第二章-结晶学基础1上课讲义
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图1-2 晶胞坐标及晶胞参数
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晶格特征参数确定之后，晶胞和由它表示的晶格也 随之确定，方法是将该晶胞沿三维方向平行堆积即构成 晶格。
布拉菲（Bravais）依据晶格特征参数之间关系的 不同，把所有晶体的空间点阵划归为7类，即7个晶系， 见表1-1。按照阵点（结点）在空间排列方式不同，有的 只在晶胞的顶点，有的还占据上下底面的面心，各面的 面心或晶胞的体心等位置，7个晶系共包括14种点阵，称 为布拉菲点阵（Bravais lattice ）。
16
▪ §2.2 晶体化学基本原理
▪ 一、基本概念
▪ 离子半径：离子（原子）看成对称球体（前提
）
从球体中心到其作用力所涉及范围的
距离 有效半径：正负离子接触（相切），从
切点到离子（原子）中心的距离称为离
子（原子）有效半径
共价晶体：两个相邻键合的中心距，即是两个 原子的共价半径之和
5
▪ 4.倒转轴（Lin） ▪ 复合对称要素，为一根假想的直线和此直线的一
个定点的对称变换，倒反+旋转 ▪ 5. 映转轴（Lsn） ▪ 复合对称要素，为一根假想的直线和垂直此直线
的一个平面的对称变换，反映+旋转 ▪ 三、对称要素的组合及对称型
6
7
§2.1.3 晶胞与晶胞参数 选取结晶学晶胞的原则：
对称变换（对称操作）：相同部分做有规律重复
的变换或操作。
二、晶体的对称要素 对称要素：点、线、面
1. 对称中心（C）center
一个假想的几何点，相应的对称变换为此点的倒 反（反演）。
4
▪ 2. 对称面（P）plane
▪ 假想的平面，相应的对称变换为此平面的反映。
▪ 3. 对称轴（Ln）
▪ 假想的直线，相应的对称变换为绕此直线的旋转。 ▪ 基转角（α）：物体复原所需要的最小旋转角。 ▪ 轴次（n）：相同部分旋转一周可以重复的次数。 ▪ n=360/α,n=1，2，3，4，6 ▪ n＞2的轴称为高次轴
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3. 晶向指数（晶棱符号）确定方法： （晶棱符号只表示晶棱等直线在晶体上的方向，
而不涉及具体的位置。） a.从坐标原点引一条射线，平行于待定晶向； b.在射线上任取一点M（一般是离原点最近的一
个结点），求出该点的三个坐标分别为u、v、 w。 c.将三个坐标值按比例化为最小整数，并加上方 括号，即所求晶向指数[uvw]。
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▪ 2. 晶面指数（晶面符号） 晶面指数的确定方法： ▪ a.在晶体中选一个三维坐标系，求出每个晶面
在三个坐标轴的截距系数； ▪ b. 求出这些截距的系数的倒数比； ▪ c. 将比值简化后按a，b，c轴次序写在一起，
再加上小括号，其通式为（hkl）。
若一个晶面在三轴上的截距 分别为1/2， 2/3，1。则其系 数倒数比为2:3/2:1，简化后 为4：3：2，则其晶面符号位 （432）。
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表1-1 布拉菲点阵的结构特征
（table1-1 the structural feature of Bravais
晶系
三斜 (triclinic) 单斜 (monoclinic) 斜方（正交） (orthorhombic)
四方（正方） (tetragonal) 立方 (cubic)
三方（菱方） (rhombohedral) 六方 (hexagonal)
lattice ）
晶 胞 参 数 关 点阵名称
阵点坐标
系
abc 90o
简单三斜
[0,0,0]
abc ==90o
简单单斜 底心单斜
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0]
abc ===90o
简单斜方 体心斜方 底心斜方 面心斜方
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,0,0] [1/2,1/2,0] [0,1/2 ,1/2]
a=bc ===90o
简单四方 体心四方
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2,1/2]
a=b=c ===90o
简单立方 体心立方 面心立方
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,1/2 ,1/2]
a=b=c ==90o
