最优化_第7章 多目标及离散变量优化方法

考虑对各个目标最不利情况下求出最有利的解。就是对 多目标极小化问题采用各个目标中的最大值作为评价函数 的函数值来构造它。
评价函数:
U f max 1iq
fi X
对该式求优化解就是进行如下形式的极小化
minU
X D
f X min max XD 1il
fi X
f
max {f1(X), f2(X)}
第七章 多目标及离散变量优化方 法
7.1 多目标优化问题 7.2多目标优化方法 7.3离散变量优化
§7.1 多目标优化问题
在[a , b]区间内有两个目标函数：
对于f1(X) ：
当x=a,
f1(X)取得最差值
f
1 max
当x=b,
f1(X)取得最优值
f
1 min
对于f2(X)：
当x=a,
f2(X)取得最优值
可 接 受
0.7
满 意
区
0.3
可间
接
受
间
区 间
0 fi
fi(0) fi(1) fi(2) fi(3) fi
区
0
间
fi(3) fi(2) fi(1) fi(0)fiʹ(0)fiʹ(1) fiʹ(2) fiʹ(3)
fi
目标函数越大越好
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
fi(0) :满意的目标函数值
设计人员原本的意图是优化结束后，f1的取值尽量靠近10，f2的取 值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。 第k次迭代时， f1的取值为15， f2的取值为1800，则
F ( X k ) 0.815 0.21800 372
第k+1次迭代时，为了让整体评价函数F(X)取值更优，无论采用 哪种优化方法，优化程序会拼命的降低 f2的取值，升高 f1的取值
min f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
min fk(X)
X∈Rn
s.t. fi(X) ≤ fi0
i = 1,2,,…,k-1,k+1,…q
gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
fl ( fi
X )
(X)
fi*
i 1, 2,K
l 1
求
出
最
优
解
fl
＊
。
宽容分层序列法： 1）miXn f1D(X )
2）XminXf2
(X f1(
)
X ) f1* 1
3）X
min f3(X )
X fi (X ) fi* i i
摇杆摆角越接近60°越好 取值范围59°～61° 故f3=60°, c3=1
f3=59°, c3=0 f3=61°, c3=0
c1 1
f1(x)
0
17°
c2
1
f2(x)
0 c3
55°
1
0 59°
f3(x) 60° 61°
建立各目标的功效函数：
c1
1)
c1
f1( X ) 17
1
2)
c2
55 f2 (X ) 55
f2(X)
二. 协调曲线与满意曲线：
8
双目标函数的协调曲线
6
min . f X f1 X Wf2 X 4
s.t. gu X 0 u 1, 2,L , m
当加权因子从0 时，得到的最优点集合。 2
f1(x)
6
T 1.5 2 4
R
8
Q
6
4 S P2
f2(x)
x1
T Q R
S
P
2
4
v = 1,2,…, p
x2 f1(X)的等值线
g1(X)=0
min f1(X) s.t. f2(X) ≤ f20
gu(X) ≤ 0
u=4
g3(X)=0
g2(X)=0 f2(X)的等值线
X1* X* X2*
f20
g4(X)=0
0
x1
2．统一目标法
统一目标函数法的实质就是将原各分目标函数 f1(X)， f2(X), …… ，fn(X)通过一定的方法，统一到一个新构成的 总的统一目标函数F(X)=｛f1(X), f2(X), …… fn(X)｝中，把 原来的多目标优化问题转化成具有统一目标函数的单目标 优化问题，然后再用前述的单目标函数优化方法求解。
4）功效系数的特点
①直观，计算后调整方便， ②避免某一目标函数值不可接受而评价函数值较好。 ③可以处理希望目标函数值取某一适当值的情况。 ④事先要求明确目标函数的取值范围 ⑤有一个单目标不能接受,则总方案不能接受。
3．协调曲线法
x2
一. 基本思想：
在多目标优化设计中，当各分目标函数 的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解， 以其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配 关系得到满意曲线，沿着满意程度的增加的 方向，各分目标值下降，直至获得选好解。
（1）基本思想：给每一个分目标函数值一个评价，以功
效系数ci 表示: 功效函数: ci=Fi（fi）
0≤ci ≤1
当fi取值很满意时， ci=1；当fi取值不能接受时，ci=0
整体评价函数: c m c1c2 cm
c值要求越大越好，即c=1为最满意；c=0表示此方案 不能被接受。
（2）功效函数的类型（按照对目标函数的不同要求）
fi(1) :比较满意的目标函数值
fi(2) :接受与不可接受的目标函数值分界线 fi(3) :决不接受的目标函数值
③指数法
ci 1
c e(e(b0b1fi ) ) i
ci
ci 1
1
0.37
0.37
0.37
0.07 0 f(0) f(1)
目标函数越大越好
0.07 fi 0
0.07
f(1) f(0) fi
X D
式中： F X f1 X ,K , fr X T F X fr1 X fq X T
评价函数：F ( X )
f1 X fr X fr1 X fq X
FX
r
wj fj X
j1 q
o w j 1
wj fj X
jr 1
5） 功效系数法(几何平均法)
0 f(1) f(0)
fʹ(0) fʹ(1) fi
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
fi(1) :接受与不可接受的目标函数值分界线 fi(0 :)难以接受的目标函数值
例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角△Ψ=60,最
大压力角 max尽可能小，以改善机构的传力性能；极
位夹角θ尽可能大，以提高机构的急回性质。
其次对第二个目标函数f2(X)求解。
min f2 (X )
X
X
f1( X ) f1*
求出最优解域 f2*
再次对第三个目标函数f2(X)求解
X
min X
f3 ( X fi (X
) ) fi* i 1,
2
求出最优解域 f3 *
如此继续，最优对第l个目标函数f2(X)求解
min X X
例如： F ( X ) 0.8 f1( X ) 0.2 f2( X )
