多面体外接球半径常见求法
多面体外接球半径常见的5种求法(汇编)
精品文档多面体外接球半径常见的5种求法文/郭军平如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就精品文档 可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球.小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π C D A B SO 1图3A O DB 图4解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD===.∴点O到四面体的四个顶点A B C D、、、的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA==.故3412536V Rππ==球.选C.精品文档。
例谈多面体外接球半径的常见求法
例谈多面体外接球半径的常见求法湖北省荆州市沙市第五中学张胜言求棱锥、棱柱的外接球半径、表面积、体积的问题在近几年各地的高考模拟题和全国高考试题中经常出现，这是高考的重点，也是学生学习的难点.困难表现在两个方面：一是找不到外接球球心的位置，二是如何采用适当的方法求外接球的半径.下面例谈几类多面体外接球半径的常见求法.方法一：首先构造简单的几何体，如长方体、正方体、三棱柱等，易作出这些简单几何体的外接球，从而求解.定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.一、长方体、正方体外接球的半径1.长方体：因为长方体外接球半径是体对角线长的一半，设长方体长、宽、高分别为c b a ,,，外接球半径为R ，则2222c b a R ++=（如图1）.2.正方体：设正方体棱长为a ，外接球半径为R ，则a R 23=（如图2）.二、三棱柱外接球半径1.底面是直角三角形的直三棱柱：把三棱柱补成长方体，易求（如图3）.设底面三角形两直角边长分别为b a ,，直三棱柱高为c ，则外接球半径为R ，则2222c b a R ++=.2.正三棱柱：（如图4），正三棱柱球心O 在两底面中心21O O ，的中点处，设底面边长为a ，高为h ，外接球半径为R ，构造11OO A Rt ∆，则，，R OA hOO ==112a a D A O A 33233232111=⨯==，22233⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=h a R 三、三棱锥外接球半径c bO a 图1O a图2c b O aACB A 1C 1B 1图3AC BO B 1DC 1A 1O 1O 2a h R 图4AB DC图51.三条棱互相垂直的三棱锥：把它补成以这三条互相垂直的棱为长、宽、高的长方体，易求.（如图5）2.三组相对棱分别相等的三棱锥：（如图6），把它补成以这三组棱分别为面对角线的长方体，设c BD AC b AD BC a CD AB ======,,，设长方体长、宽、高分别为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222c x z b z y a y x ，2222222c b a z y x ++=++，()422222222c b a z y x R ++=++=.3.正四面体：设棱长为a ，外接球半径为R ，由2易知a R 46=.例题1：如图7，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，FA 折成一个三棱锥AEF B -（使点D C B ,,重合于点B ），则三棱锥AEF B -的外接球半径为.【解】在正方形ABCD 中，︒=∠=∠=∠90EBA FCE ADF ，所以折成三棱锥后，可将其转化为以)(,,DF BF BE AB 为棱的长方体，62224222=++=∴R 练习1：已知四面体ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，AC AB ⊥，且1=AC ，2==AB PB ，则球O 的体积为.例题2：已知正三棱柱111C B A ABC -的体积为2,32==AB V ，则该三棱柱外接球的表面积为.【解】如图8，设三棱柱的高为h ，3243S 2111=⨯=∆C B A ，2,332,=∴=∴=h h Sh V 11=∴OO ，3322233232111=⨯⨯==D A O A ，3713322221211=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∴OO O A R ，ππ32842==∴R S 练习2：已知三棱柱111C B A ABC -侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱体积Cc b O a D A B x y z图6AB FE图7（2）ACB 1B O DC 1A 1O 1O 2R 图8︒=∠===602AB ,1,62BAC AC V ，，则该球表面积为.方法二：由定义法求多面体外接球半径.这类问题关键是找出球心O 位置：一般地，先在一个面上找到一点1O 到其余各点距离相等，球心O 就在经过点1O 并垂直于该平面的直线l 上，构造出两个直角三角形，利用勾股定理解方程组求出R .例题3：已知三棱锥ABC S -所有顶点都在球O 的球面上，且⊥SC 平面ABC ，若1===AC AB SC ，︒=∠120BAC ，则球O 的表面积为.【解】如图9，作菱形ABCD ，则︒=∠=∠6021BAC DAC 易得ACD∆为正三角形D ∴为ABC ∆外接圆的圆心，⊥∴OD 平面ABC ，又⊥SC 平面ABC ，SC OD ∥∴，过点O 作SC OE ⊥，垂足为E ，R OS OC ==，设x CE OD ==，则x SE -=1，在OSE Rt OCD Rt ∆∆,中有：()⎩⎨⎧=-+=+222222111R x R x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2521R x 所以球的表面积为πππ5254422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==R S .