L2 ' L1 L2 2 M ( 2) L! L2 联接（１），（２）方 程得：M 0.15H 4
0 IL 0 Ir0 ro L cos ln 2 2 cos 2 cos r0
a
I
O’
x
o
l
dl L
r0
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 6.有一很长的长方的U形导轨，与水平面成角，裸导线 ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度为B 竖直向上的均匀磁场中，如图所示．设导线ab的质量为 m，电阻为R，长度为l，导轨的电阻略去不计，abcd形 成电路，t =0时，v =0. 试求：导线ab下滑的速度v与时 间t的函数关系． B d c a l
B
L
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 解： 1.规定导线的正方向ab 2.选坐标 3.找微元dl 4.确定微元处v 和B 5.积分求解
ab
L (v B ) dl vBdl sin
b 0 L 0
l
B
b
(v B )
v
a
(o)
1 l sin dl sin BL2 sin 2 2 0
a.自感电动势：
4）电磁场能量
a.能量密度:
m
1 BH 2
1 m dV BH dV 2 V V
b.磁场能量： W m
பைடு நூலகம்
5）其它物理量的计算
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
i
d m dt
D ds qi 0
s i
定律
楞次定律 麦氏方程组
H dl I 0 t D dS L s
7．玻印廷矢量： S E H
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 二、基本定律
d m 1.法拉第电磁感应定律： dt
负号表明方向
2．楞次定律：（略）
三、基本运算： 1）动生电动势：
电 磁 感 应
其它计算
AB
电动势
L
s (v B ) dl
B A
B ds 0
i
dI 1 M dt
B E dl ds t L s D H dl I 0 ds t L s
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 一、基本概念
dI 1.电流密度矢量 ： j n ds
2.电动势：
E K dl
B 3.涡旋电场： L E k dl s ds t D ds 4.位移电流： I 0 s t D 5.位移电流密度： j D t
y
B
M
o
l x
N
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
（2）由法拉第电磁感应定律：
dΦ B d S B d
tg
d B tg d K 2 cos t tg d
1 3 d K cos t tg d Kx cos t tg 3 0
2 x
i
dΦ dt
1 K x 3 sin t tg Kx 2v cos t tg 3
3
1 3 Kv tg ( t sin t t 2 cos t ) 3
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 8、两个线圈顺接，如图（a），1、4 间的总自感为 1.0H 。 在它们的形状和位置都不变的情况下,如图 （b）那样反接后1、3之间的总自感为0.4H.求两线圈 之间的互感系数.
v a I l0 d b l2 c
l
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
1 解：（） ab
l0 l 0 I 0 0 I 0v l0 l (v B ) dl v dx ln 2x 2 l0 a l b
0
(2)
a、规定正方向abcda
b、计算 t 时刻的磁通量
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
4、均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内， 方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯 形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。 设 磁 场 以 dB/dt=1T/s 的 匀 速 率 增 加 ， 已 知 =/3 ， oa=ob=6cm,求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
ab
(v B ) dl
b
2）感生电动势： i
B E 涡 dl dS t
a
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
3) 自感与互感
dI L L L dt I dI 2 12 M b.互感电动势： 12 M dt I1
L
I r0
o
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
解：
(v B ) dl
a o
r0 L cos
r0
0 I l dl 2x
dx dl cos
其中：x r0 l cos
r0 L cos
r0
0 I x r0 dx ( ) 2x cos cos
l 0 l 0 I 0 cos t l0 l d 0 I 0 sin t （t ) vt ln v ln dt 2 lo0 2 lo0
0 I 0 l0 l ln (vt sin t v cos t） 2 lo0
l2 d、计算 t= 时刻的电动势 v
a I2 I1 I O v r1 r2 c
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
r1 r2 4 Rr ( 3 )ar0 r1 r2 9
3vB I 4 R ( 3 )r0 9
bc
I 1 r1 I 2 r2 I1 : I 2 1 : 2
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
7、有一弯成 角的金属架CoD放在磁场中，磁感强度的方向垂直 于金属架CoD所在平面(方向如图所示）．一导体杆MN垂直于oD 边，并在金属架上以恒定速度v 向右滑动，速度与MN垂直．设t =0 时，x = 0．求下列两情形，框架内t 时刻的感应电动势i。 (1) 磁场分布均匀，且不随时间改变． (2) 非均匀的时变磁场． （K,为常数）
L2 ' I
1
2
3
4
1
2
3
4
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 9、一个半径为a的小圆环，绕着过一条直径的固定轴线 作匀速转动，角速度为。另有一个半径为b的大圆环 (b>>a) ，固定不动，其中通有。不变的电流I。小环与大 环有共同的圆心。t=0时二环共面。小圆环的电阻为R， 自感可以不计。试求:大圆环中的感生电动势。
b
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 解:
i Blv cos
Blv Ii cos R R
i
F Ii Bl cos Blv cos Bl cos R
Bl v cos dv mg sin Bl cos m R dt
dv dt B 2 l 2v cos2 g sin mR
电动势的方向从a
b
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 2、半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为B的均匀 磁场中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗 细的金属直线放在金属环上，当直导线以v在圆环上向 右运动到离环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处 产生的磁感应强度。（设金属单位长度的电阻为r0） b c v
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
A g sin
