第7章(离散变量的优化方法)

h H
现在需要设计堤坝的截面尺寸 b 和 h，在保证不受灾害的概率不低于 99.9%，堤坝不受冲压损坏的概率不低于 99.0% 的要求下，使投资最小。
§7.1
三.
引言 （续2）
传统方法的局限：
例，求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化设 计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最优解。
n p , x , x R p 1 p2 n T
x


f x X R n R p R n p g u ( x) 0 u 1,2, , m
可行域：
D x gu x 0，u 1,2,, m Rn
注：设计空间有离散空间部分。
但约束面不离散，也不一定分布有离散点。
工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是各种类型变
量的混合。有： 连续变量 确定型 整型变量 离散变量 随机变量 不确定型 混合变量
所以需要相应的优化方法。
§7.1
二.
引言 （续）
b
工程实际设计的需要：
例： 决定修建一条防洪堤坝。根据 历年的水文资料，台风的年最大风速：
max服从对数正态分布， 即 max～LN x , 2 x (m / s) 其中：均值 x 80( m / s )， 方差 2 x 12( m / s )； 海浪高度H与年最大风速成正比， H 0.2 max ( m)； 海浪对堤坝的压强： P 0.13 2 max ( MPa)
§7.7
随机变量概率约束问题的优化 设计模型及最优解
一、概率约束问题的优化设计模型：
x X Rn min. w1 E f x, w2Var f x, s.t. Pg u x, 0 u x, ， T，P u 1,2, , m
x* 是连续变量最优点；
x(1) 是圆整后最近的离散点， 但不可行； x(2) 是最近的可行离散点，但 不是离散最优点； x(3) 是离散最优点。
x2
● ●
X(2) X
X(3)
● ●
x* (1) x1
0
§7.2
一.
离散变量优化设计的基本概念
qij-1
●
设计空间：
qij
●
qij+1
●
1、一维离散设计空间：
T ，P R nq x, ，
u 1,2,, m x, ，T ，P R nq
g u x, 0
说明：① min. 和 s.t. 只能从概率空间的意义来理解；
② 采用不同的样本组，最优点 x*(ω)是不同的； ③ 模型的类型有很多种，最有实际意义的是概率约束型。
第七章 离散变量和随机变量的最优化方法
§7.1 引言
§7.2
§7.3
离散变量优化设计的基本概念
离散变量优化设计的数学模型
§7.4
§7.5
离散变量优化设计的最优解及收敛条件
随机变量优化设计的基本概念
§7.6
§7.7
随机变量优化设计的数学模型
随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解
§7.1
一.
引言
变量类型：
§7.6 随机变量优化设计的数学模型（续）
三、约束函数：
1. 均值型 Egu x, 0
四、随机型优化设计数学模型：
2. 概率型 Pgu x, 0 u
X x1 , x2 ,, xn ，T ，P R n
T
min. s.t.
f x,
2. 方差型 0 pt. Var f x, Var f x1 , x2 , xn , 1 , 2 ,, q 4. 组合型 例： w1 E f x, w2Var f x,






注：工程问题的优化设计中，根据工程实际情况选择目标函数的类型。
根轴的直径，直径值的分布情况如图，在公差范围内的有297根轴。 加工直径为 d 的轴，是一个随机事件； 直径 d 为 随机变量；
加工3000根轴，是事件的总体；
测量300根轴的直径，是事件的样本空间。 合格 99% 是事件的概率。
§7.5 随机变量优化设计的基本（续）
三、随机参数： 已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立的随机
则收敛，x* = x(k) 。
§7.4 离散变量优化设计的最优解及 收敛条件 (续2）
四、 伪离散最优解和拟离散最优解： 1、伪离散最优解： 在判断x(k)是否收敛时，只在 x(k) 的 坐标邻域中查点，所得到的最优点是 伪离散最优点。 2、拟离散最优解：
用以连续变量优化设计方法为基础的 “拟离散法”、“离散惩罚函数法”等， 先求得连续变量最优解（A点），再圆整 到可行域内最近的离散点（C点）,是拟离 散最优点。
其中： xiu，xil 为连续变量xi的上、下界， li 为欲取离散值的个数。 xi 坐标轴上的第 j个拟离散点为： xij， 其相邻两个拟离散点为 ：xij i，xij，xij i
§7.3
离散变量优化设计的数学模型
X x1 , x2 , xn
T T
X D x1 , x2 , x p R p XC min . s.t.
§7.2
二.
离散变量优化设计的基本概念
整型变量和连续变量的离散化：—— 是均匀离散
1、整型变量的离散：
整型变量可看作为是离散间隔恒定为 1 的离散变量。是离散变量 的特例。
2、连续变量的Байду номын сангаас散化：
有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。
方法：
xiu xil i li 1 i p 1 ，p 2， ，n
§7.7 随机变量概率约束问题的优化设计 模型及最优解
二、概率约束模型的最优解： 在概率空间（Ω，T，P）内，存在一个用均值表示的设计点 x* ， x* = μx* ∈ X∈ Da，使不等式 E { f (x*,ω)} < E { f (x,ω)}对于某个 邻域 Nδ(x) 内的所有 x 都成立，则称 x* 为概率约束问题的最优点， E { f (x*,ω)}为最优均值。 三、概率约束模型的几何解释 1、概率约束的几何解释： p {gu (x,ω)≤0} –αu = 0 是概率约
u — 预先给定的概率值 ， u 0,1；
w1 , w2 — 加权因子，当w1 0时，目标函数是方差型 ， w2 0时，目标函数是均值型 。
X — 以均值表示设计点的集 合；

