3-4矩阵的秩

（若(1)只有零解，则 r n. ）
§3.4 矩阵的秩
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证：设矩阵 A 的行向量组 i (ai 1 , ai 2 ,, ain ), i 1,2,, s
的秩为r，且不妨设 1 , 2 ,, r为其一个极大无关组. 由于向量组1 , 2 ,, s 与向量组 1 , 2 ,, r 等价， 于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
" " 若 A 的所有 r 1级子式全为 0， 则 A 的
所有级数大于 r 的子式全为 0. 设 R( A) t .
由必要性,不可能有 t r . 否则A的 r 级子式全为0. 同样,不可能有 t r . 否则A有 t ( r 1)级子式不为0. t r.
§3.4 矩阵的秩
只有零解.
（ 2）
由引理，方程组（2）的系数矩阵
a11 a12 A1 a 1n
a21 a22 a2 n

ar 1 ar 2 arn
的行秩 r （未知量的个数）.
§3.4 矩阵的秩
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从而在矩阵 A1 的行向量组
(a11 , a21 ,, ar 1 ), (a12 , a22 ,, ar 2 ),, (a1n , a2n ,, arn )
线性相关
a11 a21 行列式 a n1 a11 a21 行列式 a n1
a12 a22 an 2 a12 a22 an 2

a1n a2 n 0. ann a1n a2 n 0. ann
线性无关
§3.4 矩阵的秩
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k 级子式
定义

A 0 R( A) n
(满秩矩阵)
§3.4 矩阵的秩
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证： " " R( A) n,
A 的 n 个行向量线性相关.
若 n ＝ 1， 则A只有一个一维行向量0， 从而A＝0， A 0 0. 若 n ＞ 1， 则A的行向量中至少有一个能由其余 行向量线性表出， 从而在行列式 A 中，用这一行 依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0.
中一定可以找到 r 个线性无关的向量. 不妨设
(a11 , a21 ,, ar 1 ,),(a12 , a22 ,, ar 2 ),,(a1r , a2 r ,, arr )
a
是r个线性无关的行向量， 则该向量组的延伸组
11
, a21 ,, ar1, ar 1,1,, as1 ,a1r , a2r ,, arr , ar 1,r ,, asr
定理6 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A中有一 个 r 级子式 不等于0，且所有 r 1 级子式等于0． 注 ① R A r A 的所有 r 1级子式等于0；
所有级数大于r 的子式全为0.
R A r A 有一个 r 级子式不Байду номын сангаас0. ② 若 R A r 则 A 的不为0的 r 级子式所在行(列)
§3.4 矩阵的秩
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a11 0 A 0
a12 a22 2 an

