关于质数问题的讨论

第1章前言

质数在研究整数的过程中占有一个很重要的地位，它被称为自然数的“建筑的基石”．虽然有很多数学家和学者致力于对它的研究，但成果并不显著，仍有许多问题有待解决．例如，哥德巴赫猜想困扰了人们几百年，有很多数学家对它进行了多年的研究但并没有得到解决．我国数学家陈景润的“陈氏理论”是迄今为止世界上关于哥德巴赫猜想研究的最好成果．这一成果给后人很大鼓舞，似乎离最后结果仅一步之遥，但仍一直无进展．梅森质数是数论研究的一项重要内容，研究梅森质数具有重大的意义，也是当今科学探索的热点和难点之一．随着现代科学技术的迅速发展，也加快了对质数的研究．运用计算机能够较快的计算某自然数是否是质数，知道在某范围内质数的分布情况．由于质数的无穷性，要想计算更大的质数仅有计算机还远远不够，还需要有更高的理论要求．同时，质数在加密和解密技术中的应用有了更高的要求，求尽可能大的质数和大数分解引起了通讯界和数学界的极大兴趣．另外，质数在奥数中也屡屡出现，技巧性非常强，可以锻炼和提高学生的思维．所以有必要对质数的相关问题进行阐述．

本文着重介绍质数相关问题，能够使读者形象、直观地目睹质数分布规律，了解有关质数问题．

首先，在质数基本知识中介绍质数的定义、性质及算术基本定理，并讨论判定质数的两个定理一个是威尔逊定理和另一个判定定理；

其次，研究质数个数问题，质数分布问题，得到质数个数有无穷多个，在某两个自然数之间大约有多少质数和两个相邻质数的间隙可以任意大等结论．还介绍用幼拉脱斯展纳筛法和质数辐射法来求从1到某自然数n之间所有的质数，进而分析质数的分布问题，并讨论它们的区别；

最后，介绍有关质数的著名问题，如费马质数是否有有限，梅森质数是否有无穷多个，什么是孪生质数，并用聚数来研究孪生质数对一些性质，哥德巴赫猜想的由来、研究意义等问题，以及它们理论的推广与应用．

第2章质数基本知识

2.1 质数的定义及其性质

在正整数里，1的正因数就只有它本身，因此在整数中间1占有特殊的地位．任一个大于1的整数，都至少有两个正因数，即1和它本身，把这些数加以分类，就得到下面的定义．定义2.1.1]1[一个大于1的整数，如果它的正因数只有1及它本身，就叫做质数（或素数）；否则就叫作合数．

显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数．从小到大质数依次排列为：2，3，5，7，11，13，17，⋅⋅⋅

根据质数的定义显然可以得到以下性质：

1、如果ab mn

=，其中a，b，m，n都是质数，那么a，b中必有一个等于m，另一个等于n；

2、两个质数之和为奇数，则必有一个质数为2；

3、两个质数之差为奇数，则必有一个质数为2；

4、除了2之外的两个质数之和一定是偶数；

5、除了2之外的两个质数之差一定是偶数；

6、除了2之外的两个质数之积一定是奇数．

例2.1.1 两个质数的和等于奇数a(5

a≥)，求这两个数．

解：因为两个质数的和等于奇数，所以必有一个是2，那么，所求的两个质数是2和2

a-．

例2.1.2 己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数．

解：因为质数m只含两个正约数1和m，又由于(1)()

m

--=m，那么所求的两个整数是1和m或者1

-和m

-．

例2.1.3]2[求满足方程组

44

23

ab bc

ac bc

+=

⎧

⎨

+=

⎩

的正整数解a、b、c的值．

解：先将方程+b =23ac c 的左边分解，得()23a b c +=，而23是一个质数，由“质数只有1和它本身两个质因数”求得1c =, 23a b +=,于是方程组可化为：

(1)44124

a b a b +=⎧⎨++=⎩ 解之得

111=22a b =⎧⎨⎩或22

212a b =⎧⎨=⎩． 故该题的解有两组： 1111221a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或222

2121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．

例2.1.4 已知方程2+(6)+=0(0)x a x a a -≠的两根都是整数，试确定a 的值．

解：设12x x ，是该方程的两个根，利用根与系数的关系得126x x a +=-，12x x a ⨯=，把两个等式相加，可得12126x x x x ++⨯=．该等式可变形为

12(1)(1)7x x ++=，

而7是一个质数，

由质数性质得： 1206x x =⎧⎨=⎩或者1228

x x =-⎧⎨=-⎩． 再把1x 、2x 带入元方程可求得：10a =，216a =．

2.2 质数基本定理

质数在研究整数的过程中占有一个很重要的地位，本节的主要目的就是要证明任何一个大于1的整合数，如果不论次序，能唯一地表成质数的乘积．先介绍每一个大于1的整数有一个质因数．

定理2.2.1]1[ 设a 是任一大于1的整数，则a 的除1外最小的正因数q 是一个质数，并且

当a 是合数时，q ≥

定理2.2.2]1[ 若p 是一个质数，a 是任一个整数，则a 能被p 整除或p 与a 互质．

推论2.2.3]1[ 设1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，n a 是n 个整数，p 是质数．若12|p a a ⋅⋅⋅n a ，则p 一定能整除某一k a ．

定理2.2.4（算术基本定理）任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数

12n a p p p =⋅⋅⋅，12n p p p ≤⋅⋅⋅≤， （2.2-1）

其中12n p p p ⋅⋅⋅，，

，是质数，并且若 12m a q q q =⋅⋅⋅，12m q q q ≤⋅⋅⋅≤，

其中12m q q q ⋅⋅⋅，，，是质数，则m n =，i i q p =，12i n =⋅⋅⋅，，，．

证明：用数学归纳法先证明（2.2-1）式成立．当2a =时，（2.2-1）式显然成立．假定对一切小于a 的正整数（2.2-1）式都成立，此时若a 是质数，则（2.2-1）式对a 成立；若a 是合数，则有两正整数bc 满足条件

,1,1a bc b a c a =<<<<．

由假定 1

2l b p p p '''=⋅⋅⋅，12l l n c p p p ++'''=⋅⋅⋅， 于是 1

212l l l n a p p p p p p ++''''''=⋅⋅⋅⋅⋅⋅． 将'i p 的次序适当调动后既得（2.2-1）式，故（2.2-1）式对a 成立．由归纳法即知对任大于1的正整数，（2.2-1）式成立．

若12m a q q q =⋅⋅⋅，12m q q q <<⋅⋅⋅<，则

1212n m p p p q q q ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ （2.2-2）

因此112|m p q q q ⋅⋅⋅，112|n q p p p ⋅⋅⋅．由推论2.1，有k j p q ，，使得1|j p q ，1|k q p ．但j k q p ，都是质数，故1j p q =，1k q p =．又1k p p ≥，1j q q ≥，故