离散变量优化问题

6 x2
30 4
x1, x2 0
求出松弛问题最优解：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
x* (x1, x2 ) (18 / 11, 40 / 11)
Z (0) 218 / 11 19.8
即 Z（0）也是离散问题目标函数的上限。
例：用分枝定界法求解整型优化问题（用图解法计算）：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1, x2 0且全为整数
首先去掉整数约束，变为一般线性优化问题（松弛问题），记为
LP：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
将（LP2）划分为（LP21）和（LP22）,取 x2 3, x2 4 。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP21)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
2
x2
3
max Z x1 5x2
x1 x2 2
( IP 22)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x2
4
现在只要求出（LP21）和（LP22）的最优解即可。
x（i 1）=xi(0) i 1, 2,L , n
第2个至 n 1 个顶点：
x（i j+1）
x(0) i
i 1, 2,L , n; i j;
x（j+1） i
xiL
i j 1, 2,L , n
第n 2 至 2n 1 个顶点：
x x （n+j+1） (0)
i
i
i 1, 2,L , n; i j;
离散变量优化方法
离散变量优化难点：不存在指导搜索过程的最优性条件。
直接方法：枚举法（enumeration）。可行点过多时，计算量大。
减少计算量：随机思想（stochastic ideas）、启发式原则（heuristic rules）。
两种基本方法： （隐式）枚举法：如，分枝定界法（the branch and bound algorithm）； 随机或进化方法：如，模拟退火算法、遗传算法等。
的几何中心点的方向向量为搜索方向 s ，其各分量为：
si
x(c) i
x(b) i
i 1, 2,L , n
x(c) i
1 K 1
K j 1
x(j) i
i 1, 2,L , n
jb
式中，x(c) ——除最坏顶点 x(b) 后其他顶点的几何中心。
新点各分量值为：
x(t) i
x(b) i
T gSi
i 1, 2,L , n
先求（LP21）,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
( IP 21)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
2
x2
3
在D 点取得最优解。
x1＝12 / 5 2.4, x2 3, Z 21＝87 / 5 17.4
求（LP22），如图所示。 无可行解，不再分枝。
max Z x1 5x2
将这两个约束条件,分别加入问题B,求两个后继规划问题B1和B2, 不考虑整数条件求解这两个后继问题.
（2）定界 以每个后继问题为一分枝标明求解结果,在解的结果中,找出最优 目标函数值最大者作为新的上界.从已符合整数条件的各分支中, 找出目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界为0.
（3）比较与剪枝
得最优解：
x1＝2, x2 3, Z 211＝17
求（LP212）
max Z x1 5x2
x1 x2 2 5x1 6x2 30
(IP212)
x1 x1
4 2
x2
3
x1
3
如图所示，此时F 在点取
得最优解：
x1＝3, x2 2.5, Z 212＝31 / 2 15.5
找到 最优
XD ——离散设计空间；XC ——连续设计空间；
RD和RC ——分别表示离散子空间和连续子空间。
以复合形法为基础发展而来，使之能在离散空间中直接搜索 离散点，从而满足求解离散变量优化问题的需要。
基本思想：通过对初始复合形调优迭代．使新的组合形不断 向最优点移动和收缩，直至满足一定的终止条件为止。
下面分五个部分介绍离散变量组合形法： （1）初始离散组合形的产生 （2）离散一维搜索 （3）约束条件处理 （4）组合形的调整 （5）收敛准则
先求（LP211）
max Z x1 5x2
x1 x2 2 5x1 6x2 30
(IP211)
x1 x1
4 2
x2
3
x1
2
先求（LP211）
max Z x1 5x2
x1 x2 2 5x1 6x2 30
(IP211)
x1 x1
4 2
x2
3
x1
2
如图所示，此时E 在点取
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
此时B在点取得最优解。 x1＝1, x2 3, Z 1＝16
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
分枝定界法基本思想： 设有最大化的整型优化问题A，相应有松弛问题B，从解松弛问题 B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数
必是A的最优目标函数 z * 的上界，记作 z ；而A的任意可行解
的目标函数值将是 z * 的一个下界，记作 z 。
二维离散组合形的初始顶点
j 1, 2,L , n
x =x j 1,2来自百度文库L , n
（2+1） L
2
2
x （n+j+1） i
xiU
i j 1, 2,L , n
§9.3.2 离散一维搜索
对初始组合形各顶点目标函数值排序，最大值处为最坏顶点，最小值处 为最好顶点。
离散一维搜索以最坏点为基点，设标号为 b ，以最坏顶点至其余各顶点
x1 x2 2
( IP 22)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
x2
4
LP21取得最优解：
x1＝12 / 5 2.4, x2 3, Z 3＝87 / 5 17.4
且有 Z 3 Z 1
剪枝
x1＝2.4不是整数，可继续分枝，令 x1≤2， x1 ≥3。
将（LP21）划分为（LP211）和（LP222）,取 x1 2, x1 3 。
x(t) i
x(t) i
i 1, 2,L , p
式中，T ——离散一维搜索步长因子；
g ——对离散变量取最靠近的离散值 qij 。
