第2讲 三角变换与解三角形

第2讲 三角变换与解三角形
感悟高考 明确考向
(2010·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)
海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的
D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？
主干知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝
tan α±tan β
1∓tan αtan β
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝
2tan α
1－tan 2α
.
3．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．
(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab .
变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1
2ab sin C . 7．解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解． 热点分类突破 题型一 三角变换及求值
例1(1)已知0<β<π2<α<π，且cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝2
3，求cos(α＋β)；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，求2α－β的值．
变式训练1 已知α∈(
π2，π)，且sin α2＋cos α2＝6
2
.(1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π
2，π)，求cos β的值．
题型二正、余弦定理的应用
例2 已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sin B.
(1)求角C；(2)试求△ABC的面积S的最大值．
变式训练2 (2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A ＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)·sin C.(1)求A的大小；(2)求sin B＋sin C的最大值．
题型三正、余弦定理的实际应用
例3 (2009·福建)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，
限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
变式训练3 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
规律方法总结
1．证明三角恒等式的常用方法
(1)从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简．
(2)证明左右两边都等于同一个式子(或值)．
(3)运用分析法，证明其等式成立．
2．三角恒等变形的基本思路
(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．“化异为同”
是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．
(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．3．已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知a，b，A为例
(1)当A为直角或钝角时，若a>b，则有一解；若a≤b，则无解．
(2)当A为锐角时，如下表：
4.
(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π.
(2)A>B>C⇔a>b>c⇔sin A>sin B>sin C.
(3)a＝b cos C＋c cos B.
5．在△ABC中，三边分别为a，b，c(a<b<c)
(1)若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形．
(2)若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．
(3)若a2＋b2<c2，则△ABC为钝角三角形.
知能提升演练一、选择题
1．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4
5
，且α是第二象限角，则tan(
π
4
＋α)
等于 ( ) A．7 B．－7 C.1
7
D．－
1
7
2．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )
A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
等于 ( )
A．3 3 B.239
3
C.
263
3
D.
29
2
4．在△ABC中，已知sin C＝2sin A cos B，那么△ABC一定是( ) A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
5．已知实数a，b均不为零，a sin 2＋b cos 2
a cos 2－
b sin 2
＝tan β，且β－2＝
π
6
，则
b
a
等于 ( )
A. 3
B.
3
3
C．－ 3 D．－
3
3
二、填空题
6．函数y＝sin4x＋cos4x的单调递增区间是______________________.
7．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝4b sin A，则cos B＝__________________
8．(2010·广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝_______________.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝a(2cos2x
2
＋sin x)＋b.
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调递减区间；
(2)当a<0，x∈[0，π]时，f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
10．(2009·安徽)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3 .
(1)求sin A的值；
(2)设AC＝6，求△ABC的面积．。