随机化
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
back
创造新物种
有些物种无论如何进化，都无法达到最优 解。面对这种情况，我们选择创造新物种： 重新随机产生一种状态，然后继续进行牛 顿爬山和基因突变。
也许你们会பைடு நூலகம்疑。。。。。这么弱 的算法真的有效吗？
随机化的光荣战绩： 姜啸，2006年NOI金牌成绩。在day1的比 赛中，面对一道复杂树型dp题：网络收费， 使用随机化算法获得80分的高分。
谢谢！！
简单说：运气不是随机化的关键！！！
随机化算法的关键
由于随机化算法的随机种子不同，每次运 行的正确性、时间效率都有可能不同，而 一个好的随机算法应该保证算法的稳定性。 算法的稳定性是评价一个随机化算法的重 要指标。
如果一个算法是随机化算法，则它执行的流程或结 果就会受其中用的随机函数的影响。我们按影响的 性质和程度分三种情况：
启发式随机化
很多情况下，单纯的随机化算法会显得比 较盲目，此时，我们需要给算法加入有利 的启发信息。 这于启发式搜索相类似，拿这道例题来说， 随机寻找下一个点时，可以让剩余度较大 的点被选择的概率大一些，这样有利于更 快找到解。
back
牛顿爬山法
y T
P x
上图为牛顿爬山法的原理。设爬山者在P 点，为了爬上山 峰，他可以向左或向右移动。爬山法要求每次移动之前计 算新位置与当前位置的差（即改进量），一般选择改进量 大的方向前进。由于有了这样的启发信息，一般很快就可 以找到一个最值。
常见随机化算法
• 纯随机化算法
• 牛顿爬山法 • 遗传算法
单纯的随机化算法
例题：给出一张有n个节点的图，每个点的 度不小于n/2，要求出图中的一个哈密尔顿 回路。 由于题目中给出的有利条件：每个点的度 都较大，所以哈密尔顿回路的可行方案较 多，采用随机化算法：每次随机的找一个 可以到达且未访问过的节点进行深度优先 遍历。
大家可以发现，当a数组本来就为递增序列时， 快排的时间复杂度可以达到o(n^2)！！！
我们对程序进行如下修改： Procedure qsort(a:arr;l,r:int); x,I,j:int; { x=a[random(l,r)];i=l;j=r; repeat while a[i]<x do i=i+1; while a[j]>x do j=j-1; if not(i>j) then { change(a[i],a[j]); i=i+1; j=j-1; } until i>j; if l<j then qsort(a,l,j); if i<r then qsort(a,I,r); }
这个算法会产生一种错误，即选取的s个a 值均满足a^(n-1)1 (mod n)，而n是合数时， 算法会认为n是合数的证据不足，判其为素 数。 但当s＝50时，此算法的正确率就可以到达 99%以上。选取适当的s，此算法的时间效 率远高于朴素的判定方法。
back
随机影响执行结果的优劣
随机影响执行结果的优劣。这时，随机的 效应表现为实际执行结果与理论上的最优 解或期望结果的差异。 在此要向大家介绍3种常见的随机化算法。
用随机化判断素数
若n是素数，对于a=1,2...n-1，有a^(n-1)1 (mod n)。所以，若存在整数a[1,n-1]，使得a^(n-1)1 (mod n)，则a必为合数。我们考虑以下算法： ISPRIME_R(n, s:int); i,a:int; { for i=1 to s do { a=random(1,n-1); if a^(n-1) mod n1 then return false; } return true; }
随机化算法介绍
rs
什么是随机化？
随机化算法是这样一种算法：在算法中使 用了随机函数，且随机函数的返回值直接 或间接地影响了算法的执行流程或执行结 果。
那么随机化算法和“运气”的关系如何呢？ 根据著名的：RP守恒定律！！！ RP不会自己产生，也不会自己消亡，只会 从一种形式转化为另一种形式，从一个个 体转移到另一个个体，从一个个体的一个 部分转移到另一部分。
在快速排序时使用随机化，可以有效避免时 间复杂度的退化！
Back
随机影响执行结果的正确性
随机影响执行结果的正确性。在这种情况 中，原问题要求我们求出某个可行解，或 者原问题为判定性问题，随机的效应表现 为执行得到正确解的概率。 举例说明：用随机化判断素数。
朴素的判断素数方法
对于较小的n，我们可以用“筛数法”判定 n是否为素数。对于稍大一点的n，我们可 以先求出[2,sqrt(n)]内的所有素数，再用 这些素数试除n。这两种方法都要借助于大 数组，如果n足够大，就不再适用了。这时， 我们只能用2,3,..., sqrt(n)试除n，一旦除 尽，n必然是合数，否则为素数。 当遇到较大的素数n时，朴素算法会显得十 分慢的。其最坏情况时间复杂度为o(n^½)。
