电工学 第二章正弦交流电路

e = Em sin (wt + j e )
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
结论： 1. p≧0 （耗能元件） 2. p随时间变化
p
wt
(1-26)
平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
& U
(1-36)
关于容抗的讨论 容抗
电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。
XC= wC
1
是频率的函数，表示电容的电压、
+ -e
w=0时
XC=∞
+ -E
直流
(1-37)
总结功率关系
p = i u = -2UI sinwt· coswt =-UI· sin2wt
i
u
结论：纯电 容也不消耗 能量；只和 电源进行能 量交换；计 算其平均功 率为零。
（一）、RLC串联电路
i
R
根据KVL：u= uR + uL +uC
uR
则： U = UR+UL+UC
结构约束的相 量形式
.
.
.
.
u
L C
uL
uC
(1-42)
（二）、RLC串联电路电流和电压关系
设
则
i =Im sinwt
= sinwt 2I
uR =Ri=R Im sinwt uL = wLImsin（wt+90º ） uC= （1/wC）Imsin（wt-90º ）
i u
P>0
充电 储存 能量
i
u
放电
i u
p
放电
P<0
释放 能量
充电
(1-38)
无功功率Q：电容瞬时功率所能达到的最大值。用
以衡量电容电路中能量交换的规模。
因为：
p = i u = -2UI sinwt· coswt =-UI· sin2wt
所以：
Q =UI=I2 XC =U2/XC
Q
的单位： 乏、千乏(var、kvar) 电容性无功功率取负值 电感性无功功率取正值
UL = I（jXL ）
UC = I（- jXC ）
. .
.
.
.
.
U= I R+ I(j XL ) + I(-j XC)
=I(R+ j XL－j XC)
(1-44)
.
总电压与总电流 的相量表示式
令:Z = R+ j (XL－ XC ) 称为复数阻抗,单位是欧姆Ω
实部为“电阻” Z： 虚部为“电抗” 感抗 容抗
j ：初相位
(1-4)
i
T
w：角频率，每秒变化的弧度 T：周期， 变化一周所需的时间 f：频率， 每秒变化的次数
wt
单位：（弧度/秒）rad/s 单位：s 单位：Hz
1 f= T
2p w= T = 2pf
(1-5)
小 常 识
* 电网频率： 中国 50 Hz
美国 、日本 60 Hz
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
一、电阻电路
根据欧姆定律
单一参数的交流电路
u
i
R
u = iR
设
则
i =Im sinwt
= sinwt 2I
(1-24)
u =Ri=R Im sinwt
总结电流、电压的关系
i =Im sinwt
= sinwt 2I
2.相位相同 与直流电 路相同
u =Ri=R Im sinwt
1. 频率相同
3. 有效值关系：U =I R 4. 相量关系：
电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。
+ _
R
ω =0时 XL = 0
L 直流
R
+ _
E
R
e
ω= 时
XL =
+ _
e
(1-31)
总结功率关系
p = i u = 2UI sinwt· coswt =UI· sin2wt u
i
wt i
结论：纯电 感不消耗能 量；只和电 源进行能量 交换；计算 其平均功率 为零。
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量图运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 相量 复数表示法 复数运算
(1-17)
相量的复数表示法
将复数 U 放到复平面上，可如下表示： &
i
u u
i u
i
u
P
+
P >0
储存 能量
P <0
释放 能量
+
P >0
P <0
wt
(1-32)
无功功率Q：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。
因为：
p = i u = 2UI sinwt· coswt =UI· sin2wt
所以：
Q =UI=I2 XL =U2/XL
Q
的单位： 乏、千乏(var、kvar)
求：
i
、u 的相量
(1-19)
解：
& = 141.4 30 = 100 30 I 2
A
& = 311.1 - 60 = 220 - 60 U 2 & I 相量图 100 p /6 -p / 3
220

V
& U
(1-20)
正 误 判 断
& ？ u = 100sinω t = U
因为：u= uR + uL +uC 所以：u= R Im
sinwt + wLImsin（wt+90º ）+
(1-43)
（1/wC）Imsin（wt-90º ）
. I R
.
.
.
.
因为：
U = UR+UL+UC
（参考相量） I = I∠ 0°
.
. .
UR
UL UC
. .
.
若设
U
.
L C
则：
.
.
UR= I R
(1-10)
有效值：用大写字母表示，如 U、I、E 有 效 值 概 念 则有
热效应相当

