哈工大集合论习题课第六章树及割集习题课

第六章 树及割集

习题课1

课堂例题

例1 设T 是一棵树，T 有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是1度顶点。则

（1）求T 有几个1度顶点？

（2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。

分析：对于任一棵树T ，其顶点数p 和边数q 的关系是：1q p =-且

1

deg()2i

p

i v q ==∑，根据这些性质容易求解。

解：（1）设该树T 的顶点数为p ，边数为q ，并设树T 中有x 个1度顶点。于是

1

deg()33122i

p

i v x q ==⨯+⨯+=∑且31p x =++，1q p =-，得5x =。

（2）满足上述要求的两棵不同构的无向树，如图1所示。

图1

例2设G 是一棵树且()G k ∆≥，证明G 中至少有k 个度为1顶点。 证：设T 中有p 个顶点，s 个树叶，则T 中其余p s -个顶点的度数均大于等于2，且至少有一个顶点的度大于等于k 。由握手定理可得：

1222()2(1)p

i i q p deg v p s k s ==-=≥--++∑，有s k ≥。

所以T 中至少有k 个树叶 。

习题

例1 若无向图G 中有p 个顶点，1p -条边，则G 为树。这个命题正确吗？为什么？

解：不正确。3K 与平凡图构成的非连通图中有四个顶点三条边，显然它不是树。

例2设树T 中有2n 个度为1的顶点，有3n 个度为2的顶点，有n 个度为3的顶点，则这棵树有多少个顶点和多少条边？

解：设T 有p 个顶点，q 条边，则123161q p n n n n =-=++-=-。由

deg()2v V

v q ∈=∑有：1223322(61)122n n n q n n ⨯+⨯+⨯==-=-，解得：n =2。

故11,12q p ==。

例3证明恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。

证：设T 是一棵具有两个顶点度数为1的(,)p q 树，则1q p =-且

1

deg()2p

i

i v q ==∑2(1)p =-。

又T 除两个顶点度数为1外，其他顶点度均大于等于2，故

2

1

1

deg()2deg()2(1)p p i

i

i i v v p -===+=-∑∑，即

2

1

deg()2(2)p i

i v p -==-∑。

因此2p -个分支点的度数都恰为2，即T 为一条通路。

例4 画出具有4、5、6、7个顶点的所有非同构的无向树。

解：4个顶点的非同构的无向树有两棵，如图21(),()a b 所示； 5个顶点的非同构的无向树有3棵，如图21(),(),()c d e 所示。

（a ） (b) (c) (d) (e)

图2

6个顶点的非同构的无向树有6棵，如图3所示。

图3

7个顶点的非同构的无向树有11棵，如图4所示。

所画出的树具有6条边，因而七个顶点的度数之和应为12。由于每个顶点的度数均大于等于1，因而可产生以下七种度数序列127(,,,)d d d L ：

（1）1111116；（2）1111125；（3）1111134；（4）1111224；

（5）1111233；

（6）1112223；（7）1122222。

在（1）中只有一个星形图，因而只能产生1棵树1T 。 在（2），（3）中有两个星形图，因而也只能各产生1棵非同构的树，分别设为 23,T T 。

在（4）

，（5）中有三个星形图，但三个星形图是各有两个是同构的，因而各可产生两棵非同构的树，分别设为45,T T 和67,T T 。

在（6）中，有四个星形图，有三个是同构的，考虑到不同的排 列情况，共可产生三棵非同构的树，设为8910,,T T T 。

在（7）中，有五个星形图，都是同构的，因而可产生1棵树， 设为11T 。

七个顶点的所有非同构的树111T T :如图2所示。

T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6

T 7 T 8 T 9 T 10 T 11

图4

例5设无向图G 是由(2)k k ≥棵树构成的森林，至少在G 中添加多少条边才能使G 成为一棵树？

解：设G 中的k 个连通分支为：12,,,k T T T L ，i v ∈i T ，1,2,,i k =L 。在G 中添加边1{,}i i v v +，1,2,,1i k =-L ，设所得新图为T ，则T 连通且无回路，因而T 为树。故所加边的条数1k -是使得G 为树的最小数目。 例6 证明：任意一棵非平凡树都是偶图。

分析：若考虑一下数据结构中树（即有向树）的定义，则可以很简单地将树中的顶点按层次分类，偶数层顶点归于顶点集0V ，奇数层顶点归于顶点集1V ，图G 中每条边的端点一个属于0V ，另一个属于1V ，而不可能存在关联同一个顶点集的边。同理，对于无向树，可以从任何一个顶点V 出发，给该树的顶点标记奇偶性，例如，v 标记0，与v 相邻的顶点标记1，再给与标记为1的所有相邻的顶点标记0，依次类推，直到把所有的顶点标记完为止。最后，根据树的性质证明，任何边只可能关联1V （标记为 1的顶点集）和0V （标记为0的顶点集）之

间的顶点。

证1从任何一个顶点v 出发，给该树的顶点做标记，v 标记0，与v 相邻的顶点标记1，然后再给与标记为1的所有顶点相邻的顶点标记0，……，依次类推，直到把所有的顶点标记完为止。

下面证明：对于任何边只能关联1V （标记为1的顶点集）和0V （标记为0的顶点集）之间的顶点。

不妨假设，若某条边e 关联1V 中的两个顶点，设为1v 和2v ，又因为根据上述的标记法则，有1v 到v 的路1P 和2v 到v 的路2P 。设1P 与2P 离1v 和2v 最近的顶点为u ，所以，树中存在回路：11221v PuP v ev ，与树中无回路的性质矛盾。所以，任意边只能关联1V （标记为1的顶点集）和0V （标记为0的顶点集）之间的顶点。所以，任意一棵非平凡树都是偶图。

证2 设T 是任一棵非平凡树，则T 无回路，即T 中所有回路长都是零。而零是偶数，故由偶图的判定定理可知T 是偶图。

例7（1）一棵无向树有i n 个度数为i 的顶点，1,2,,i k =L 。23,,,k n n n L 均为已知数，问1n 应为多少？

（2）在（1）中，若(3)r n r k ≤≤未知，()j n j r ≠均为已知数，问r

n 应为多少？

解：（1）设T 为有p 个顶点，q 条边无向树，则1q p =-，1k

i i p n ==∑。

由握手定理：

1

deg 2p

i

i v

q ==∑，有1

1deg 222p k

i i i i v in q p =====-∑∑，即

1

1

2222k

k

i i i i in p n ===-=-∑∑。 ①

由式①可知：

12

2

2

22(2)2k

k

k

i i i i i i n in n i n ====-+=-+∑∑∑。

（2）对于3r ≥，由①可知：

1

1

(2)22k r i i i r n i n r =≠=

---⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

∑。 例8证明：任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。

证：设T 为一棵非平凡的无向树，12k L v v v =L 为T 中最长的路，若端点1v 和k v 中至少有一个不是树叶，不妨设k v 不是树叶，即有deg()2k v ≥，则k v 除与L 上的顶点1k v -相邻外，必存在1k v +与k v 相邻，而1

k v +