a0≠b0≠c0, α=β= γ= 90°
a0≠b0≠c0, a0≠b0≠c0, α=γ= 90° α ≠ β≠ γ ≠
7个晶系 β≠ 90° 90°
Байду номын сангаас13
二、晶体结构的定量描述 —晶面指数、晶向指数
1.晶向及晶面
➢ 晶面：在晶格中，位于任一平面内的所有结点 构成晶体中的一个晶面。
➢ 晶向：在晶格中，穿过两个以上结点的任一直 线都代表晶体中原子在空间的一种排列位向， 称为晶向。
第二章-结晶学基础1
晶胞特点：组成各种晶体结构的最小体积单位， 能够反映真实晶体内部质点排列的周期性与对称 性。
2
空间格子与晶胞的区别：
空间格子是由一系列平行叠置的平行六面体构成，它是由晶体结构抽 象得到的几何图形。
晶胞是由具体的实在的质点构成的。
二、晶体的基本性质
1)自范性:晶体具有自发地形成封闭的凸几何多面体外形能力的性质,又称 为自限性.(自然界中的水晶、金刚石等)
1. 单元应能充分表示出晶体的对称性； 2. 单元的三条相交棱边应尽量相等，或相等的数目尽可能地
多； 3. 单元的三棱边的夹角要尽可能地构成直角； 4. 单元的体积应尽可能地小。
8
晶胞参数：晶胞的形状和大小可以用6个参数来表 示，此即晶格特征参数，简称晶胞参数。它们是3 条棱边的长度a、b、c和3条棱边的夹角、、， 如图1-2所示。
2)均一性:指晶体在任一部位上都具有相同性质的特征.
3)各向异性:在晶体的不同方向上具有不同的性质.
4)对称性:指晶体的物理化学性质能够在不同方向或位置上有规律地出现, 也称周期性.
5)最小内能和最大稳定性
3
§2.1.2 晶体的宏观对称性
一、对称的概念
对称性：是指物体中相同的部分做有规律的重复
的性质称为对称性。
简单三方
[0,0,0]
a=b=dc
简单六方
[0,0,0]
(a=bc) ==90o =120o
[1/2,0,1/2] [1/2,0,1/2]
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a0=b0=c0, α=β=γ=90°
a0=b0≠c0, α=β=γ=90°
a0=b0≠c0, α=β=90° γ=120°
a0=b0=c0, α=β=γ≠90°
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晶格特征参数确定之后，晶胞和由它表示的晶格也 随之确定，方法是将该晶胞沿三维方向平行堆积即构成 晶格。
布拉菲（Bravais）依据晶格特征参数之间关系的 不同，把所有晶体的空间点阵划归为7类，即7个晶系， 见表1-1。按照阵点（结点）在空间排列方式不同，有的 只在晶胞的顶点，有的还占据上下底面的面心，各面的 面心或晶胞的体心等位置，7个晶系共包括14种点阵，称 为布拉菲点阵（Bravais lattice ）。
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▪ §2.2 晶体化学基本原理
▪ 一、基本概念
▪ 离子半径：离子（原子）看成对称球体（前提
）
从球体中心到其作用力所涉及范围的
距离 有效半径：正负离子接触（相切），从
切点到离子（原子）中心的距离称为离
子（原子）有效半径
共价晶体：两个相邻键合的中心距，即是两个 原子的共价半径之和
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▪ 4.倒转轴（Lin） ▪ 复合对称要素，为一根假想的直线和此直线的一
个定点的对称变换，倒反+旋转 ▪ 5. 映转轴（Lsn） ▪ 复合对称要素，为一根假想的直线和垂直此直线
的一个平面的对称变换，反映+旋转 ▪ 三、对称要素的组合及对称型
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§2.1.3 晶胞与晶胞参数 选取结晶学晶胞的原则：
对称变换（对称操作）：相同部分做有规律重复
的变换或操作。
二、晶体的对称要素 对称要素：点、线、面
1. 对称中心（C）center
一个假想的几何点，相应的对称变换为此点的倒 反（反演）。
4
▪ 2. 对称面（P）plane
▪ 假想的平面，相应的对称变换为此平面的反映。
▪ 3. 对称轴（Ln）
▪ 假想的直线，相应的对称变换为绕此直线的旋转。 ▪ 基转角（α）：物体复原所需要的最小旋转角。 ▪ 轴次（n）：相同部分旋转一周可以重复的次数。 ▪ n=360/α,n=1，2，3，4，6 ▪ n＞2的轴称为高次轴
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3. 晶向指数（晶棱符号）确定方法： （晶棱符号只表示晶棱等直线在晶体上的方向，