back
遗传算法
遗传算法在一定程度上对牛顿爬山法的缺 陷进行了弥补，主要采取两种方法: 基因突变
创造新物种
基因突变
当陷入局部最优解并无法进行更新时，我们需要 用到输入一些新鲜血液。 随机地对状态进行改变，产生的这个新状态虽然 解可能没有祖先优，但继承了祖先大部分的优秀 基因，更中要的是，由于基因的突变，新的状态 拥有祖先所不具备的进化潜力，可以通过牛顿爬 山法继续寻找更优解。 举例来说，可以随机把一个人从原来的组别放到 另一个组，然后。。。。。。继续爬山。
随机化的精髓
之前介绍的随机化算法，思路简单，编程 复杂度也很低，因此，算法随机化。 随机化的精髓在于：随机化思想！！！！ 在赛场中想不到标准算法时，需要让思路 敏锐地转向随机化。
不过，随机化并不是万能的，尤 其是在一些级别较高的比赛中， 出题者会对数据进行精心地设计， 防止随机化获得高分。 因此，认真学习算法是永远的真 理！！！！
随机不影响执行结果。 随机影响执行结果的正确性。 随机影响执行结果的优劣。
随机不影响执行结果
随机不影响执行结果。这时，随机必然影 响了执行的流程，其效应多表现为算法的 时间效率的波动。 举例说明：下面大家来看一段快速排序的 代码
Procedure qsort(a:arr;l,r:int); x,I,j:int; { x=a[l];i=l;j=r; repeat while a[i]<x do i=i+1; while a[j]>x do j=j-1; if not(i>j) then { change(a[i],a[j]); i=i+1; j=j-1; } until i>j; if l<j then qsort(a,l,j); if i<r then qsort(a,I,r); }
例题：
有n个人，已知每个人的体重，要将此n个 人分成m组，使得方差最小。 随机化算法：将n个人随机分配到m组，然 后随机调整(调整包括交换和转移)，如果调 整后能使解变优，则进行调整，并不断重 复，直到无法找到能使解变优的调整为止。
牛顿爬山法的缺陷
y
T T1
P
x
如上图所示，牛顿爬上法的缺陷就是会陷入局部 最优解，图中，处于P点时，不断向上攀爬，到 达T1后，就无法继续对解进行更新，错误的认为 T1就是最优解，而实际上的顶峰在T。
创造新物种
有些物种无论如何进化，都无法达到最优 解。面对这种情况，我们选择创造新物种： 重新随机产生一种状态，然后继续进行牛 顿爬山和基因突变。
也许你们会பைடு நூலகம்疑。。。。。这么弱 的算法真的有效吗？
随机化的光荣战绩： 姜啸，2006年NOI金牌成绩。在day1的比 赛中，面对一道复杂树型dp题：网络收费， 使用随机化算法获得80分的高分。
谢谢！！
简单说：运气不是随机化的关键！！！
随机化算法的关键
由于随机化算法的随机种子不同，每次运 行的正确性、时间效率都有可能不同，而 一个好的随机算法应该保证算法的稳定性。 算法的稳定性是评价一个随机化算法的重 要指标。
如果一个算法是随机化算法，则它执行的流程或结 果就会受其中用的随机函数的影响。我们按影响的 性质和程度分三种情况：
启发式随机化
很多情况下，单纯的随机化算法会显得比 较盲目，此时，我们需要给算法加入有利 的启发信息。 这于启发式搜索相类似，拿这道例题来说， 随机寻找下一个点时，可以让剩余度较大 的点被选择的概率大一些，这样有利于更 快找到解。
back
牛顿爬山法
y T
P x
上图为牛顿爬山法的原理。设爬山者在P 点，为了爬上山 峰，他可以向左或向右移动。爬山法要求每次移动之前计 算新位置与当前位置的差（即改进量），一般选择改进量 大的方向前进。由于有了这样的启发信息，一般很快就可 以找到一个最值。
常见随机化算法
• 纯随机化算法
• 牛顿爬山法 • 遗传算法
单纯的随机化算法
例题：给出一张有n个节点的图，每个点的 度不小于n/2，要求出图中的一个哈密尔顿 回路。 由于题目中给出的有利条件：每个点的度 都较大，所以哈密尔顿回路的可行方案较 多，采用随机化算法：每次随机的找一个 可以到达且未访问过的节点进行深度优先 遍历。
大家可以发现，当a数组本来就为递增序列时， 快排的时间复杂度可以达到o(n^2)！！！
我们对程序进行如下修改： Procedure qsort(a:arr;l,r:int); x,I,j:int; { x=a[random(l,r)];i=l;j=r; repeat while a[i]<x do i=i+1; while a[j]>x do j=j-1; if not(i>j) then { change(a[i],a[j]); i=i+1; j=j-1; } until i>j; if l<j then qsort(a,l,j); if i<r then qsort(a,I,r); }
