随机化算法
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考虑a的倍数：m1=a，m2=2a，m3=3a，…，mp-1=(p-1)a (1)证明这些整数中任意两个都不能模p同余。 反证法：假设ms ≡mr(mod p) 1<=r<s<=p-1 即ms-mr=np (s-r)*a=np 这不可能，因为p为素数且s-r<p，p不能整除a， 所以p不可能是(s-r)a的因子。得证结论。
投票
新浪体育最近进行了一次调查，曼联能否在 今年问鼎欧洲冠军。记者一共抽取了n位同学 作为参与者。每个参与者的心里都有一个看 法，比如A认为曼联不可能夺冠，而B认为曼 联一定问鼎。但是因为B是A的好朋友，所以 可能A为了迁就自己的好朋友，会在发言中 支持曼联。也就是说每个参与者发言时阐述 的看法不一定就是心里所想的。现在告诉你 大家心里的想法和参与者的朋友网，希望你 能安排每个人的发言内容，使得违心说话的 人的总数与发言时立场不同的朋友（对）的 总数的和最小。人数<300。
爬山法的原理和应用
然而，爬山法有一个较大的缺陷。如图所示
从上图中我们可以很明显地看出，简单地从斜坡滑 下不一定会产生全局最优解。最后的解会是一个局 部范围内的最小值，它比邻近解的表现都好，但却 不是全局最优的。全局最优解就是全局最小值，它 是优化算法最终应该找到的那个解。解决这一难题 的一种方法被称为随机重复爬山法（random-restart hill climbing），即让爬山法以多个随机生成的初始解 为起点运行若干次，借此希望其中有一个解能够逼 近全局的最小值。
数据范围很小，直接模拟很多次算平均次数。
N皇后问题
在N*N的国际象棋盘上摆放八个皇后，使其不能互相攻击， 即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上， 给出任意一种摆法即可。(N<80)
N皇后问题是一道经典的搜索题，对于每一行枚举这一行的皇后放在哪 个位置，并与已放过的皇后判断是否冲突，若不冲突，搜索下一行， 否则回溯。虽然只要输出一组解，但是当n达到几十时还是远远超出了 时限。究其原因还是因为每次的枚举都是有序的，或是从右往左，或 是从左往右，很容易判断到冲突而回溯，从而耗费了时间。因此对于 这种情况，有一个很有效的方法来减少回溯的次数，那就是随机化。 对于一行，我们并不依次枚举皇后的位置，而是随机皇后的位置，这 样就可以达到非常理想的效果，即使是80皇后也能在时限内出解。
爬山法
从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比 较。 如果当前节点是最大的，那么返回当前节点， 作为最大值(既山峰最高点)；反之就用最高的邻居节 点来，替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬 的目的。如此循环直到达到最高点。这样可以避免 遍历，通过启发选择部分节点，从而达到提高效率 的目的。但是因为不是全面搜索，所以结果可能不 是最佳。爬山算法一般存在以下问题： 1）、局部最大：某个节点比周围任何一个邻居都 高，但是它却不是整个问题的最高点。 2）、高地：也称为平顶，搜索一旦到达高地，就 无法确定搜索最佳方向，会产生随机走动，使得搜 索效率降低。
取数
设有N 个正整数（1 <= N <= 50），其中每一个均是大于 等于1、小于等于10000的数。从这N个数中任取出若干个 数（不能取相邻的数），要求得到一种取法，使得到的和 为最大。 例如：当N=5时，有5个数分别为：13，18，28，45，21 此时，有许多种取法，如： 13,28,21和为62 13,45和为58 18,45和为63 ………. 和为63应该是满足要求的一种取法。
这题很容易就能想到动态规划的算法，有容易实现的标准算法还是不要 想随机化算法了。
费马小定理
费马小定理：对于素数p和任意整数a有a^p≡a(mod p) 费马小定理同时也有另外一个等价的形式，即如果P 是任意一个不能整除整数a的素数，则 a^(p1)≡1(mod p) 下面我们给出费马小定
爬山法以一个随机解开始，然后在其临近的解集中 寻找更好的题解（具有更低的成本）。这类似于从 斜坡上向下走，如图所示。
想象一下你就是图中所示的那个人，不经意间陷入 了这块区域中，并且想走到最低点去寻找水源。为 此我们可以选择任何一个方向，然后朝着最为险峻 的斜坡向下走去。你可以朝着最为险峻的斜坡方向 一直走下去，直至到达地势平坦或坡度开始向上倾 斜的区域。
其实随机化算法没有多少实质内容，那些 平时被提及很多的爬山法、遗传算法真正 用的很少，实战中更多的是想得到想不到。 记得有句话：“不要第一个就想到随机算 法，也不要最后一个才想到随机算法。” 有时他能得高分，有时甚至不如暴力算法， 具体应用还要自己体会。这个ppt主要是讲 一些随机化算法应用的经典例子。
费马小定理的证明