练习3：若三棱锥ABC P -的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A.64π B.32π C.16π D.8π方法三：对于一些特殊的图形，利用其特有的性质找到外接球球心，直接求解.例题4：在三棱锥ABC S -中2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，若C B A S ,,,在同一球面上，则该球的表面积是（）A.68 B.π6C π24 D.π6【解】如图10，2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，在SAB ∆中，由于222SB AB SA =+，故︒=∠90SAB ，同理︒=∠90SCB ，故SB 的中点是三棱锥ABC S -外接球的球心O ，从而半径为26=R ，所以该球的表面积为ππ62642=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ，选D.练习4：已知三棱锥ABC -S 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面⊥SCA 平面SCB ，BC SB AC SA ==，，三棱锥ABC -S 的体积为9，则球O 的表面积为.图9SCRRE BAO D图10AOS CB A FE D CB 图7（1）（附练习题答案：1、29π=V ；2、π36=S ；3、选A ；4、π36）。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.练习1 （2003，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）3π B. 4πC. D. 6π2（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A. 27B. 2C. 8D. 243 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 .4（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截CDAB SO 1图3面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.外接球内切球问题1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123答案 B2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见求法知识回顾：左义1:若一个多而体的各顶点都在一个球的球而上，则称这个多面体是这个球的内接多而体，这个 球是这个多而体的外接球。
宦义2：若一个多而体的各面都与一个球的球而相切，则称这个多而体是这个球的外切多而体，这个 球是这个多而体的内切球。
球心到截而的距离〃与球半径尺及截而的半径『有以下关系： __________________ .球而被经过球心的平而截得的圆叫 _________ •被不经过球心的平而截得的圆叫 __________________ 球的表面积表面积S= __________ :球的体积9= __________ .球与棱柱的组合体问题1. 正方体的内切球：球与正方体的每个而都相切，切点为每个而的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长 为球半径为尺。
如图3,截而图为正方形EFGH 的内切圆，得/? = -：22. 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截而图，圆0为正方形EFGH 的外接圆，易得R = —a 023. 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球而上，如图5,以对角面作截而图得，圆0为一、公式法例1 一个六棱柱的底而是正六边形，苴侧棱垂宜于底而，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为-，底而周长为3,则这个球的体积为8 -----------------------------------------------------------矩形AA.QC 的外接圆,易得R = A }O = 4 ——a2图3图4C1C小结本题是运用公式R2=r2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球而上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16兀B. 20”C. 24兀D. 32龙小结 本題是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法 例3若三棱锥的三个侧而两两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是小结 一般地，若一个三棱维的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为“、b 、c,则就可以将这个三棱 维补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为R ,则有2R = >ja 2 +b 2 +c 2 .变式仁三棱锥O — 4BC 中，OAQBQC 两两垂直，且OA = OB = 2OC = 2a,则三棱锥O-ABC 外接球的表而积为（）四、寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S - ABCD 的底面边长和各侧棱长都为,S 、A. B 、C 、£>都在同一球面上，则此球的体积为 ___________而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究•这种等价转化的数学思 法值得我们学习.变式仁求棱长为a 的正四面体P-ABC 的外接球的表面积变式I:底而边长为后勺正三棱柱外接球的体积为竽，则该三棱柱的体积为五、确定球心位置法C. \2TTU 2D. 24曲'想方1：三棱锥P-ABC中，底IfilAABC是边长为2的正三角形，P4丄底而ABC,且E4 = 2,贝眦三棱锥外接球的半径为（）A. 41B・y[5C・ 2 D・^―3六.构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心泄在上下底而中心连线的中点处，由球心、底而中心及底而一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球是几何学中的概念，它们分别是指一个多面体内部最大的（最小的）球和一个多面体外部最小的（最大的）球。