而不涉及具体的位置。） a.从坐标原点引一条射线，平行于待定晶向； b.在射线上任取一点M（一般是离原点最近的一
个结点），求出该点的三个坐标分别为u、v、 w。 c.将三个坐标值按比例化为最小整数，并加上方 括号，即所求晶向指数[uvw]。
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▪ 2. 晶面指数（晶面符号） 晶面指数的确定方法： ▪ a.在晶体中选一个三维坐标系，求出每个晶面
在三个坐标轴的截距系数； ▪ b. 求出这些截距的系数的倒数比； ▪ c. 将比值简化后按a，b，c轴次序写在一起，
再加上小括号，其通式为（hkl）。
若一个晶面在三轴上的截距 分别为1/2， 2/3，1。则其系 数倒数比为2:3/2:1，简化后 为4：3：2，则其晶面符号位 （432）。
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表1-1 布拉菲点阵的结构特征
（table1-1 the structural feature of Bravais
晶系
三斜 (triclinic) 单斜 (monoclinic) 斜方（正交） (orthorhombic)
四方（正方） (tetragonal) 立方 (cubic)
三方（菱方） (rhombohedral) 六方 (hexagonal)
lattice ）
晶 胞 参 数 关 点阵名称
阵点坐标
系
abc 90o
简单三斜
[0,0,0]
abc ==90o
简单单斜 底心单斜
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0]
abc ===90o
简单斜方 体心斜方 底心斜方 面心斜方
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,0,0] [1/2,1/2,0] [0,1/2 ,1/2]
a=bc ===90o
简单四方 体心四方
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2,1/2]
a=b=c ===90o
简单立方 体心立方 面心立方
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,1/2 ,1/2]
a=b=c ==90o
a0≠b0≠c0, α=β= γ= 90°
a0≠b0≠c0, a0≠b0≠c0, α=γ= 90° α ≠ β≠ γ ≠
7个晶系 β≠ 90° 90°
Байду номын сангаас13
二、晶体结构的定量描述 —晶面指数、晶向指数
1.晶向及晶面
➢ 晶面：在晶格中，位于任一平面内的所有结点 构成晶体中的一个晶面。
➢ 晶向：在晶格中，穿过两个以上结点的任一直 线都代表晶体中原子在空间的一种排列位向， 称为晶向。
第二章-结晶学基础1
晶胞特点：组成各种晶体结构的最小体积单位， 能够反映真实晶体内部质点排列的周期性与对称 性。
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空间格子与晶胞的区别：
空间格子是由一系列平行叠置的平行六面体构成，它是由晶体结构抽 象得到的几何图形。
晶胞是由具体的实在的质点构成的。
二、晶体的基本性质
1)自范性:晶体具有自发地形成封闭的凸几何多面体外形能力的性质,又称 为自限性.(自然界中的水晶、金刚石等)
1. 单元应能充分表示出晶体的对称性； 2. 单元的三条相交棱边应尽量相等，或相等的数目尽可能地
多； 3. 单元的三棱边的夹角要尽可能地构成直角； 4. 单元的体积应尽可能地小。
8
晶胞参数：晶胞的形状和大小可以用6个参数来表 示，此即晶格特征参数，简称晶胞参数。它们是3 条棱边的长度a、b、c和3条棱边的夹角、、， 如图1-2所示。
2)均一性:指晶体在任一部位上都具有相同性质的特征.
3)各向异性:在晶体的不同方向上具有不同的性质.
4)对称性:指晶体的物理化学性质能够在不同方向或位置上有规律地出现, 也称周期性.
5)最小内能和最大稳定性
3
§2.1.2 晶体的宏观对称性
一、对称的概念
对称性：是指物体中相同的部分做有规律的重复
的性质称为对称性。
简单三方
[0,0,0]
a=b=dc
简单六方
[0,0,0]
(a=bc) ==90o =120o
[1/2,0,1/2] [1/2,0,1/2]
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a0=b0=c0, α=β=γ=90°
a0=b0≠c0, α=β=γ=90°
a0=b0≠c0, α=β=90° γ=120°
a0=b0=c0, α=β=γ≠90°