T
0
i R dt = I RT
2
2
交流
直流 适用于周期性 变化的量
I=
1 T

T
0
i dt
2
若： i = Im sin (wt + j )
可得
Im I = 2
(1-11)
问题与讨论 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用 于 220V 的线路上?
j1 = j 2
j1
j2
i1
t
Dj=j1-j20
i2 j1 j2
t
Dj=j1-j20
(1-9)
三、正弦量的有效值
最大值 瞬时值
i = Im sin (wt + j )
但是，在工程应用中常用有效值表示交流物理
量的大小。常用交流电表指示的电压、电流读数，
就是被测物理量的有效值。标准相电压220V，也是 指供电电压的有效值。
最大值相量
& Um
& U
j
有效值相量
相量符号包含幅度与相位信息。
(1-15)
正弦量计算
例
已知：
i 1= I 1 m sin (wt + j1 )
i 2= I 2 m sin (wt + j2 )
求：
i 1+ i 2
&2 I
& I
同频率正弦波的 相量画在一起， 构成相量图。
j
j2
j1
&1 I
(1-16)
感抗（Ω ）
定义： XL=
U= I· L X
(1-29)
4.相量
& = I 0A I . & = U90 = IωL90 U & & U = j XLI
.
& U
& I
(1-30)
j 是90°旋转因子。+j逆时 针转90°，-j顺时针转90°
关于感抗的讨论 感抗（XL =ωL）是频率的函数， 表示电感的电压、
1 T 1 T P = p dt = u i dt T 0 T 0
大写
1 T 2 = 2 UI sin ωt dt T 0 1 T = UI(1 - cos2ω t)dt =UI T 0
与直流电路相同
P= U I
(1-27)
二、电感电路
电感元件的伏安特性
i
u
L
di u =L dt
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法
(1-13)
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的 有向线段在纵轴上的投影值来表示。 u =Um sin (wt+j )
ω j Um
wt
j
矢量长度 = Um 取有向线段
矢量与横轴夹角 = 初相位 j
(1-14)
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
相量的书写方式
(1-33)
三、电容电路
电容元件的伏安特性
i u
C
du i =C dt
设
u =Umsinwt = sinwt 2U du 则i=C = 2 wC Ucoswt dt = 2 wC Usin（wt+90º ） = Imsin（wt+90º ）
(1-34)
总结电流、电压的关系
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （i 领先u90 °） 3. 有效值 定义：
瞬时值
复数
(1-21)
正 误 判 断
已知：
i = 10 sin(ω t + 45 )

10 I= 45 2
有效值
？
(1-22)
正 误 判 断
已知：
& = 100 50 I

则：
i = 100 sin ( ω t + 50 ) ？
最大值
I m = 2I = 100 2
(1-23)
第三节
则
U=IZ
.
.
欧姆定律的 相量表示式
总之：在正弦交流电路中，只要物理量用相量表 示,元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式 与直流电路相似。
(1-45)
说明：
Z = R+ j (XL－ XC )
Z 是一个复数计算量，但并不是相量，上面不能 加点。Z 在方程式中只是一个运算工具。
∠ U U ju = Z ∠j Z= . = I ∠ji I
设
i =Im sinwt = sinwt 2I di 则u=L = 2 wLIcoswt dt = 2 wLIsin（wt+90º ） = Umsin（wt+90º ）
(1-28)
总结电流、电压的关系
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 领先 3. 有效值
i
90 °）
U =I· wL wL
j
& U
U
φ a +1
b
U = a2 + b2 j =arctg b a
U =a +jb = U cos j + jU sin j
(1-18)
.
. jj U = Ue . U = U j
相量表示举例
指数形式 极坐标形式
已知:
π i = 141.4sin 314t + A 6 π u = 311.1sin 314t - V 3
第二章
正弦交流电路
(1-1)
正弦交流电路：是指含有正弦电源（激励）而且电 路各部分所产生的电压和电流（响应）都是随时间 按正弦规律变化的电路。 正弦交流电由交流发电机、正弦信号发生器得到
正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于运算； 有利于电器设备的运行； 正弦量一般数学表达式为：
i = Im sin (wt + j i) u = Um sin (wt + j u )
1 XC = wC
容抗（Ω ）
U= I· C X
(1-35)
4.相量
& = I 0A I 1 U = U - 90 = I - 90 = I XC - 90 ωC & & U= -j XC I
& I
.
j 是90°旋转因子。+j逆时 针转90°，-j顺时针转90°
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
(1-6)
初相位： t = 0 时的相位，或称为初相角。 i
wt
j 通常用小于180O 角度表示
说明：初相位给出了观察正弦波的起点或参考 点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。
(1-7)
二、相位差：两个同频率正弦量的相位角之差。
i1 j1 i2 wt
j2
i 1= I m 1 sin (wt + j1 )
i 2= I m 2 sin (wt + j2 )
相位差等于它们 的初相位之差
j＝(w t + j1 ) － (w t + j2 )＝ j1－j2
(1-8)
两种正弦信号的相位关系
同 相 位 相 位 超 前 相 位 滞 后
i2
j2 j1 i2
t
i1 i1
~ 220V
电器
最高耐压 =300V
有效值 U = 220V 电源电压