下面是内接球和外接球的半径计算公式。
（以下解释中，我们以正四面体为例）
内接球半径计算公式：
正四面体的内接球是四面体内部最大的球，它的半径可以通过正四面体的棱长计算得出。
设正四面体的棱长为a，则正四面体的内接球半径R为：
R = a / (2√3)
其中√3表示根号下3，也就是3的平方根。
该公式适用于所有正多面体内接球的半径计算。
外接球半径计算公式：
正四面体的外接球是四面体外部最小的球，它的半径可以通过正四面体的边长计算得出。
设正四面体的边长为a，则正四面体的外接球半径r为：
r = a / (2√6)
其中√6表示根号下6，也就是6的平方根。
该公式同样适用于所有正多面体外接球的半径计算。
需要注意的是，以上公式仅适用于正多面体，对于其他不规则多面体，内接球和外接球的半径计算需要用到其他方法。
多面体的外接球半径的秒杀公式总结
多面体的外接球半径的秒杀公式总结咱今儿个就来说说这个多面体的外接球半径的秒杀公式。
这玩意儿啊，就像是一把神秘的钥匙，能一下子打开那些让人头疼的几何问题的大门。
我就记得啊，那时候我在研究这个多面体的时候，就像个迷失在大森林里的人，到处都是树（那些几何线条啊，就跟树杈似的），眼都看花了。
我瞅着那些多面体，心里就想，这外接球半径到底咋求呢？可不能被它给难住了啊。
咱先来说说正方体吧。
正方体的外接球半径那可就简单了。
我就想啊，正方体就像一个规规矩矩的盒子，那外接球的直径就是正方体的体对角线。
我当时就像发现了新大陆一样，眼睛都亮了起来。
我对旁边的人说：“你看这个正方体啊，它的外接球半径就等于体对角线的一半啊。
”那人还不信呢，我就拿笔在纸上画给他看，边画边说：“你看啊，这体对角线就像一条大道，直接把正方体和外接球给串起来了。
”再说说长方体吧。
长方体和正方体有点像亲戚，不过稍微复杂点。
长方体的外接球半径也是跟它的体对角线有关。
我在琢磨这个的时候，就像个老中医在研究一种疑难杂症的药方。
我皱着眉头，嘴里还嘟囔着：“这长方体啊，它的长宽高都不一样，可这体对角线还是关键啊。
”最后得出结论的时候，我那得意劲儿就别提了，我跟周围的人说：“这长方体的外接球半径啊，就是体对角线除以2，体对角线就是长的平方加宽的平方加高的平方再开根号。
”还有正三棱柱呢。
这正三棱柱就有点像一个三棱柱站得笔直笔直的。
它的外接球半径的求法啊，可把我折腾了好一阵子。
我就盯着那正三棱柱的模型看，眼睛都不眨一下，感觉眼睛都快干巴了。
后来我发现啊，这里面有个小窍门。
我拉着一个朋友就开始讲：“你看啊，这个正三棱柱的外接球半径，得先找到底面三角形的外接圆半径，再结合棱柱的高来算。
这里面的关系就像一根绳子把它们都串起来了，可不能马虎。
”棱柱、棱锥啥的也都有自己的小秘密。
有时候我觉得这些多面体就像一个个小怪物，每个都有自己的脾气。
我在找这些外接球半径公式的时候，就像在跟它们交朋友，得慢慢摸清它们的底细。
内接球和外接球公式
内接球和外接球公式内接球和外接球是几何学中的两个重要概念，它们分别是指一个多面体内切于多面体的最大球和一个多面体外接于多面体的最小球。
这两个球的半径和体积可以通过公式计算得出。
内接球公式对于一个正多面体，它的内接球半径r可以通过以下公式计算得出：r = a/2 * √(n/(n+2))其中a为正多面体的边长，n为正多面体的面数。
这个公式可以用于计算正四面体、正八面体、正十二面体等多面体的内接球半径。
对于一个正六面体，它的内接球半径r可以通过以下公式计算得出：r = a/2其中a为正六面体的边长。
这个公式可以用于计算正六面体的内接球半径。
对于一个球体，它的内接球半径r等于球体半径的一半，即：r = R/2其中R为球体半径。
这个公式可以用于计算球体的内接球半径。
外接球公式对于一个正多面体，它的外接球半径R可以通过以下公式计算得出：R = a/2 * √(n/(n-2))其中a为正多面体的边长，n为正多面体的面数。
这个公式可以用于计算正八面体、正十二面体等多面体的外接球半径。
对于一个正四面体，它的外接球半径R可以通过以下公式计算得出：R = a/2 * √2其中a为正四面体的边长。
这个公式可以用于计算正四面体的外接球半径。
对于一个球体，它的外接球半径R等于球体半径，即：R = r其中r为球体的内接球半径。
这个公式可以用于计算球体的外接球半径。
总结内接球和外接球是几何学中的两个重要概念，它们分别是指一个多面体内切于多面体的最大球和一个多面体外接于多面体的最小球。
这两个球的半径和体积可以通过公式计算得出。
对于不同的多面体，内接球和外接球的公式也不同。
掌握这些公式可以帮助我们更好地理解多面体的性质和特点。
多面体外接球万能公式
多面体外接球万能公式
外接球意指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上。
正多面体各顶点同在一球面上，这个球叫做正多面体的外接球
外接球万能公式=4π/3*（d/2）3，长方体一定有外接球，外接球的球心即其体对角线的交点，半径为体对角线的一半。
正方体既有内切球，也有外接球，球心都是体对角线的交点，内切球的半径为棱长的一半，外接球的半径为体对角线的一半。
正三棱锥外接球心在顶点与底面重心的连线的距底面1/4处。
长方体外接球的直径=长方体的体对角线长。
正方体外接球的直径=正方体的体对角线长。
多面体外接球半径常见的5种求法