c B 2l 2 cos2 /(mR)
d t d v /( A cv )
dt
0 0
t
v
dv 1 d( A cv ) A cv c A cv 0
1 A cv t ln c A
v
A (1 e ct ) mgR sin (1 e ct ) v c B 2l 2 cos 2
0 I1 2 0 I1 B1 3 2R 3a 0 I 2 1 0 I 2 B2 3 2R 6a
二者大小相等，方 向相反，互相抵消
3 0 I 2a
0 I B0 (cos 1 cos 2 ) 4r
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
3、如图所示，长直导线中电流为I，矩形线圈abcd与长 直导线共面，且ab//dc，dc边固定，ab边沿da及cb以速 度v无摩擦地匀速平动。t=0时，ab边与cd边重合。设线 圈自感忽略不计。（1）如I=I0，求ab中的感应电动势。 （2）如I=I0cost，求ab边运动到图示位置线圈中的总 感应电动势。
d m dt
dI L dt
M
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L I
12 21 I2 I1
m
1 BH 2
Wm
m
dV
Wm
S EH
V D jD t
1 LI 2 2
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
四、典型例题：
1、求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方 向的定轴转动时的感应电动势。已知杆相对于均匀磁场 B的方位角为，杆的角速度为 ，转向如图所示。
0 I (t ) （t ) vtdx l0 2x 0 I (t ) l0 l vt ln 2 lo0
l0 l
v a I d b l2 c l
0 I 0 cos t l0 l （t ) vt ln 2 lo0
o
l0
x
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 c、计算 t 时刻的电动势
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 5．磁场的能量及能量密度： a.能量密度:
m
1 BH 2
1 m dV BH dV 2 V V
B dS 0
s
b.磁场能量： W m 6.麦克斯韦方程组：
D ds q 0
s
E dl t B dS L s
B Kx cos t
M
B
C v
o N D x
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 解：（1）由法拉第电磁感应定律： 1 B xy y tg x x vt 2
1 d 1 2 B tg 2 x d x /d t B tg v 2 t i d /d t ( B tg x ) 2 dt 2
a
O
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
解：由 (v B ) dl 得
b a
bc
(v B ) dl
c b
3vBa
方向：c b
b
利用几何关系
r
3ar0
4 r1 ar0 3 2 r2 ar0 3
c
B b o a R d
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
解：
d dt
B ds Bs abmn
s abmn
dB 3.68mV dt
c
电动势的方向为逆时针
B b m o a n R d
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
5、一无限长竖直导线上通有稳定电流I，电流方向向上。 导线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端o在 该平面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为 ，o点 到导线的垂直距离为r0 (r0>L)。试求金属棒转到与水平面 成角时，棒内感应电动势的大小和方向。
1
2
3
4
1
2
3
4
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 解：2.3连接, 1 2 12 21 L1 I L2 I MI MI L1 ' I L1 ' L1 L2 2 M (1)
1.4连接, 1 2 12 21 L1 I L2 I MI MI L2 ' L1 L2 2 M ( 2) L! L2 联接（１），（２）方 程得：M 0.15H 4
0 IL 0 Ir0 ro L cos ln 2 2 cos 2 cos r0
a
I
O’
x
o
l
dl L
r0
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 6.有一很长的长方的U形导轨，与水平面成角，裸导线 ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度为B 竖直向上的均匀磁场中，如图所示．设导线ab的质量为 m，电阻为R，长度为l，导轨的电阻略去不计，abcd形 成电路，t =0时，v =0. 试求：导线ab下滑的速度v与时 间t的函数关系． B d c a l
B
L
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 解： 1.规定导线的正方向ab 2.选坐标 3.找微元dl 4.确定微元处v 和B 5.积分求解
ab
L (v B ) dl vBdl sin
b 0 L 0
l
B
b
(v B )
v
a
(o)
1 l sin dl sin BL2 sin 2 2 0
a.自感电动势：
4）电磁场能量
a.能量密度:
m
1 BH 2
1 m dV BH dV 2 V V
b.磁场能量： W m
பைடு நூலகம்
5）其它物理量的计算
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
i
d m dt
D ds qi 0
s i
定律
楞次定律 麦氏方程组
H dl I 0 t D dS L s
7．玻印廷矢量： S E H
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 二、基本定律
d m 1.法拉第电磁感应定律： dt
负号表明方向
2．楞次定律：（略）
三、基本运算： 1）动生电动势：
电 磁 感 应
其它计算
AB
电动势
L
s (v B ) dl
B A
B ds 0
i
dI 1 M dt
B E dl ds t L s D H dl I 0 ds t L s
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 一、基本概念
dI 1.电流密度矢量 ： j n ds
2.电动势：
E K dl
B 3.涡旋电场： L E k dl s ds t D ds 4.位移电流： I 0 s t D 5.位移电流密度： j D t
y
B
M
o
l x
N
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
（2）由法拉第电磁感应定律：
dΦ B d S B d
tg
d B tg d K 2 cos t tg d
1 3 d K cos t tg d Kx cos t tg 3 0
2 x
i
dΦ dt
1 K x 3 sin t tg Kx 2v cos t tg 3
3
1 3 Kv tg ( t sin t t 2 cos t ) 3
电磁感应 电磁场的基本理论习题课 8、两个线圈顺接，如图（a），1、4 间的总自感为 1.0H 。 在它们的形状和位置都不变的情况下,如图 （b）那样反接后1、3之间的总自感为0.4H.求两线圈 之间的互感系数.
v a I l0 d b l2 c
l
电磁感应 电磁场的基本理论习题课
1 解：（） ab
l0 l 0 I 0 0 I 0v l0 l (v B ) dl v dx ln 2x 2 l0 a l b
0
(2)
a、规定正方向abcda
b、计算 t 时刻的磁通量