结构动力学习题解答一二章

2 2

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第一章单自由度系统

1、1总结求单自由度系统固有频率的方法与步骤。 单自由度系统固有频率求法有 ：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法与能量守

恒定理法。

1、 牛顿第二定律法

适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤:(1)对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；

(2) 利用牛顿第二定律 mx F ,得到系统的运动微分方程； (3)

求解该方程所对应的特征方程的特征根

,得到该系统的固有频率。

2、 动量距定理法

适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1)对系统进行受力分析与动量距分析

；

(2)利用动量距定理J M ,得到系统的运动微分方程；

(3)

求解该方程所对应的特征方程的特征根

，得到该系统的固有频率。

3、 拉格朗日方程法：

适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：(1)设系统的广义坐标为 ，写出系统对于坐标 的动能T 与势能U 的表达式；进一

步写求出拉格朗日函数的表达式

：L=T-U ；

(2) 由格朗日方程

(丄) 丄=0,得到系统的运动微分方程；

dt

(3)

求解该方程所对应的特征方程的特征根

，得到该系统的固有频率。

4、 能量守恒定理法

适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。

解题步骤：(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能 T 与势能U

的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式

T+U=Const

(2)

将能量守恒定理 T+U=Co nst 对时间求导得零，即吨 ® 0,进一步得到系统

dt

的运动微分方程；

(3)

求解该方程所对应的特征方程的特征根

，得到该系统的固有频率。 1、2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个 ：衰减曲线法与共振法。

方法一：衰减曲线法。

求解步骤：(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线

，并测得周期与相邻波峰与波谷的

幅值A、A1。

A

(2) 由对数衰减率定义ln( '-), 进一步推导有

A i 1

因为较小，所以有

2

方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。

（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：

⑵分析以上幅频曲线图，得到:

于就是

进一步

最后

1、3叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。

用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法与功率法。

方法一：幅频（相频）曲线法

当单自由度系统在正弦激励F0sin t作用下其稳态响应为：

x Asin( t ),

1,2 max

/、

• 2

2 /4;

1 /

2 n /2

其

中：

F o

2

4n2

x st

,1 2 4 2 2

arctan 2 ~11

(1

(1

(1)

⑵

从实验所得的幅频曲线与相频曲线图上查的相关差数,由上述（1）,（2）式求得阻尼

比

万法二：功率

法：

(1) 单自由度系统在F0sin t作用下的振动过程中,在一个周期内,

弹性力作功为W c

阻尼力做功为W d c A2

激振力做作功为W f F o sin

(2) 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力与激振力在一个周期内所作功为零

W c+W d+W f 0；

于就是F o sin c A20

进一步得：A F0 sin , c ;

(3)时，

sin

1,

A max x st ：2,

max

2 max 0

1、4 (1) 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。此系

统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、

k2竺已；等效刚度为

L3

简支梁

刚度为k;有

k1

右;k

k2

48Elk

48EI k1l3

L/2

m

k2

L/2

则固有频率为

k

m

3

48 EIl

3

48 EI k1l m

图1-33 (a)

⑵此系统相当于两个弹簧串联，等效刚度为：

48EI

k k1

则固有频率为：

⑶系统的等效刚度为

m L/2

k1l348EI

ml

图1-33 (b) k1k

m

结构动力学习题解答一二章

k k1

3EI

l3

k i

3EI

则系统的固有频率为

⑷

3 3EI

ml3图1-33

(C)

由动量距定理m

。

F I o得

(Il

2

1 1

匕11 11

2 2

k11 . 1 ,2

l )= ml 2 2

得：k10 ,

2m

则k1

\ 2m

o

k i k i 1、5求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮

图1-33(d)

A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为解：以为广义坐标，则

系统的动能为

T T重物T轮子

1 P

一()

2 2g

R2)

g

P —

—x

4g

P 2 —

—x 4g 图1-34

P 2

x 2g

系统的势能能为：

U重物U弹簧Px -kx

2

拉格朗日函数为

L=T-U;

由拉格朗日方程(丄)

dt x

P

—x kx 0

g

所以：系统的固有频率

为