多里体中接球半径罕睹的5种供法之阳早格格创做如果一个多里体的各个顶面皆正在共一个球里上，那么称那个多里体是球的内接多里体，那个球称为多里体的中接球.有闭多里体中接球的问题，是坐体几许的一个沉面，也是下考考查的一个热面.钻研多里体的中接球问题，既要使用多里体的知识，又要使用球的知识，而且还要特天注意多里体的有闭几许元素取球的半径之间的闭系，而多里体中接球半径的供法正在解题中往往会起到至闭要害的效率.公式法例1 一个六棱柱的底里是正六边形，其侧棱笔曲于底里，已知该六３，则那个球的体积为.解∴中接球的时常使用公式.多里体几许本量法例2 已知各顶面皆正在共一个球里上的正四棱柱的下为4，体积为16，则那个球的表面积是解选C.小结原题是使用“正四棱柱的体对于角线的少等于其中接球的曲径”那一本量去供解的.补形法例3的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱二二笔曲，∴把那个三棱锥不球.小结普遍天，若一个三棱锥的三条侧棱二二笔曲，且其少度分别为觅供轴截里圆半径法例4积为.解的球心为1所示.∴由球的截里的本量，可得.接球的半径.CDA BSO1图3小结根据题意，咱们不妨采用最好角度找出含有正棱锥特性元素的中接球的一个轴截里圆，于是该圆的半径便是所供的中接球的半径.原题提供的那种思路是探供正棱锥中接球半径的通解通法，该要领的真量便是通过觅找中接球的一个轴截里圆，进而把坐体几许问题转移为仄里几许问题去钻研.那种等价转移的数教思维要领值得咱们教习.决定球心位子法例5解对于角线互的四个顶面球的球心，如图2所示.选C.A ODB图4。
外接球半径求法
外接球半径求法
外接球半径是指一个几何体的外接球的半径，它可以通过该几何体的某些特征来求解。
以下是几种常见的求解方法：
1. 对于正四面体、正六面体、正八面体等正多面体，其外接球半径可以直接通过公式计算得出。
例如，对于正四面体，其外接球半径R等于边长a乘以根号2除以4，即R=a√2/4。
2. 对于任意三角形ABC，其外接圆的半径R可以通过三角形的三边长度a、b、c来计算。
具体而言，可以使用海伦公式计算三角形的面积S，然后通过公式R=abc/4S求解外接圆半径R。
其中a、b、c分别为三角形的三边长度。
3. 对于任意四面体ABCD，其外接球半径可以通过四个顶点之间的距离来计算。
具体而言，假设四个顶点分别为A、B、C和D，则可以先计算出任意两个顶点之间的距离（如AB、AC等），然后使用这些距离来计算四面体各个侧面上三角形的面积，并使用这些面积来计算四面体总表面积S。
最后使用公式R=abc/4S求解出外接球半径R。
以上是几种常见的求解外接球半径的方法，不同的几何体可能需要使
用不同的方法来求解。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来计算外接球半径。
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法
高三微专题：外接球一、由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt △用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r 可根据正弦定理求得）．二、球体公式1.球表面积S=4π2R 2.球体积公式V=334Rπ三、球体几个结论：（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长 （2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 （3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角） （4）正三棱锥对棱互相垂直四、外接球几个常见模型 1.长方体（正方体）模型O例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）答案：14练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 答案：12π2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上半径公式：222)(r R h R +-=（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是____. 【解析】正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为．正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，，，，在中，，由勾股定理得．所以，球的表面积.练习2．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .解析：ABC ∆外接圆的半径为 ，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22==R ，外接球半径32=R ，或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V 3. 侧棱与底面垂直锥体（直棱柱，圆柱）(1) 侧棱与底面垂直：球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面交汇处（高的一半处）半径公式：222)2(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)(2) 直棱柱(圆柱)球心位置：上下底面外心连线中点处公式公式：222)2(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)例3.在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解析：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ， ∴310,)2(2222=+=R SA r R ，340π=S ，选D 练习3（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
计算正二十面体的外接球半径
计算正二十面体的外接球半径正二十面体是一种具有整齐对称性的多面体，它由20个等边三角形构成，每个顶点都与其他五个顶点相连。
在几何学中，正二十面体具有很高的美学价值和数学意义。
本文将介绍如何计算正二十面体的外接球半径。
为了计算正二十面体的外接球半径，我们首先需要了解正二十面体的性质。
正二十面体的每个顶点处都有五个等距的顶点相连，形成了一个具有对称性的网格结构。
这意味着正二十面体的边长和外接球半径之间存在一定的关系。
设正二十面体的边长为a，外接球半径为R。
我们可以利用三角学的知识来求解R的值。
首先，我们知道正二十面体的底面是一个等边三角形。
根据等边三角形的性质，底面的边长a与高的关系可以表示为：a² = h² + (a/2)²其中，h为底面的高。