§9.3.2 离散一维搜索（续）
离散一维搜索采用进退对分法。
1）令 T1 T T0，R=1 ；
2）求新点 x(t) ； 3）若 x(t)点较 x(b)点好，则 x(b) =x(t) ，否则 R 0 ；
§9.3 分枝定界法（the branch and bound algorithm）
引入概念：松弛问题。
以整型优化问题为例：
松弛问题：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5x1
x1
6
x2
30 4
x1, x2 0且全为整数
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
求（LP2）,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
在C 点取得最优解。
x1＝2, x2 10 / 3, Z 2＝56 / 3 18.7
∵Z (2)>Z(1) =16 ， ∴原问题可能有比（16）更大的最优解； 但 x2 不是整数，故利用 x2 ≤3 ， x2 ≥4 加入条件。
松弛问题最优解： x* (x1, x2 ) (18 / 11, 40 / 11)
Z (0) 218 / 11 19.8
对于x1＝18 / 11 1.64， 取值x1 1，x1 2 对于x2 40 / 11 3.64， 取值x2 3，x2 4
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）, 取 x1 1, x1 2。
max Z x1 5x2
x1 x2 2 5x1 6x2 30
(IP211)
x1 x1
4 2
x2
3
x1
2
max Z x1 5x2
x1 x2 2 5x1 6x2 30
(
IP
212)
x1 x1
4 2
x2
3
x1
3
现在只要求出（LP211）和（LP222）的最优解即可。
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法，
逐步减小 z ，增大 z ，最终求到 z *。
z z* z
三个基本操作：
（1）分枝
在松弛问题B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j ,其
值为 b j ,以 [bj ] 表示小于 b j 的最大整数。构造两个约束条件
x j [bj ] 和 x j [bj ] 1
设已找到下界Zi0：
讨论子问题Lk : 若 Lk 的最优值 Zk Zi0，剪枝 若 Lk 的最优值 Zk Zi0； (1)最优解X *k 是整数解 将下界改为 Z k ,关闭Lk (2)最优解X *k 不是整数解 继续对Lk 分枝
当所有的子问题均被关闭或剪枝后
目标函数值最大的整数解既为所求的最优解
解
几点注意事项：
（1） 若分枝后得到整数解，则这枝不必再分枝； （2） 若分枝后得到非整数解, 如果比整数解更好，则这枝 继续分枝； （3） 若分枝后得到非整数解, 如果比整数解更差，则这枝 不必再分枝。
§9.3 离散变量优化——组合形法
离散变量数学模型的一般形式：
min f ( x)
x Rn
各分支的最优目标函数中若有小于 z ，则剪掉这枝；若大于 z
且不符合整数条件，则重复前两步，直到找到最优解。
分枝定界法计算过程：
上界
讨论松弛问题L0 : 1、L0无最优解，则(IP)无最优解 结束
2、最优解X *0 (x *01 ，x *02 , , x *on ), 最优值z0
(1) X *0 为整数解 ，则X *0 为(IP)的最优解 结束
s.t. gu ( x) 0 u 1, 2,L , m
x=[xD , xC ]T
xD [x1, x2 ,L , xp ]T X D RD
xC
[xp1, xp2 ,L
, xn ]T X C
RC
Rn RD RC
xD ——（P维)离散变量向量；xC ——（n-P维)连续变量向量；
离散变量问题优化算法 （Algorithms for Discrete Variable Problem）
§9.1 引言
一般的优化方法只能求得连续变量的最优解。 工程实际中存在大量混合设计变量问题。 混合设计变量包含：连续设计变量、整型设计变量和离散设 计变量。
例如：齿轮传动装置的优化设计， 齿数是一个整型量，模数是一系列 离散量，变位系数可以看做连续量， 齿宽若按长度1mm单位计算，则也可 以看做整型量。
传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化 设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。
弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最 优解。
x *为连续变量最优解；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可 行；
x(2)是最近的可行离散点，但不是离 散最优点；
x(3)是离散最优点。
(2) X *0 中至少有一个是分数， 设x *01 是分数 ：分枝
子问题L1 : 1、L1无最优解，剪枝 2、最优解X *1 (x *11 ，x *12 , , x *1n ),
最优值z1
(1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
子问题L2 :
将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取 x1 1, x1 2 。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
1
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(IP2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
§9.3.1 初始离散组合形的产生
顶点数：K 2n 1
初始离散点记为 x(0) ，不必满足约束条件，但各分量必须满足变量值边界条
件，即
xiL
x(0) i
xU
i 1, 2,L , n
式中， xiL ——第 i 个变量的下界值；
xU ——第 i 个变量的上界值。
组合形2n 1 个顶点：
第一个顶点：
4）若 R 1 ，则 T1 2T1，T T1+T ，返回步骤2）；否则 T1 T1/2，T T T1 ，
返回步骤2）；
5）终止准则，当T1 Tmin 时，离散一维搜索终止。Tmin 为最小有用步长因子。