这个算法会产生一种错误，即选取的s个a 值均满足a^(n-1)1 (mod n)，而n是合数时， 算法会认为n是合数的证据不足，判其为素 数。 但当s＝50时，此算法的正确率就可以到达 99%以上。选取适当的s，此算法的时间效 率远高于朴素的判定方法。
back
随机影响执行结果的优劣
随机影响执行结果的优劣。这时，随机的 效应表现为实际执行结果与理论上的最优 解或期望结果的差异。 在此要向大家介绍3种常见的随机化算法。
用随机化判断素数
若n是素数，对于a=1,2...n-1，有a^(n-1)1 (mod n)。所以，若存在整数a[1,n-1]，使得a^(n-1)1 (mod n)，则a必为合数。我们考虑以下算法： ISPRIME_R(n, s:int); i,a:int; { for i=1 to s do { a=random(1,n-1); if a^(n-1) mod n1 then return false; } return true; }
随机化算法介绍
rs
什么是随机化？
随机化算法是这样一种算法：在算法中使 用了随机函数，且随机函数的返回值直接 或间接地影响了算法的执行流程或执行结 果。
那么随机化算法和“运气”的关系如何呢？ 根据著名的：RP守恒定律！！！ RP不会自己产生，也不会自己消亡，只会 从一种形式转化为另一种形式，从一个个 体转移到另一个个体，从一个个体的一个 部分转移到另一部分。
在快速排序时使用随机化，可以有效避免时 间复杂度的退化！
Back
随机影响执行结果的正确性
随机影响执行结果的正确性。在这种情况 中，原问题要求我们求出某个可行解，或 者原问题为判定性问题，随机的效应表现 为执行得到正确解的概率。 举例说明：用随机化判断素数。
朴素的判断素数方法
对于较小的n，我们可以用“筛数法”判定 n是否为素数。对于稍大一点的n，我们可 以先求出[2,sqrt(n)]内的所有素数，再用 这些素数试除n。这两种方法都要借助于大 数组，如果n足够大，就不再适用了。这时， 我们只能用2,3,..., sqrt(n)试除n，一旦除 尽，n必然是合数，否则为素数。 当遇到较大的素数n时，朴素算法会显得十 分慢的。其最坏情况时间复杂度为o(n^½)。
back
遗传算法
遗传算法在一定程度上对牛顿爬山法的缺 陷进行了弥补，主要采取两种方法: 基因突变
创造新物种
基因突变
当陷入局部最优解并无法进行更新时，我们需要 用到输入一些新鲜血液。 随机地对状态进行改变，产生的这个新状态虽然 解可能没有祖先优，但继承了祖先大部分的优秀 基因，更中要的是，由于基因的突变，新的状态 拥有祖先所不具备的进化潜力，可以通过牛顿爬 山法继续寻找更优解。 举例来说，可以随机把一个人从原来的组别放到 另一个组，然后。。。。。。继续爬山。
随机化的精髓
之前介绍的随机化算法，思路简单，编程 复杂度也很低，因此，算法随机化。 随机化的精髓在于：随机化思想！！！！ 在赛场中想不到标准算法时，需要让思路 敏锐地转向随机化。
不过，随机化并不是万能的，尤 其是在一些级别较高的比赛中， 出题者会对数据进行精心地设计， 防止随机化获得高分。 因此，认真学习算法是永远的真 理！！！！
随机不影响执行结果。 随机影响执行结果的正确性。 随机影响执行结果的优劣。
随机不影响执行结果
随机不影响执行结果。这时，随机必然影 响了执行的流程，其效应多表现为算法的 时间效率的波动。 举例说明：下面大家来看一段快速排序的 代码
Procedure qsort(a:arr;l,r:int); x,I,j:int; { x=a[l];i=l;j=r; repeat while a[i]<x do i=i+1; while a[j]>x do j=j-1; if not(i>j) then { change(a[i],a[j]); i=i+1; j=j-1; } until i>j; if l<j then qsort(a,l,j); if i<r then qsort(a,I,r); }
例题：
有n个人，已知每个人的体重，要将此n个 人分成m组，使得方差最小。 随机化算法：将n个人随机分配到m组，然 后随机调整(调整包括交换和转移)，如果调 整后能使解变优，则进行调整，并不断重 复，直到无法找到能使解变优的调整为止。
牛顿爬山法的缺陷
y
T T1
P
x
如上图所示，牛顿爬上法的缺陷就是会陷入局部 最优解，图中，处于P点时，不断向上攀爬，到 达T1后，就无法继续对解进行更新，错误的认为 T1就是最优解，而实际上的顶峰在T。