由此可以得到底面的高：h = √(a² - (a/2)²) = √(4a² - a²) = √(3a²)接下来，我们考虑正二十面体的一个三角形面片，它的边长为a，高为h。
根据三角形的性质，底边的一半为a/2，高为h，可以表示为：R = √((a/2)² + h²)将h的值代入上式，得到：R = √((a/2)² + 3a²) = √(a²/4 + 3a²) = √(13a²/4)因此，正二十面体的外接球半径R可以表示为13a/4。
以上就是计算正二十面体外接球半径的方法，我们根据正二十面体的性质和三角学的知识，推导出了R = 13a/4的表达式。
通过测量正二十面体的边长a，我们可以轻松计算出外接球的半径。
需要注意的是，这里的a是正二十面体的边长，而不是外接球的直径或半径。
为了得到准确的结果，确保测量的边长a是正二十面体边上的直线距离。
总结起来，计算正二十面体的外接球半径可以利用三角学的知识，通过测量边长a来求解。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见得5种求法如果一个多面体得各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体就是球得内接多面体,这个球称为多面体得外接球、有关多面体外接球得问题,就是立体几何得一个重点,也就是高考考查得一个热点。
研究多面体得外接球问题,既要运用多面体得知识,又要运用球得知识,并且还要特别注意多面体得有关几何元素与球得半径之间得关系,而多面体外接球半径得求法在解题中往往会起到至关重要得作用.知识回顾:1、球心到截面得距离d与球半径R及截面得半径r有以下关系２、球面被经过球心得平面截得得圆叫.被不经过球心得平面截得得圆叫3、球得表面积表面积S＝;球得体积V＝4、球心一定在过多边形(顶点均在球面上)外接圆圆心且垂直此多边形所在平面得垂线上方法一:公式法例１一个六棱柱得底面就是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上,且该六棱柱得体积为,底面周长为３,则这个球得体积为。
解设正六棱柱得底面边长为,高为,则有∴正六棱柱得底面圆得半径,球心到底面得距离.∴外接球得半径。
、小结:本题就是运用公式求球得半径得,该公式就是求球得半径得常用公式.(R—球得半径;d—球心到球截面圆得距离,注意球截面圆通常就是顶点在球上多边形得外接圆;ｒ－顶点在球上多边形得外接圆得半径)方法二:多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为4,体积为1６,则这个球得表面积就是( )A. B. Ｃ。
Ｄ。
解:设正四棱柱得底面边长为,外接球得半径为,则有,解得、∴。
∴这个球得表面积就是。
选C。
小结:本题就是运用“正四棱柱体(包括正方体、长方体)对角线得长等于其外接球得直径"这一性质来求解得、方法三:补形法例３:若三棱锥得三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是、解:据题意可知,该三棱锥得三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为得正方体,于就是正方体得外接球就就是三棱锥得外接球、设其外接球得半径为,则有。
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习高考数学：内切球和外接球问题多面体的顶点都在同一球面上时，称该多面体为球的内接多面体，该球为多面体的外接球。
多面体外接球问题是立体几何的重点，也是高考的热点，考查学生的空间想象能力和化归能力。
解决该问题需要运用多面体和球的知识，并特别注意多面体的几何元素与球的半径之间的关系。
多面体外接球半径的求法在解题中往往起到至关重要的作用。
一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1：若正方体的棱长为3且顶点都在同一球面上，求该球的表面积。
解析：要求球的表面积，只需知道球的半径。
由于正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。
故表面积为27π。
例2：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为多少？解析：要求球的体积，还需先求出球的半径。
由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线长为3√3.因此，该球的半径为3，故该球的体积为36π。
2、求长方体的外接球的有关问题例1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则该球的表面积为多少？解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为√14，故球的表面积为14π。
例2：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则该球的表面积为多少？解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2、2、4.故该球的表面积为24π。
3、求多面体的外接球的有关问题例：一个底面为正六边形的六棱柱，侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，则该球的体积为多少？解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h。
由底面周长可得x=3/6=1/2，由体积可得h=4/3.因此，正六棱柱的底面圆的半径为√3/2，外接球的半径为√13/2.故该球的体积为(52/3)π。
克列尔公式求外接球半径
克列尔公式求外接球半径克列尔公式求外接球半径克列尔公式源于18世纪法国数学家克列尔的研究，该公式用于计算一个正四面体外接球的半径。
由于正四面体是一种重要的多面体，而外接球半径又是其重要参数之一，因此克列尔公式被广泛地应用于物理、化学、材料科学等领域。
下面将详细介绍克列尔公式的原理、推导和应用。
一、克列尔公式的原理正四面体是一种多面体，具有4个面、6条棱和4个顶点。
如果在正四面体的每个面上取一个点，那么这4个点的凸包就是该正四面体。
同时，如果在正四面体外部构造一个球，该球可以切到正四面体的每个面上且仅切到各个面的一个点上，那么这个球就是该正四面体的外接球。
