应力应变分析资料.

目录
7—1 应力状态的概念
F
S平面
l/2
l/2
S平面
F
5
2
4
3
Mz
Fl 4
2
1
1 1
2
2
2
3 3
§7.2 二向和三向应力状态实例
一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态 （壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）
L
ｐ
轴线方向的应力
x
pD t ｐ
Ｄ
x
t
x
ｐπD２ ４
Fx 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xpDt
p pD2
y ) cos2
xy
sin 2
1 2
(
x
y ) sin 2
xy
cos2
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7-3 二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y yx
x
xy
x
y
α n x
a a
xy
x
t yx y
正应力：拉为正；压为负
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
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7—1 应力状态的概念
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
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7—1 应力状态的概念
横力弯曲
FN Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应
力各不相同，此即应力的点的概念。
7—1 应力状态的概念
直杆拉伸
k
F
k
F
k p
k
{ p cos cos2
2
4
2 xy
min
x
y
2
1 2
x y
2
4
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
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7-3 二向应力状态分析-解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa , 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
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7-3 二向应力状态分析-解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy 化简得
1 2
( x
y)
1 2
(
x
F
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
7—1 应力状态的概念
l
y
S平面
SF
a
1
T
4
z
x
2
T
Fa
M
Fl
1
T
Wt
σ
Mz Wz
3 Mz 3
T
Wt
σ
M W
z z
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7—1 应力状态的概念
x x
z
4
x
pD 4t
横向应力 ｐ×Ｄ×ｌ
ｐ
y
y
2t l y
Fy 0
y 2t l p D l 0
y
pD 2t
x y
承受内压圆柱型薄壁容 器任意点的应力状态:
y x
二向不等值拉伸应力状态
二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态 （壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）
ｐ
p pD2
tg20
2 xy x
y
x
60 0.6 60 40
0 15.5 ,
代入 表达式可知
0 15.5 90 105.5
主应力 1 方向： 0 15.5 主应力 3 方向：0 105 .5
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7-3 二向应力状态分析-解析法
σx
σy 2
)s
i
n
2
α0 τx
yc
o
s
2
α0
2τα0
0
即α＝α0 时，切应力为零
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7-3 二向应力状态分析-解析法
tan 2 0
2 xy x
y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别
为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
max
x
2
y
1 2
x y
58.3MPa
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7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
2
y
(
x
y
)2
2
xy
2
68.3MPa
x
m in
x
2
y
(
x
y
)2
2
xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
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7-3 二向应力状态分析-解析法
y xy
主平面的方位：
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7-3 二向应力状态分析-解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 2
(
x
y)
1 2
( x
y ) cos2
xy sin 2
d d
( x y ) sin 2 2 xy cos2
设α＝α0 时，上式值为零，即
( x y ) sin 20 2 xy cos 20 0
2(
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
2 3
1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力
, , 称为主应力，分别用
表示，并且
该单元体称为主应力单元体。 1 2 3
1 2 3
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7—1 应力状态的概念
（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 （2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零 （3）空间应力状态：三个主应力都不等于零 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态
y xy
x
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7-3 二向应力状态分析-解析法
解：（1） 斜面上的应力
y xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
x
9.02MPa
x
y
2
sin
2
xy
cos
2
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
x αa
n
a
xy
dA
x
yx
t
y
y
Fn 0 Ft 0
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7-3 二向应力状态分析-解析法
列平衡方程
Fn 0
x αa
n
a
xy
dA
dA xy(dAcos )sin x (dAcos ) cos yx
t
yx(dAsin ) cos y (dAsin)sin 0
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin
第七章
应力和应变分析 强度理论
第七章 应力和应变分析 强度理论
7-1 应力状态的概念 7-3 二向应力状态分析-解析法 7-4 二向应力状态分析-n图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-11 四种常用强度理论
7—1 应力状态的概念
问题的提出
铸铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
4
Fy 0
y
pD t
pD2
p 4
0
ｐ
y
y
pDt y
y
pD 4t
p pD2
4
x
ｐ
x pD t
σy σx
Fx 0
x
pD t
p pD2
4
0
x
pD 4t
3、三向应力状态实例 滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态
σZ
σx σy
7-3 二向应力状态分析-解析法
1.斜截面上的应力
x
y
yx xy