(2)证明这些数中没有一个能和0同余。 证明：因为1, …, (p-1)都小于p，且p为素数，p不能整 除a，因此p不能整除 (3)结论：若ab ≡0(mod d) 则当且仅当d为素数时，则a ≡0(mod d) 或者 b ≡0(mod d)
费马小定理的证明
由(1)和(2)可得，m1，m2，m3，……，mp-1 mod p必须对应于余数1，2，3， ……， (p-1)。 根据同余式乘法性质可得： 1*2*3*……*(p-1)*ap-1=m1*m2*m3*……*mp-1 ≡1*2*3*……*(p-1) (mod p) 令k= 1*2*3*……*(p-1)，则 k*ap-1 ≡k（mod p) k(ap-1-1) ≡0(mod p) 由(3)可知，因为k不能整除p，且p为素数 所以ap-1必然被p整除，即得费马小定理a^(p-1)≡1(mod p) 。
计算圆面积交
告诉你在平面直角坐标系中两个圆的坐标和半径， 求两个圆重叠部分的面积。输入均为实数，横、 纵坐标的绝对值均不超过100，半径不超过100。
数据范围很小，随机撒点即可，需要注意的是撒 点的数量。
抛硬币
现在你开始抛硬币，只有当你连着抛出N次正面 的时候才能结束。现在问你抛硬币次数的数学期 望是多少。简单来说，就是平均要抛多少次才能 结束。(N<7)
投票
本题的本质是一个网络流的模型，在本章中 就不加以介绍了。这里要重点讲一下用随机 化算法如何解决这个问题。首先最简单的随 机化就是直接随机每个人的发言内容，可以 用0和1来表示两种状态，然后计算这种情况 下的结果，再重复多次操作找出最优解。这 样的随机化显然太幼稚了。因此我们引入随 机化中一个重要的方法——调整！对于随机 出来的每一种方案，我们要对每个人做一次 判断，看如果他说了与当前状态相反的话， 最后的结果是否会更优，如果更优，则修改 他的状态，再对所有人判断是否能调整。运 用这种方法就可以通过所有的测试数据了。
费马小定理判断素数
由此定理，判断一个数是否为素数，只要随机选取 几个a用上面的公式进行判断。但费马小定理只是素 数判定的一个必要条件，满足费马小定理条件的整 数n未必全是素数，有些合数也满足费马小定理的条 件，这些和数被称做Carmichael数，前3个Carmichael 数是561,1105,1729。Carmichael数是非常少的。在 1~100000000范围内的整数中，只有255个Carmichael 数。利用下面的二次探测定理可以对上面的素数判 定算法作进一步改进，以避免将Carmichael数当作素 数。 二次探测定理 如果p是一个素数，且0<x<p,则方程 x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1。
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新浪体育最近进行了一次调查，曼联能否在 今年问鼎欧洲冠军。记者一共抽取了n位同学 作为参与者。每个参与者的心里都有一个看 法，比如A认为曼联不可能夺冠，而B认为曼 联一定问鼎。但是因为B是A的好朋友，所以 可能A为了迁就自己的好朋友，会在发言中 支持曼联。也就是说每个参与者发言时阐述 的看法不一定就是心里所想的。现在告诉你 大家心里的想法和参与者的朋友网，希望你 能安排每个人的发言内容，使得违心说话的 人的总数与发言时立场不同的朋友（对）的 总数的和最小。人数<300。
爬山法的原理和应用
然而，爬山法有一个较大的缺陷。如图所示
从上图中我们可以很明显地看出，简单地从斜坡滑 下不一定会产生全局最优解。最后的解会是一个局 部范围内的最小值，它比邻近解的表现都好，但却 不是全局最优的。全局最优解就是全局最小值，它 是优化算法最终应该找到的那个解。解决这一难题 的一种方法被称为随机重复爬山法（random-restart hill climbing），即让爬山法以多个随机生成的初始解 为起点运行若干次，借此希望其中有一个解能够逼 近全局的最小值。
数据范围很小，直接模拟很多次算平均次数。
N皇后问题
在N*N的国际象棋盘上摆放八个皇后，使其不能互相攻击， 即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上， 给出任意一种摆法即可。(N<80)
N皇后问题是一道经典的搜索题，对于每一行枚举这一行的皇后放在哪 个位置，并与已放过的皇后判断是否冲突，若不冲突，搜索下一行， 否则回溯。虽然只要输出一组解，但是当n达到几十时还是远远超出了 时限。究其原因还是因为每次的枚举都是有序的，或是从右往左，或 是从左往右，很容易判断到冲突而回溯，从而耗费了时间。因此对于 这种情况，有一个很有效的方法来减少回溯的次数，那就是随机化。 对于一行，我们并不依次枚举皇后的位置，而是随机皇后的位置，这 样就可以达到非常理想的效果，即使是80皇后也能在时限内出解。
爬山法
