立体几何初步复习人教A版高中数学必修第二册优质课件
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[解] 连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了 两个棱锥．
设所求体积为V，显然三棱锥A′-ABC的体积是13V. 而四棱锥A′-BCC′B′的体积为13Sa， 故有13V＋13Sa＝V，即V＝12Sa.
第 8 章 立 体几 何初步 章末复 习-人 教A版（ 2019来自百度文库 高中数 学必修 第二册 课件( 共28张 PPT)
底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，
由正三棱柱的内切球特征，有
1 3
3 ·2
a＝R＝2，解得a＝4
3 .故此三棱
柱的体积V＝12× 23×(4 3)2×4＝48 3.]
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D．16π
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果
这个球的体积是332π，那么这个三棱柱的体积是( )
A．96 3
B．16 3 C．24 3 D．48 3
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(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的
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三、空间点、线、面位置关系的判断与证明
【例3】 如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 互相垂直，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1.
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二、与球有关的切、接问题
【例2】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高
为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )
44 A. 3 π
484 B. 9 π
81 C. 4 π
[证明] (1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，
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第八章 立体几何初步
章末复习课
一、空间几何体的表面积与体积 【例1】 如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角．其中
OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为 1.5 cm2, 1 cm2, 3 cm2，求三棱锥O-ABC的体积．
[解] 设OA，OB，OC的长依次为x cm，y cm，z cm， 则由已知可得12xy＝1.5，12xz＝1，12yz＝3. 解得x＝1，y＝3，z＝2. 将三棱锥O-ABC看成以C为顶点，以OAB为底面． 易知OC为三棱锥C-OAB的高． 于是VO-ABC＝VC-OAB＝13S△OAB·OC＝13×1.5×2＝1(cm3)．
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4, 所以AE＝2 2 ， PE＝6, 所以侧棱长PA＝
PE2＋AE2＝ 62＋2 2 2＝ 44＝2 11. 设球的半径为R, 则PF＝
2R.
由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝
11 3
，所以
S＝4πR2＝4π×1312＝4894π，故选B.
(1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE.
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与球相关问题的解题策略： (1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方 体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角 线，才有利于解题． (2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间 的相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相 关的元素放到这些关系中来解决．
(1)B (2)D [(1)如图，设PE为正四棱锥P-ABCD的高，则正四 棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE 交球面于一点F，连接AE，AF.
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空间几何体的表面积与体积的求法： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意 衔接部分的处理． (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． (3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．
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1．如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，侧面B′BCC′的 面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱 ABC-A′B′C′的体积．
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设所求体积为V，显然三棱锥A′-ABC的体积是13V. 而四棱锥A′-BCC′B′的体积为13Sa， 故有13V＋13Sa＝V，即V＝12Sa.
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底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，
由正三棱柱的内切球特征，有
1 3
3 ·2
a＝R＝2，解得a＝4
3 .故此三棱
柱的体积V＝12× 23×(4 3)2×4＝48 3.]
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D．16π
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果
这个球的体积是332π，那么这个三棱柱的体积是( )
A．96 3
B．16 3 C．24 3 D．48 3
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(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的
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三、空间点、线、面位置关系的判断与证明
【例3】 如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 互相垂直，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1.
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二、与球有关的切、接问题
【例2】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高
为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )
44 A. 3 π
484 B. 9 π
81 C. 4 π
[证明] (1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，
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第八章 立体几何初步
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一、空间几何体的表面积与体积 【例1】 如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角．其中
OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为 1.5 cm2, 1 cm2, 3 cm2，求三棱锥O-ABC的体积．
[解] 设OA，OB，OC的长依次为x cm，y cm，z cm， 则由已知可得12xy＝1.5，12xz＝1，12yz＝3. 解得x＝1，y＝3，z＝2. 将三棱锥O-ABC看成以C为顶点，以OAB为底面． 易知OC为三棱锥C-OAB的高． 于是VO-ABC＝VC-OAB＝13S△OAB·OC＝13×1.5×2＝1(cm3)．
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4, 所以AE＝2 2 ， PE＝6, 所以侧棱长PA＝
PE2＋AE2＝ 62＋2 2 2＝ 44＝2 11. 设球的半径为R, 则PF＝
2R.
由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝
11 3
，所以
S＝4πR2＝4π×1312＝4894π，故选B.
(1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE.
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与球相关问题的解题策略： (1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方 体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角 线，才有利于解题． (2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间 的相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相 关的元素放到这些关系中来解决．
(1)B (2)D [(1)如图，设PE为正四棱锥P-ABCD的高，则正四 棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE 交球面于一点F，连接AE，AF.
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空间几何体的表面积与体积的求法： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意 衔接部分的处理． (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． (3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．
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1．如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，侧面B′BCC′的 面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱 ABC-A′B′C′的体积．
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