备战最新高考数学之易错点纠错笔记系列(解析版)专题13 数列-

故不能就此断定
an
=
n3 (n 1)3
就是数列 {an }
的通项公式．
【正解】当 n 1 时， a1 1 ；当 n 2 时，由 a1a2a3L an =n3 ，可得 a1a2a3L an1 =(n 1)3,
1, n 1
两式相除可得
an =
n3 (n 1)3
，故
an
n3
(n 1)3
,n
1, n N*
即 7a15 =0 ， a15 =0 ，由 a1 0 可知 d 0 ，故当 n 14 或 n 15 时 Sn 最大．
【巩固练习 2】等差数列 an 中， a1 2 ， S10 15 ，记 Bn a2 a4 a8 a2n ，则当 n ___时，
Bn 取得最大值.
【答案】4
【解析】在等差数列 an 中， a1 2 ， S10 15 ，
因为当 n 1 时， a1 S1 0 21 4 ，
所以
an
0, n 1 2n 4, n
2
.
易错点 2 忽略数列中为 0 的项
求等差数列前 n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前 n 项和表示成关于 n 的二次函数，即
Sn
An2
Bn
，当 n
B 2A
时有最大值（若
n
B 2A
不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时
.
【错解】由 S30 S10 q2 ，所以 q2 7 ，即 q 7 ，所以 S40 S30 q 70 7 .
【错因】是将等比数列中 Sm , S2m Sm , S3m S2m 成等比数列误解为 Sm , S2m , S3m 成等比数列.
a1
(1 1
q q
10
)
【正解】由题意：
所以 a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9.故选 A.
S10
10a1
10 9 2
d
15 ，即
20
45d
15 ，
45d
5 ，
d
1 9
， an
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2
1 9
n
1
1 9
n
19 9
，
由 an
1 9
n
19 9
0 ，得
n
19
，即 a19
0
，
当 n 19 时， an 0 ，当 n 19, an 0 ，
因此在 a2 , a4 , a8 , a2n 中，当 n 4 时， a2n 0 ，当 n 5 时， a2n 0 ，
.
【巩固练习 1】数列an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn n2 3n 2 ，则数列 an 的通项公式为_________.
【答案】 an
0, n 1
2n
4,
n
2
【解析】因为 Sn n2 3n 2 ，所以当 n 2 时 Sn1 (n 1)2 3(n 1) 2 ，
所以当 n 2 时 an Sn Sn1 2n 4 ，
a1
(1
q
30
)
1 q
10
得
1
a1 q
10
70 q10 2或q10
，
3(舍去)
所以
S40=
a1 （1 1 q
q 40）
200
.
【巩固练习 3】在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋a18＋a19＋a20 的值为( )
A．9
B．12
C．16
D．17
【解析】S4＝1，S8－S4＝3，而 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16 成等差数列， 即各项为 1，3，5，7，9，
【例 1】已知数列{an} 满足 a1a2a3
an =n3(n
N*)
，则数列{an} 的 an =
n3 (n 1)3
通项公式 an
．
【错解】由 a1a2a3L an =n3 ，可得 a1a2a3L an1 =(n 1)3, 两式相除可得．
【错因】 a1a2a3L an1 =(n 1)3 仅适用于 n N* 且 n 2 时的情况，
专题 13 数列
易错点
易错点 1 求通项公式出错
求通项公式的方法：
an
S1，n 1 Sn Sn1，n
2
和步骤是解答本题的关键．由已知中 an
的前
n
项和
Sn
n2
3n
2 ，结合 an
S1，n 1 Sn Sn1，n
2
，分别讨论 n
2
时与
n
1 时的通项公式，并由 n
1 时，a1
的值不满足 n 2 时的通项公式，故要将数列an 的通项公式写成分段函数的形式．
故当 n 4 时， Bn 取得最大值，答案 4 .
易错点 3 用错数列的性质
若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，则 Sm , S2m Sm , S3m S2m 成等差数列.
若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ，则 Sm , S2m Sm , S3m S2m 成等比数列.
【例 3】已知等比数列 an的前 n 项和记为 S ， S10 10 ， S30 70 ，则 S40 等于
【正解】【方法
1】由 S11
S18
，得
11a1
+
1110 2
d
18a1
1817 2
d
，即 a1=
14d
，
由
a1
0
可知
d
0
，解不等式组
aann1a1a1 (nnd
1)d 0
0 ,
14d (n 1)d 0
即 14d nd 0
, 得14 n 15 ．
故当 n 14 或 n 15 时 Sn 最大．
1817 2
d
，即 a1= 14d
，
由
a1
0
可知
d
0
，解不等式组
aann1a1a1 (nnd
1)d 0
0 ,
14d (n 1)d 0
即 14d nd 0
, 得14 n 15 ．
又 n N* ，故当 n 15 时 Sn 最大．
【 错 因 】由于 a15 0 ，所以 S14 S15 ，当 n 14 或 n 15 时 Sn 最大，错解中忽略了数列中为 0 的项．
【方法 2】由 S11
S18 ，可得 a1= 14d ，所以 Sn
14dn
n(n 1) d 2
d (n 2
29) 2 2
841 d 8
，
由 n N* 并结合 Sn 对应的二次函数的图象知，当 n 14 或 n 15 时 Sn 最大．
【方法 3】由 S11 S18 ，得 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 0 ，
Sn
最大）；②可根据 an 0 且 an1 0 确定 Sn 最大时的 n 值.
【例 2】设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，公差为 d，且满足 a1 0 ， S11 S18 ，则当 Sn 最大时，
n __________．
【错解】由 S11
S18
，得
11a1
+
1110 2
d
18a1