从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比 较。 如果当前节点是最大的，那么返回当前节点， 作为最大值(既山峰最高点)；反之就用最高的邻居节 点来，替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬 的目的。如此循环直到达到最高点。这样可以避免 遍历，通过启发选择部分节点，从而达到提高效率 的目的。但是因为不是全面搜索，所以结果可能不 是最佳。爬山算法一般存在以下问题： 1）、局部最大：某个节点比周围任何一个邻居都 高，但是它却不是整个问题的最高点。 2）、高地：也称为平顶，搜索一旦到达高地，就 无法确定搜索最佳方向，会产生随机走动，使得搜 索效率降低。
取数
设有N 个正整数（1 <= N <= 50），其中每一个均是大于 等于1、小于等于10000的数。从这N个数中任取出若干个 数（不能取相邻的数），要求得到一种取法，使得到的和 为最大。 例如：当N=5时，有5个数分别为：13，18，28，45，21 此时，有许多种取法，如： 13,28,21和为62 13,45和为58 18,45和为63 ………. 和为63应该是满足要求的一种取法。
这题很容易就能想到动态规划的算法，有容易实现的标准算法还是不要 想随机化算法了。
费马小定理
费马小定理：对于素数p和任意整数a有a^p≡a(mod p) 费马小定理同时也有另外一个等价的形式，即如果P 是任意一个不能整除整数a的素数，则 a^(p1)≡1(mod p) 下面我们给出费马小定
爬山法以一个随机解开始，然后在其临近的解集中 寻找更好的题解（具有更低的成本）。这类似于从 斜坡上向下走，如图所示。
想象一下你就是图中所示的那个人，不经意间陷入 了这块区域中，并且想走到最低点去寻找水源。为 此我们可以选择任何一个方向，然后朝着最为险峻 的斜坡向下走去。你可以朝着最为险峻的斜坡方向 一直走下去，直至到达地势平坦或坡度开始向上倾 斜的区域。
其实随机化算法没有多少实质内容，那些 平时被提及很多的爬山法、遗传算法真正 用的很少，实战中更多的是想得到想不到。 记得有句话：“不要第一个就想到随机算 法，也不要最后一个才想到随机算法。” 有时他能得高分，有时甚至不如暴力算法， 具体应用还要自己体会。这个ppt主要是讲 一些随机化算法应用的经典例子。
费马小定理的证明
(2)证明这些数中没有一个能和0同余。 证明：因为1, …, (p-1)都小于p，且p为素数，p不能整 除a，因此p不能整除 (3)结论：若ab ≡0(mod d) 则当且仅当d为素数时，则a ≡0(mod d) 或者 b ≡0(mod d)
费马小定理的证明
由(1)和(2)可得，m1，m2，m3，……，mp-1 mod p必须对应于余数1，2，3， ……， (p-1)。 根据同余式乘法性质可得： 1*2*3*……*(p-1)*ap-1=m1*m2*m3*……*mp-1 ≡1*2*3*……*(p-1) (mod p) 令k= 1*2*3*……*(p-1)，则 k*ap-1 ≡k（mod p) k(ap-1-1) ≡0(mod p) 由(3)可知，因为k不能整除p，且p为素数 所以ap-1必然被p整除，即得费马小定理a^(p-1)≡1(mod p) 。
计算圆面积交
告诉你在平面直角坐标系中两个圆的坐标和半径， 求两个圆重叠部分的面积。输入均为实数，横、 纵坐标的绝对值均不超过100，半径不超过100。
数据范围很小，随机撒点即可，需要注意的是撒 点的数量。
抛硬币
现在你开始抛硬币，只有当你连着抛出N次正面 的时候才能结束。现在问你抛硬币次数的数学期 望是多少。简单来说，就是平均要抛多少次才能 结束。(N<7)
投票
本题的本质是一个网络流的模型，在本章中 就不加以介绍了。这里要重点讲一下用随机 化算法如何解决这个问题。首先最简单的随 机化就是直接随机每个人的发言内容，可以 用0和1来表示两种状态，然后计算这种情况 下的结果，再重复多次操作找出最优解。这 样的随机化显然太幼稚了。因此我们引入随 机化中一个重要的方法——调整！对于随机 出来的每一种方案，我们要对每个人做一次 判断，看如果他说了与当前状态相反的话， 最后的结果是否会更优，如果更优，则修改 他的状态，再对所有人判断是否能调整。运 用这种方法就可以通过所有的测试数据了。
费马小定理判断素数
由此定理，判断一个数是否为素数，只要随机选取 几个a用上面的公式进行判断。但费马小定理只是素 数判定的一个必要条件，满足费马小定理条件的整 数n未必全是素数，有些合数也满足费马小定理的条 件，这些和数被称做Carmichael数，前3个Carmichael 数是561,1105,1729。Carmichael数是非常少的。在 1~100000000范围内的整数中，只有255个Carmichael 数。利用下面的二次探测定理可以对上面的素数判 定算法作进一步改进，以避免将Carmichael数当作素 数。 二次探测定理 如果p是一个素数，且0<x<p,则方程 x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1。