在任意一个正四面体中，外接球的半径都可以由克列尔公式计算得到。
二、克列尔公式的推导设正四面体ABCD中，A点到外接球的球心O的距离为R，边长为a，则有：AB = AC = AD = aBC = BD = a√2CD = a√3设O为球心，OA = OB = OC = OD = R，则有：∠AOD = 3π/2，∠BOC = π/2，∠AOC = ∠BOD = π/3，则△AOD、△BOC、△AOC、△BOD都是等边三角形。
设M为OA的中点，则有：OM = OA/2 = R/2AD = a√3/3 = 2OM，即 AD/OM = 2∠AOD = 3π/2，∠ADO = π/6△AMO、△ADO相似，则有：AD/OA = OM/AMAD/R = R/2OM2R³ = a³ + 4OM³R³ = a³/(2√3)由此可得：R = a/√6三、克列尔公式的应用克列尔公式的应用非常广泛，特别是在物理、化学和材料科学等领域。
例如，利用克列尔公式可以计算出各种晶体的晶格常数、原子半径和空隙率等参数，进而进一步研究晶体结构和物理性质。
此外，该公式还可以用于诸如密排球堆、分子包装和天然晶体形态等问题的计算。
综上所述，克列尔公式是一种极其重要的数学工具，它不仅有着理论上的重要性，还具有广泛的实际应用价值。
多面体外接球半径常见的五种求法
多面体外接球半径常见的5种求法文/xx如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为３，则这个球的体积为.86x3,1x,x2解设正六棱柱的底面边长为，高为h，则有932xh,64h3．8∴正六棱柱的底面圆的半径r31，球心到底面的距离d.∴外接球的半径22R r2d21.V球4.3222小结本题是运用公式R r d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x16，解得x2.∴2R 222224226,R6.∴这个球的表面积是4R224.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有2R223232329.∴R29.4故其外接球的表面积S4R9.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R a2b2c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD.DCO1图3BS又SO1平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线xx.∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASCxx，由SA SC A2，AC2，得SA2SC2AC2.∴ASC是以AC为斜边的Rt.∴AC4.1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球23小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为125125A.B.C.D.12963解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半541253.选C.径R OA.故V 球R236DCBAO图4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多面体外接球半径常见的5种求法
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
公式法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98
，底面周长为３，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h
，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =
，球心到底面的距离d =
.
∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.
∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法
例3
，则其外接球的表面积是 .
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一
.
设其外接球的半径为R ，则有(
)
222229R =
++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R =.
寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥S ABCD -
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球
心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.
又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.
∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在ASC ∆
中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.
∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43
V π=球. C
D A B S O 1
图3
小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
确定球心位置法
例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256
π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点
A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2
所示.∴外接球的半径5
2R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. A O D
B 图4。