a1n n a2 a11 ann
a2 n a22 2 ann an
ai 1 ) i 其中 (0, ai2 , , ain 1 , i 2, , n a11
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3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 例2 求矩阵A的秩 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 r 3 r 1 6 4 1 4 2 1 1 6 4 1 4 r r r 2 r 1 4 3 1 3 2 3 6 1 0 20 15 9 13 解：A 2 0 1 5 3 r 0 12 9 7 11 3 2 0 5 0 4 3 r1 0 16 12 8 12 1 6 4 1 4 r 1 r 1 6 4 1 4 r r 4 2 3 3 2 0 20 15 9 13 0 20 15 9 13 0 32 24 16 24 0 32 24 16 24 0 16 12 8 12 0 0 0 0 0 1 6 4 1 4 r 5 r 1 6 4 1 4 1 r 2 3 8 3 0 0 0 1 2 0 20 15 9 13 0 4 3 2 3 0 4 3 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R( A) 3 §3.4 矩阵的秩 22/21
于是 1 , 2 ,, r 线性无关，
§3.4 矩阵的秩
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所以方程组 x11 x2 2 xr r 0 只有零解. 即 a11 x1 a21 x 2 ar 1 xr 0 a12 x1 a22 x2 ar 2 xr 0 a x a x a x 0 2n 2 rn r 1n 1
第三章 线性方程组
§1 消元法
§4 矩阵的秩
§2 n维向量空间 §3 线性相关性
§5 线性方程组有解判别 §6 线性方程组解的结构
一、矩阵的行秩、列秩、秩 二、矩阵的秩的有关结论 三、矩阵秩的计算
一、矩阵的行秩、列秩、秩
a11 a21 定义 设 A a s1 a12 a22 as 2 a1n a2 n , a sn
§3.4 矩阵的秩
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定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩．
证明：设 A (aij )sn ，A的行秩＝r，A的列秩＝r1，
下证 r r1 ． 先证 r1 r ． 设A的行向量组为 i (ai 1 , ai 2 ,, ain ), i 1,2,, s 则向量组 1 , 2 ,, s ,的秩为r， 不妨设 1 , 2 ,, r是它的一个极大无关组，
在一个 s×n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列
2 1 k min( s , n ) , 位于这些行和列的交点上的 k
个元素按原来次序所组成的 k 级行列式，称为矩阵 A的一个k级子式．
k 注 s n 矩阵 A 的 k 级子式共有 C sk C n 个.
§3.4 矩阵的秩
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a2 n a22 由 A 0 知， 0, 2 ann an a2 n a22 的秩＜n－1， 由归纳假设，矩阵 a a nn n2
§3.4 矩阵的秩
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a n1 a21 从而向量组 2 1 , , n 1 a11 a11
1 , 2 ,, n 线性相关 R( A) n.
§3.4 矩阵的秩
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推论1
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 a x a x a x 0 n2 2 nn n n1 1
R( A) n . ( )只有零解 A 0 R( A) n.
§3.4 矩阵的秩
( )
( ) 有非零解 系数矩阵 A (aij )nn 的行列式 A =0
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推论2
n 个 n 维向量 i (ai 1 , ai 2 ,, ain ), i 1,2,, n
A的列向量
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 r1 r ． 同理可证 r1 r.
§3.4 矩阵的秩
所以 r1 r ．
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定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
R( A). 记作秩(A) 或 r ( A)、
注 ① 若 A O (零矩阵)，则 R( A) 0. ② 设 A aij
线性相关，故存在不全为零的数 k2 ,, kn , 使
a n1 a21 k2 2 1 kn n 1 0, a11 a11
改写一下，有
不全为零的n个数
a21 a n1 k2 kn 1 k2 2 kn n 0, a11 a11
就是 A行(列)向量组的一个极大无关组.
§3.4 矩阵的秩
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证：" " 设 R A r , 则A的任意 r 1个行向量 都线性相关，从而A的任意 r 1级子式的行向量也 线性相关, A的 r 1级子式全为0. 下证A至少有一个 r 级子式不为0. 设 A aij 因为 R A r , 不妨设A的前 r 个行向量线性无关， 作矩阵

sn
，则 R( A) min( s , n).
若 R( A) s , 则称A为行满秩的； 若 R( A) n , 则称A为列满秩的.
§3.4 矩阵的秩
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二、矩阵秩的有关结论
定理5 设 A ( aij )nn ， 则
A 0 R( A) n ; (降秩\亏秩矩阵)

sn
,
所以A有 r 个行向量线性无关，
a11 a12 a1n A1 a a a rn r1 r 2
§3.4 矩阵的秩
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显然 A1 的行秩为 r ， 从而 A1 的列秩也为 r ， 不妨设在 A1 中前 r 列线性无关， 则行列式 a11 a12 a1r 0. 此即 A 的一个 r 级非零子式. ar 1 ar 2 arr
A 0.
§3.4 矩阵的秩
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" " 对 n 作数学归纳法.
若 n ＝ 1，由 A 0 知，A＝0，从而 R( A) 0 1. 假若对 n－1 级矩阵结论成立，下证 n 级的情形. 设 A ( aij )nn ，1 , 2 ,, n 为A的行向量. 考察A的第一列元素: a11 , a21 ,, an1 若它们全为零，则 R( A) n 1 n ; 若它们有一个元素不为零， 不妨设 a11 0, 则 A 的第2至 n 行减去第1行的适当倍数后可为
则矩阵 A 的行向量组 (ai 1 , ai 2 ,, ain ), i 1,2,, s 的秩称为矩阵 A 的行秩； a 1j a2 j 矩阵 A 的列向量组 , j 1,2, , n a sj 的秩称为矩阵 A 的列秩.
§3.4 矩阵的秩
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a11 x1 a12 x 2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 0 a x a x a x 0 r2 2 rn n r1 1
（1'）
在(1')中 r n, 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解.
引理
如果齐次线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 0 a x a x a x 0 s2 2 sn n s1 1 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 的系数矩阵 A a a a sn s1 s 2 的行秩 r n，那么它有非零解． (1)
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三、矩阵秩的计算
原理：初等变换不改变矩阵的秩； 阶梯阵的秩等于其中非零行的行数． 方法: 用初等变换化 A 为阶梯阵 J，R( A)等于 J 中非零行的行数. 例1 求下列矩阵的秩
2 0 A 0 0
§3.4 矩阵的秩
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2 5 3 0