10
1000
反映了各个单目标函数值离开各自最优值的程度。此法也 可理解为对各个分目标函数作统一量纲处理。这时在列出 统一目标函数时，不会受各分目标值相对大小的影响，能 充分反应出各分目标在整个问题中有同等重要含义。
2） 极大极小法
6
f1(X)
4．分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法：将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次， 按重要程度排序，然后依次对各个目标函数 求最优解。后一目标应在前一目标最优解的 集合域内寻优。
假设f1(X)最重要， f2(X)其次， f3(X)再其次, … 首先对第一个目标函数f1(X)求解
miXn f1D(X ) 求出最优解域 f1 *
f1(x)
0
17°
3)
c3
f3f(3
X) (X
5959 ) 6160
f3(X ) 60 f3(X ) 61
1
建立整体评价函数：
0
c3
f2(x) 55°
c 3 c1 c2 c3
1
优化可得：
X * l1,l2,l3,l4 100,533.33,200,500
0 59°
f3(x) 60° 61°
（1）线性加权和法（线性组合法） （2）极大极小法 （3）理想点法与平方和加权法 （4）分目标乘除法
（5）功效系数法
1） 线性加权组合法 线性加权组合法又称加权因子法，即在将多目标函数 组合成总的统一目标函数的过程中，引入加权因子wi， 以考虑各个分目标函数在相对重要程度方面的差异。
评价函数: F ( X ) w1 f1( X ) w2 f2( X ) K wq fq ( X )
min. f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
二. 最优解与选好解、劣解与非劣解：
f2
●1 ●3
●6 ●4
●5
●2
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 0
f1
对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。
f1(X)
f2(X)
x
3）理想点法 使各个目标尽可能接近各自的理想值
评价函数:
F(X)
q i 1
fi(X )
f
* i
f
* i
2
F ( X )
q wi
i1
fi(X )
f
* i
f
* i
2
平方和加权法
4） 分目标乘除法
min F X
原优化模型目标函数为 V max F X
ci
1
0
f小 f大
fi 0
f小
f大
fi
f小 fɸ1
0
fi fɸ2 f大
目标函数越大越好
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
②折线法
ci 较满意区间
ci
1
1
较满意区间
ci
1
可接受区间
0.7
满
意
区
0.3
可 接
间
受
区
间
0 fi(3) fi(2) fi(1) fi(0)
0.7 满
意 区
0.3 间
较 满 意 区
F ( X k1 ) 0.8 30 0.21000 224
这是由于没有考虑目标函数量纲上的差异造成的
进一步改进：
评价函数:
F ( X ) w1
f1( X f1*
)
w2
f2 ( X f2*
)
K
wq
fq(X ) fq*
q
wi
i 1
fi(X ) fi*
式中：fi*为各个目标进行单独优化时得到最优值
q
wi fi ( X ) i 1
q
式中： wi 1, wi 0 i 1
体现目标函数的重要程度
未考虑目标函数间量 级和量纲上的差异
f1取值范围是[10, 30], f2的取值范围是[1000, 3000],设计人员认为 目标函数 f1非常重要，则线性加权后的评价函数为：
F ( X ) 0.8f1( X ) 0.2f2( X )
△Ψ
l1
θ
C2
A
B2
l4
D
B1
分析：
① f1(X ) max
极位夹角取值范围0°～17° 故f1=17 °, c1=1
f1=0 ° , c1=0
② f2(X ) max min
最大压力角取值范围0°～55° 故f2=0° , c2=1
f2=55°, c2=0
③ f3( X ) 60o
①目标函数越大越好 要求Байду номын сангаас fi越大, ci越大；当fi越小， ci越小；
②目标函数越小越好 要求： fi越小, ci越大；当fi越大， ci越小；
③目标函数取值在某个范围内最好 要求： fi取得的值越靠近预先确定的适当值时， ci越大；否则ci越小。
（3）功效系数的确定方法 ①直线法
ci
ci
1
1
1、先求非劣解； 2、从非劣解中选出选好解。
四. 常用的求选好解的方法： 1、主要目标法 2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小… 3、功效系数法 4、分层序列法
§7.2 多目标优化方法
一．主要目标法
思想:抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作 为主要目标，将其他目标转化成约束条件）
原模型: 转变后模型:
综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。
f2
C
D
A
E
B
f1
使所有目标都能达到最优的解通常是不存在的或者很难 找到的，设计人员所能做到的就是在 Pareto解集中挑选 合适的解作为最终解，通过牺牲某个或某些目标的性能 来改善其它目标，在多个目标函数间进行折衷
最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。 劣 解：每个分目标函数值都比另一个解为劣，即为劣解。 选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。 三. 多目标函数问题的优化设计过程：
C1
B
l2
C
l3
△Ψ
l1
θ
C2
A
B2
l4
D
B1
建立数学模型：
设计变量：X l1,l2,l3,l4 x1, x2, x3, x4
目标函数: f1(X ) max f2(X ) max min
f3( X ) 60o
约束条件: xi 0,i 1, 2,3, 4
C1
B
l2
C l3
f
2 max
当x=b,
f2(X)取得最差值
f
2 min
f
f
1 max
f
2 max
f1
f
1 min
f
2 min
0 a x1 x2
f2 bx
随着设计变量X的值不断增大，目标函数 f1(X)的值越来越好，目标函数 f2(X)的值越来越差
§7.1 多目标优化问题
一. 多目标问题的数学模型：
设 X =[x1, x2 , …,xn]T