一元微积分A：函数的基本概念和简单性质.ppt

y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的.
y
y f (x)
f (x1)
y 1 x2
定义: 设有函数 f 和 g ，D f Rg ，则称 定义在
{x | x Dg , g(x) Df } 上的函数 f g 为 f 和 g 的 复合函数，其中
( f g)( x) f [g( x)] x 自变量, u 中间变量, y 因变量
例3 u g( x) 2 x2 , y f (u) ln u , 则 Rg [2,) D f ,
二、函数的概念
1.定义 设 x和 y是两个变量 , D是给定的非空数集.
如果对于任意的 x D ,变量 y 按照一定的对应法则 f
总有唯一确定的值与之对应，则称 y 为x 的函数.记作
y f (x), x D
因变量
自变量
定义域
y x x0 f ( x0 )
— 函数在点 x的0 函数值
W { y y f ( x), x D}
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1
综上，有:
0
y
0.05x 40 0.1x 105
0.15x 245 0.2x 535
， x 800 ， 800 x 1300 ， 1300 x 2800 ， 2800 x 5800 ， x 5800
例2
设f
(
x)
x ex
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x
2
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
（2）．函数的周期性(periodicity):
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l) D.且 f ( x l) f ( x) 恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
（3）.对数函数： y loga x （ a 是常数，a 0, a 1 ）
（4）.三角函数： y sin x, y cos x y tan x, y cot x y sec x, y csc x
（5）.反三角函数： y arcsin x, y arccos x y arctan x, y arc cot x
1, 1,
1 x 0 ,
0 x2
求f (0)、f (1)及f ( x)的定义域.
解 f (0) 0 1 1
f (1) e1 1 e 1
f ( x)的定义域为:[1，2]
4、基本初等函数 （1）.幂函数： y x （ 是常数）
（2）.指数函数： y a x （ a 是常数，a 0, a 1 ）
1.区间(interval): 是指介于某两个实数之间的
全体实数.这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b. {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为左闭右开区间, 记作 [a,b)
第一节 函数的基本概念 和简单性质
一、集合 二、函数的定义 三、函数的性质
一、集合 （一）定义
1.集合(set): 具有确定性质的对象的总体. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素. 例如：太阳系的九大行星； 教室里的所有同学。
如果 a 是集合 M 中的元素，则记作 a M，
否则记作 a M.
2．分类： 由有限个元素组成的集合称为有限集 由无限个元素组成的集合称为无限集
3．表示方法：
①列举法 A {a1 , a2 , , an } ②描述法 M { x x所具有的特征 }
4. 子集：
若x A,则必x B,就说A是B的子集 A B.
若A B,且B A,就称集合A与B相等 ( A B).
（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
（3）．函数的单调性(monotonicity):
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
{x a x b} 称为左开右闭区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2.邻域(neighborhood): 设a与是两个实数 , 且 0.数集{x x a }称为点a的 邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
记作 U(a, ) {x a xa }.
a
a
a x
0
点 a 的去心 邻域 记作U(a, ).
0
U(a, ) {x 0 x a }.
把开区间 (a , a) 称为a 的左δ邻域， 把开区间 (a , a ) 称为a 的右δ邻域，
a
a
a x
x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
y
4
显然:
3 2
x 1 [x] x
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
因此能够形成复合函数
f g( x) ln(2 x2 )
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x 2 )
2.复合函数可以由两个或两个以上的基本 初等函数经过复合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
2
2
例4．找出下列复合函数的复合关系：
(1) y ecos2 x (2) y 1 ln2 x (3) y (arc sin e x )3
7、反函数(inverse function)
设函数 f : D f (D) 是单射，则它存在逆映射
f 1 : f (D) D , 称此映射f 1为函数f的 反函数.
（二）集合的运算
1. 并集: A B {x | x A 或 x B} 2. 交集: A B { x | x A 且 x B} 3. 差集: A \ B { x | x A 但 x B}
4. 余集: 研究某一问题时所考虑的对象的全体 称为全集，用 I 表示；把差集 I \ A 特别称为余 集或补集，记作Ac .
三、函数的简单性质
（1）．函数的奇偶性(parity):
设D关于y轴对称 , 对于x D, 有
f ( x) f ( x) ,则 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x),则称 f ( x)为奇函数.
f (x2 )
o
x
I
（4）．函数的有界性(bounded):
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称为无界.
y M
y=f(x)
o
x
X
y M
x0
o
X
x
-M 有界
-M 无界
6、复合函数(compound function)
设 y u, u 1 x2 ,
函数的值域.
2.函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取 的一切实数值.
例如， y 1 x2
例如， y 1 1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
y
如果自变量在定义
域内任取一个数值时，
例如： A {1, 2}, C { x x2 3x 2 0}, 则 A C.
不含任何元素的集合称为空集 ().
例如：{x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
5. 数集分类: N —自然数集
Z —整数集
Q —有理数集
R —实数集
N*—正整数集
数集间的关系: N* N Z Q R
5. 运算规律:
①交换律: A B B A , A B B A ; ②结合律: A (B C ) ( A B) C
A(B C) (A B)C ③分配律: A (B C ) ( A B) ( A C )
A(B C) (A B) (AC)
④对偶律: ( A U B)c Bc I Ac ( A I B)c Bc U Ac
y
函数 y f ( x)
y
反函数 x ( y)
y0
W
o
y0
W
x0
xo
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D
x0
x
D
y 反函数y f 1( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
定理（反函数存在定理）：单调函数 f 必存在单调 的反函数 ，且此反函数与 f 具有相同的单调性.
对应的函数值总是只有 一个，这种函数叫做单
W
y
值函数，否则叫做多值
(x, y)
函数．
o
x
x
例如，x2 y2 a2 是多值函数
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
3.几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
y
1 当x 0
y
sgn
8、函数的运算
设函数 f ( x) , g( x)的定义域分别是 D1 、D2 , D D1 D2 ，则我们可以定义这两个函数
的下列运算：
函数的和（差） f g ( f g)( x) f ( x) g( x)，x D
函数的积 f g ( f g)( x) f ( x) g( x)，x D
函数的商 f ( f )( x) f ( x)
gg
g( x)
x D \ { x | g( x) 0}
9、初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次的复合运 算和四则运算所构成并且可以用一个式子表示的 函数，叫作初等函数.
例如
y 1 x2
y sin2 x
y cot x 2
y sin 1 x
6 .直积或笛卡儿（Descartes）乘积 设 A、B 是两个任意集合，则称集合
{(a , b) | a A , b B}
为 A 与 B 的直积，记作 A × B .
例如：R×R={(a，b)| a ∈ R ， b ∈ R }即为 xOy平面上全体点的集合， R×R常记作R 2 .
（三）区间和邻域