晶体倒格子和布里渊区

现在定义 3个新的基矢 b1, b2,b3 构成一个新点阵： （ h1, h3, h3 是整数。）
b1 b2 b3
2 2 2
a1 a1 a1
a2a2
a3
a3
a3a2
a1
a3ຫໍສະໝຸດ Baidu
a1a2
a2 a3
位移矢量 Gh h1b1 h2b2 h2b3 就构成了上面点阵的
倒易点阵，上面变换公式中出现的 2 因子，对于晶体学
晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。
倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定 义的，所以每一种晶体结构，都有 2个点阵与其相联系， 一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排 列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性 质的基本特征。
家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念。
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系：
倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，
可以方便地证明它和正点阵之间有b如i 下 a关j 系：2 ij
又因为：
*
b1
(b2
b3 )
(2
)2
(a1
b1 )
(2
)3
所以：
c1
2
*
(2 )2
a1
a1
同样可以证明： c2 a2 , c3 a3,
三. 倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义：
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的 Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数 L-1，称作波矢空间。例如：正点 阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下一节我们将看到：
且有：
d hkl
2
G hkl
1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。
2. 证 明：
Rn Ghkl (n1a1 n2a2 n3a3) (hb1 kb2 lb3 )
2 (n1h n2k n3l) 2m
(m为整数)
3. 证明：先证明倒格矢 Gh1,h2 ,h3 h1b1 h2b2 h3b3
1 Gh
2
Gh
上述第3点的图示。
4. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 a1, a2, a3 给出倒易
点阵 b1, b2, b3 现假定 b1, b2, b3 为正点阵，则其
倒易点阵根据定义为：
c1
2 *(b2
b3)
利用三重矢积公式： A (B C) B( AC) C( A B)
可以得到： b2 b3 2 (a3 a1) 2 (a1 a2 ) (2 )2 a1
1.7 晶体的倒格子和布里渊区
(Reciprocal lattice; Brillouin zones)
一. 定义 二. 倒易点阵和晶体点阵的关系 三. 倒易点阵的物理意义 四. 倒易点阵实例 五. 布里渊区
参考：黄昆书 1.3 节；p175-179; Kittel 8版 2.3 节
晶格周期函数傅里叶级数展开
Gh1h2h3 CA
(h1b1 h2b2
h3b3
)
(
a1 h1
a3 h3
)
2 2 0
G 同理 h1h2h3 CB 0 而且 CA,CB 都在（ABC)面上，
G 所以 h1h2h3 与晶面系 (h1h2h3) 正交。
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 Gh1h2h3 ( ABC)
显然： exp(iGh Rn ) 1
即： Gh Rn 2 m
既然 Rn 是正点阵的格矢，符合该关系的 Gh 就是倒易点阵
的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中 的表述之间服从Fourier变换关系。
一. 定义：假设 a1, a2, a3 是一个晶体点阵的基矢，该点阵的
格矢为：Rn n1a1 n1a2 n1a3 原胞体积是： a1 (a2 a3 )
四. 倒易点阵实例：
倒格子基矢是从点阵基矢引出的，它们之间的联系需要我
们通过具体实例来理解：根据右面定义，
可以证明：
d OA GG h1h2h3
h1h2h3 h1h2h3
2
Gh1h2h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来。
当一个点阵具有位移矢量 Rn n1a1 n1a2 n1a3
时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值 (r)
也应该具有周期性： 两边做Fourier展开，有：(r) (r Rn )
n!
K '(Gh ) exp(iGh r ) K '(Gh ) exp(iGh r ) exp(iGh Rn ) r !n r !
1. 两个点阵的基矢之间：
ij
1, i 0, i
j j
2. 两个点阵的格矢之积是 2 的整数倍： Gh Rn 2 m
3. 两个点阵原胞体积之间的关系是：
*
b1
(b2
b3 )
(2 )3
4. 正点阵晶面族 (h,k,l) 与倒易点阵格矢 Gh 相互垂直，
Ghkl hb1 kb2 lb3
与正格子的晶面系 (h1h2h3) 正交。
如图所示，晶面系 (h1h2h3) 中最靠近原点的晶面（ABC）
在正格子基矢 a1, a2, a3 的截距分别为： a1 , a2 , a3
h1 h2 h3
于是：
CA OA OC a1 a3 h1 h3
CB OB OC a2 a3
h2 h3
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为 d 2
Gh
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos
又OAGh OA Gh cos
a3
Gh
C
a3/h3
d
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
d OAG Gh
a1 h1
(h1b1
h2 b2
h3 b3 )