不是很重要的 约束条件可用 或 gu x, 0 来表示。
Egu x, 0
四、 随机设计变量： 在优化过程中，随机变量的分布类型及分布参数（或特征参数）需要
通过调整变化来求得最优解，而且是相互独立的随机变量，称为随机设
计变量。 随机设计变量的向量表示方法如下：
T ，P Rn X x1, x2 ,, xn ，
T
五、分布类型及其参数的确定：
方法 一： 由试验或观察，测量得
§7.6
随机变量优化设计的数学模型
一、随机设计特性： 当设计特性或技术指标表示为随机设计变量和随机参数的函数时， 称为随机设计特性。 二、 目标函数： 由随机设计特性定义优化准则函数。
1. 均值型 0 pt. E f x, E f x1 , x2 , xn , 1 , 2 ,, q 3. 概率型 max. P f x, 0
UN(x) = {x,A,B,C,D,E,F,G,H}； 离散坐标邻域共 2n+1 个点：
●
C E
●
i
●
εi x
εi
i
● ●
UC(x) = {x,B,D,E,G}。
0
F
●
●
G
H
x1
§7.4 离散变量优化设计的最优解 及收敛条件 (续)
二、离散最优解：
若 x* D 对于所有
x UN x * D 恒有f x * f x ,
x x 直接在优化过程中迭代均值，通过调整 均值和离差系数求得最优解。
② 若 xi 服从正态分布，一般容差 xi可取 3 xi
xi ximax ximin / 6 其中 ximax和ximin 为设计变量的最大和最 小值。


同样可直接在优化过程中迭代均值，通过 调整均值和容差求得最优解。
T


4、N 维设计空间：
R n R p R p n
其中：离散设计空间为： X D x1 , x2 ,, x p

连续设计空间为： XC x , x p 1 p2

R ,, x R
T T n
p
n p
若 Rp 为空集时，Rn 为全连续变量设计问题； 若 Rp-n 为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。
注：① 因为离散变量是有限个，所以离
散空间是有界的。 ② 某个离散变量的取值不足 l 个， 其余值可用预先规定的自然数补齐。
§7.2
离散变量优化设计的基本概念(续）
3、N-P 维连续设计空间： N 个设计变量中有 P 个离散变量，此外有个N-P 连续变量。 N-P 维连续设计空间:
XC x p 1 , x p 2 ,, xn R n p
则 x * 为离散变量优化设计的 局部最优点。 当 D 为凸集，f x 为定义在凸集上的凸函 数时， 则 x * 为离散变量优化设计的 全局最优点。
三、收敛准则： 设当前搜索到的最好点为 x(k)，需要判断其是否收敛。在 x(k) 的单
位邻域中查 3n – 1 个点，若未查到比 x(k) 的目标函数值更小的点，
B点才是离散最优点。
§7.5
随机变量优化设计的基本概念
一、随机变量的概率特性（略）： 二、随机变量： 随机现象的每一个表现，通称为随机事件。 随机事件可用数值表示，随着观察的重复，可获得一组不同的数值。 对随机现象作观察，测量的变化量称为随机变量。
0.0492 例如，加工了3000根直径为 d 45.00 0.0558 的轴。抽取测量了300

UCx UN x ei
i是拟离散变量（连续变 量）之间的拟离散间隔 。
UCx 是过xi的各坐标轴的平行线与 离散单位邻域 UN x 的交点的交集。
例，二维离散空间中，
i 1,2,, n
ei 为各坐标轴，
x2
A D
B
● ●
离散单位邻域共 3n 个点，
K-T 条件不再适用。
§7.4 离散变量优化设计的最优解及 收敛条件
一、离散单位邻域 UN(x) 和坐标邻域 UC(x) ：
i 1,2,, p xi i，xi，xi i UN x x i p 1, p 2,, n xi i，xi，xi i 其中： 间隔， i， i 是离散变量之间的离散
i
i
2、P 维离散设计空间： X D x1 , x2 ,, x p


T
Rp
P 个离散设计变量组成 P 维离散设计空间。每个离散变量可取有限个 （l）数值，这些数值可用矩阵 Q 来表达。
q11 q 21 Q q p1 q12 q22 q p2 q1l q2 l q pl pl
变量。
在优化过程中，随机参数的分布类型及分布参数是不随设计点 的移动而变化的。
随机参数的向量表示如下：
T ω 1 , 2 ,, q （, T ，P） Rq


其中： （, T ，P） 为概率空间， 为事件的样本空间 ，
T 为事件的总体
P 为事件的概率。
T ，
§7.5 随机变量优化设计的基本概念（续2）
Xi
在 xi 坐标轴上有若干个相距一定间隔的离 散点，组成的集合称为一维离散设计空间。 离散点：，qij1 , qij , qij1 , i 1,2,, n j 1,2,, l代表离散点个数；
离散间隔： ， i i 只有在均匀离散空间中 ： i i
到随机变量的相关数据，作出样本的 直方图，然后选择分布类型，进行假
设检验和分布参数的估计。
§7.5 随机变量优化设计的基本概念（续3）
方法二：根据样品试验、同类事件的数据或以往积累的经验，先推断一 种分布类型，再调整分布参数或特征值。 一般认为：加工误差服从正态分布；寿 命服从指数分布或威布尔分布；合金钢的 强度极限服从对数正态分布。 ① 若已知离差系数 cx ，则可根据 cx